Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло (1973) (1186217), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Конечно, число отказов зависит от поступающего потока заявок. Аналитические методы позволяют рассчитывать систе. мы массового обслуживания только в простейших случаях. Во всех болес сложных задачах приходится прибе* гать к статистическому моделированио (7, 38, 43). 2!6 моделиговхнне естественных пгоцессов !гл ь 1.3.1. 0 п и с а н и е п о т о к а з а я в о к. «!аще других рассматривается стационарный пупссоновский поток, называемый также простейшим потоколь в котором интервалы между моментами поступления двух последовательных заявок независимы и подчиняются экспоненцнальному распределению: г„=г, 1+О, и функция распределения О равна Р(х) = 1 — е-'", О < х < оо.
(2) Величина а=1/МО называется интенсивностью потока заявок. Из более сложных стационарных потоков отметим только потоки Эрланга, в которых величины 6=1, †, 1 также независимы, но подчиняются более общему гамма-распределению (см. гл. 2, п. 4.2) с плотностью аа р(к) = х'" — 'е-', О(х(оз. (т — !)! Интенсивность такого потока равна 1/МО=а/гп.
Сравнительно редко используют нестационарные пупссоноаские потоки, в которых функция распределения О=1,.„— 1, зависит от 1„: к Р (х) = 1 — ехр ( — )" а (1 ь + з) йз), О ( х ( со. ь Нетрудно проверить, что Р(х) в последнем случае имеет тот же вид, что функция распределения свободных пробегов (см. ниже формулу (6)). Изложенный в п. 2.2.3 метод постоянного сечения позволяет легко моделировать такие нестационарные потоки, вводи фиктивные заявки. 1.3.2. Алгоритм расчета системы с отказами. Рассмотрим конкретную систему с отказами, состоящую из и линий. Плотности р,(1) считаем известными.
Правило выбора свободной линии сформулируем так: заявка поступает на линию, которая освободилась раньше всех, а если таких несколько, то на ту из них, номер которой меньше. Пусть в рассматриваемую систему поступает простейший поток заявок с интенсивностью а. Требуется оценить среднее число отказов за время !ь -"1<1„„„. з и МОДЕЛИРОВАНИЕ ПУТЕМ ИМИТАЦИИ 21т Поставим в соответствие липин с номером 1 ячейку ЭВМ, в которую будем записывать момент освобождения этой линии Т,. В начальный момент, очевидно, Т|= =Т,= ...
=Т„=1м В отдельную ячейку будем записывать величину Т=пип ТР 1<С<а Момент поступления первой заявки разыграем по формуле 1~ =/о — (1/а) 1п т'ь Очевидно, первую заявку начнет обслуживать первая линни. Время обслуживания т найдем из уравнения ) Р (1)~(/=ум Линия номер 1 будет занята до момента (Т1)„„,=, =11+т. Следовательно, в соответствующей первой линии ячейке надо заменить Т, на (Т~)„, и вычислить новое Т. Предположим теперь, что «судьбу» (й — 1)-й заявки, поступившей в момент /„и мы уже выяснили.
Тогда разыгрываем момент поступления Й-й заявки 1„=/, ~ — (1/а) 1и уеА-1 и проверяем, если ли свободные линии. Для этого доста точно проверить неравенство ТФ. (3) а) Если (3) выполнено, то линия, для которой Т,=Т, приступает к обслуживанию Й-й заявки (если линий, для которых Т< — — Т, несколько, то выбирается та из них, номер которой меньше).
Продолжительность обслуживания т разыгрывается по формуле ) Р~ (1) е(1 = узА1 о затем вычисляется (Т~)вюиае=/л+т и новое значение Т. После этого можно перейти к рассмотрению следующей, (й+1) -й заявки. б) Если неравенство (3) невыполнено, то свободных линий в момент /„нет и система должна выдать отказ, а18 моделпговлнис сстественных пгоцассов [гл а В этом случае необходимо прибавить единицу к счетчику отказов, после чего можно перейти к рассмотрению (й+1) -й заявки, Расчет продолжается до тех пор, пока момент поступления очередной заявки не окажется больше, чем т,. К этому времени в счетчике отказов будет стоять количество отказов р за время (а(т((„,„.
