Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло (1973) (1186217), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Формальное доказательство равенства М))з = рл имеется в $4. (2) Расчетная формула такого метода Монте-Карло: рз ~~ (2(2~) и=! где (т)л )! — значение 4А, полученное по траектории (2)' (2) номер з. Из формул (28) и (29) видно, что ПА)(1 и (по лемме п. 1.!) дисперсия )А~А -~ Е)))А. (2) Таким образом, точность оценки т)А всегда не хуже, чем точность оценки ))„,получаемой при имитации поведения 236 модвлнговхнив естественных пвопессов <гл.
в нейтронов. Правда, расчет величины т<л может ока<н заться более трудоемким, чем расчет «, из-за необходимости вычислять 1;. 3.3. Веса, заменяющие розыгрыш поглощения и учитывающие вылет из области 6,. Следующий способ расчета р объединяет особенности двух предыдущих методов. Пусть из точки г, в направлении 1), вылетает пакет, состоящий из большого числа пч идентичных нейтроноа. Если (как в п. 3.2) и<<11 — Р,(й)] нейтронов пакета вылетают из области 6<ь то в следую<дую точку столкновения г+<=г+~; Й, прилетит всего и;.„<=и<,г,(1) нейтронов (длина пробега е; определяется из уравнения (26)).
А теперь, как в п. 3.1, будем считать, что и<» < [~,<(г; <)<<~ (г,» <)] нейтронов при столкновении поглотились, а в;» < = и,» < [~',(г;,),' (г,+<)] нейтронов рассеялись и продолжают полет по направлению й;~<. При таком способе расчета все траектории оказываются бесконечными и не могут закончиться нн вылетом, ни поглощением. На практике расчет продолжают до тех пор, пока вес пакета ш, не станет пренебрежимо малым, например меньше некоторого заданного числа в. Если использовать обозначение (19), то, выбрав и<«= 1, получим, что <и;=~о((о)з<г<(1<) зз...
гк <(1,-<) зь (30) а количество поглощенных за всю историю пакета нейтронов равно члм = Х п~+< (1 — з ы). (31) «=в Формальное доказательство того, что Мт)л =рю име<и ется в $ 4. Формула для оценки р, очевидно, запишется так: 1 <з> РА Х ['<А )з~ 8=1 где [Чл <, — значение лл на траектории номер з. <и< <з> й 3] ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СтАтИСтИЧЕСКИХ ВЕСОВ 237 Из формулы (31) видно, что»]л>)0.
Чтобы доказать, <з> что т]л (1, представим эту величину в виде <з> э]А =~о((е) — Х Ре(1) Р (1,)!! — Р+ (1 Р<))з " зч->! тогда, очевидно, »]л <Ро((с) <1 и по лемме и. 1.1 дис<з> персия (У>]л -.ч. )-)»]А. <з> До к а за тельство. Формулу (3!) запишем в аиде <3> '~~ ь» Чл =ли "е ° 7»»з» з< — лл ге ° т»з» ° з<з<+>.
з=е ~=О В первой сумме вылепим первое слагаемое, а в остальных слагае- мых заменим индекс ] на ]+1; '.,~ ге г<з> з> = тз+ ° ]'е г<з~ ° з< = <-а » — — 1 Ге+ ~~ ГЕ ° ° ГР] <З» ° ° .5; Р>, ~=а Подставив это выражение в прелыдуп>ее равенство, получим Ч<<З = Га+ ~ РЗ...РЬР>З<...З;+> — ' ГЕ...Г<З» <З<Ч < = =о <=. а = Ез ь~з Ее ° ° ° ч< (1 Д<> >) зз...з] »=е что и требовалось доказать. 3.3.1. На рис 65 привелены схемы расчета олного звена треск. торин зо всех четырех метолах опенки р л. Номер (О) соответствует методу п. 1.1, номера (1), (2) и (3) — метолам пп. 3.1, 3.2 и 3 3 Нетрудно заметить, что основное различие в количестве вычислепп« связано с тем, что в метолах (О) и (1) нужно проверять условие г]+,нйе», а в методах (2) и (3) приходится вычислять ] и Р,(] ) Кроме того, в методах (О) и (2) на расчет одного звена траек<ории затрачиваются 4 случайных числа у, а в методах (1) н (3) — только 3.