Повторив такой опыт И раз (с различными случайшымн числами), получим У значений рь..., н», по которым можно оценить среднее число отказов за время (а(((т„„: Мрж (!)У) (р1+... +ра). СХЕМа ОбрабОтКИ одной заявки изображена на рис, 57. моделиповлние путем имитации 219 Ф и !А. Расчет вероятностных характеристик сложной случайной величины.
Рассмотрим п-мерную случайнуго точку (,)= ($',..., 9"), закон распределения которой Ре(хь ..., х«) известен. Требуется вычислить какие-нибудь вероятностные характеристики скалярной случайной величины например Мт) нли Рггг)~Л), где Л вЂ” заданный интервал. Если функция 1'(хг,..., х„) хоть сколько-нибудь сложная (или задана алгоритмом, а не аналитическим выражением), то аналитически вычислить функцию распределения г„(у) не удается.
Весьма естественно в этой ситуации использовать метод Монте-Карло. В самом деле, приемы гл. 2 позволяют находить независимые реализации © точки Я. По ним можно вычислить соответствующие значения т),=)(Я,) величины т). Достаточно большая выборка Пь..., Т)и позволяет оценить любые характеристики величины например, 1 и гг Мт)= и 1 т)г Р(т) Е б) йг Х 2а(пл) г=г 1 где уа(у) — индикатор интервала Л (см. стр. !66).
В и. 3.!А гл. ! указано, как по выборке т)ь..., т) постронгь эмпирическую функцию распределения г'гт (у), кого. рая при больших гэг близка к г (у) «). «) Для того, чтобы опеннть плотность рч(у) случайной велнчн. ны ть обычно строят гистограмму Ь а(у). Для этого выбирают интер.
вал (а, Ь), содержащий все выборочные аначення Чь ...,ци, ра бп. вают его па г интервалов: г (а,ь)=~~~ (у г,у.), глеу«=а, у =ь, /=1 н вычисляют количества выборочных эначеннй, принадлежащих птнм интервалам: чь „., ч (ср. гл 1, и. 3.1.2). Гистограммой наэывается г ступенчатая лнння Лгг( ) = (т)IЬ)l(У) уг г) прн у ы (Уг 1 у))1 (! 1,2... г. О гнстограммак в я-мерном случае см. (98!.
22о МОДЕЛИРОВАНИЕ ЕСТЕСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ НЛ 6 В указанную схему укладываются способы расчета многих практических задач. Интересно, что в большинстве случаев приходится выполнять серии расчетов, отличающихся значениями некоторого параметра Х, так что т1(Х)=)Я; Х), и метод гл. 3, и. 4.1 оказывается весьма полезным. Мы ограничимся только одним примером. 141. Оценка качеств а п р и боров. Рассмотрим электрический прибор, который состоит из сопротивлений )сп1, )Из',... емкостей Сн', С'",... и др. Предположим, что качество прибора определяется величиной У, которая может быть вычислена по параметрам деталей: 0=1()с'", йм', ..., С'", С"', ...,, ...,) (4) В действительности параметры всех деталей несколько отличаются от номинальных, и поэтому значения У для разных экземпляров прибора будут отличаться от (4).
Можно пытаться оценить пределы изменения У, выби-. рая самые неблагоприятные значения параметров. Однако далеко не всегда ясно, какой набор параметров будет наихудшим. К тому же, как правило, такая оценка боль. шого практического значения не имеет, так как в действительности мало вероятно, чтобы все параметры одновременно были наихудшими (особенно если их много). Поэтому более рационально считать параметры всех деталей независимыми случайными величинами и методом и.
1.4 определить закон распределения случайной величины У. Для такого расчета нужно знать функции распределения параметров всех деталей. К сожалению, вероятностные характеристики деталей заводами-изготовителями пока не выдаются. Конечно, можно получить такие данные путем просмотра большях партий однотипных деталей.
Но это довольно большая работа. И чтобы избежать ее, некоторые исследователи поступают проще: если указано, что величина сопротивления может отклоняться от номинала )т' на ~5%, то считают, что величина эта нормальна с параметрамн (Вн а), которые определяются из условий а=)т, Зо=0,05)т (ср. с «правилом трех сигм», стр. 88). а и моделировании своводного провага 221 Заметим, что экспериментальное определение вероятностных характеристик прибора возможно лишь тогда, когда имеется достаточно большая партия готовых приборов.
Метод настоящего пункта позволяет оценить этп характеристики еще на стадии проектирования. й 2. Моделирование свободного пробега 2.1. Закон распределения длины свободного пробега. Предположим, что вдоль оси Ох движется некоторач элементарная частица (нейтрон, фотон, протон и т. п.), которап может сталкиваться с частицами (обычно с ядрами атомов) среды.
Во всех исследованиях, явно илн неявно, фигурирует следующее предполо>кение: вероятность того, что частица, долетевшая до точки х, испытает столкновение в интервале (х, х+Ьх), равна ХЬх+о(Ьх). (5) Множитель пропорциональности Х называется полным сечением или подробнее: полнечм макроскопическим эффективным сечением взаимодействия частицы со средой. Значение Х зависит как от состояния среды в точке х, так и от типа и энергии частицы.
Формулу (5) можно считать определением полного сечения *). Вполне аналогично определяются сечения различных типов взаимодействия (разлнчных реакции), которые могут произойти при столкновении частицы, Например, Х, — сечение рассеяния, хч — сечение деления и др. Такие сечения иногда называют парциалеными сечениялш. Рис. 58. Рассмотрим теперь частицу, вылетевшую вдоль оси Ох из точки х=О (рис.
58). Обозначим через р случайную длину свободного пробега этой частицы, е) Обычно рассматривают пучои, содер>нашив д> одинаковых частиц„долетевших до точки х. Если в среднем в интервале (х, х-1- +ах) испытывают столкновение д>'Ьх частиц такого пучка, то 2(х) Д> ПУ. 222 моделиповлнив естественных процессов (гл э а через Г(х) — функцию распределения $, так что Р(х) = =Р(ь(х). Вероятность гого, что частица испытает первое столкч иовеппе в интервале (х, х+Лх), равна Р(х+Лх) — Р(х) = [1 — Р(х) ~ [Х(х) Ах+о(бх) ].
(Здесь 1 — Р(х) — вероятность того, что частица долегит до точки х.) Разделив это соотношение на Лх и перейдя к пределу при Ьх - О, получим дифференциальное уравнение сУ'/пх= [1 — Г(х)1Х(х). Решение этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию Р(О) =О, легко записать: Р (х) = 1 — ехр — ( ~ (з) йз . (б) Это н есть искомая функция распределения й. к Интеграл 1(х) = [~(з) с(з часто называют оптической 'о длиной интервала (О, х).
Из условия нормировки г (оо) = ! следует необходимое требование 1(оо) =оо. 2.1.1. Ядро столкновений в одиогрупповой теории переноса «!. В этой теории скорость частиц предполагается постоянной по абсолютной величине (но не по направлению) и не меняется во время свободного пробега. Поэтому фазовое пространство (см $ 3 гл. 5! можно считать пятимерным Р= (г, (2), где г — координаты частицы, а Я вЂ” единичный вектор направления скорости. По определению К„(Р', Р)нР— это вероятность того, что после столкновения в точке Р' фазового пространства частица испытает следующее столкновение в элементе г(Р около точки Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