Остальные различия сводятся к нескольким элементарным арифметическим операиням. Некоторые пояснения к схемам на рис. бб. По условию задачи точка га задана; в методах (1), (2) н (3) заданы также же= 1, з в методах (1) и (3), кроме того, полагаем Л»=0. Величина й> — это суммарное количество иогло<денных в точках гз....,г< нейтронов. йз1 использование статистических ввсов 289 Во всех методах (), выбирается случайно (формула (!5) гл. 2); ()1 разыгрывается по плотности р (г, (),, ; ()) величина з =~з( )у~» В методах (О) и (1) пробег « определяется из уравнения Гь(ег) ='у, а гг+1= г;+ ез()п В методах (2) н (3) щобег ь;опреде- лЯетсЯ из УРавнениЯ Р,(Ь;) =тР;((г), а г,, =г;+ $,(),. (1,— Рас стояние от точки гь ло границы Ое по направлению ()~), Замечание.
Из рис. 65 видно, что количество вычислений в методе (1) не больше, чем в методе (О). Поэтому из (18) вытекает, что для рассматриваемой задачи алгоритм, использующий оценку чл, всегда более экономичен, чем алгоритм, основанный на имита. и) ции процесса, использующий оценку Чл. 3.4. Различные статистические веса.
Величины теь использованные в пп. 3.1, 3.2 и 3.3, называют весами (или статистическими весами), И вместо того чтобы говорить о пакете, содержащем гп, нейтронов (число ш, обычно дробное(), говорят о нейтроне с весом шь При движении нейтрона по траектории вес его меняется. 341. Расщепление тра ек тор и й. Использованные выше рассуждения (с пакетом идентичных нейтронов) показывают, что после очередного столкновения в точке г, вместо одного нейтрона с весом ш, можно рассматривать т идентичных нейтронов, вес каждого из которых равен а~;/гп. Таким образом, траектория ней~рона после точки г, как бы расщепляется на т траекторий, каждая из которых дальше строится независимо. Этот прием используют для лучшего учета прохождения нейтронов в некоторых «важных» областях.
342. Случайный обрыв траекторий. Этот прием в каком-то смысле противоположен предыдущему: после очередного столкновения в точке г, для нейтрона с весом ге< можно разыграть дополнительную альтернативу: либо с вероятностью р вес нейтрона увеличиваегся и становится равным ш;/р, либо с вероятностью ! — р пейтрон «гибнет», и траектория заканчивается, Дейсгвительно, в среднем при такой процедуре вес нейтрона остается прежним: (ш,/р) р+О (1 — р) =шь Случайный обрыв траекторий используют в тех сл)- чаях, когда вес нейтрона становится весьма малым и продолжать рассчитывать его траекторию «невыгоднохч 240 МОделиРОВАние естественных пРОпессОЕ !Гл 6 вклад от всех последующих столкновений сравнительно невелик, а вычислений много; п в то же вр-мя пренебречь таким весом нельзя.
343. Систем ати чес к а я в ы б о р к а. Рассмотрим источник нейтронов с энергией Е, н равновероятнымн направлениями скоростей, распределенный в области 6з с плотностью р(г). Требуется промоделировать М нейтронов из этого источника. Вместо того чтобы независимо разыгрывать начальные положения всех этих нейтронов в соответствии с плотностью р(г), можно разбить 6е на и непересекающихся областей 6о = 6м+ 6м+... + 6о и выбрать в них по Мь Мь ..., М„начальных положений (сумма М1+...+М не обязана равняться М).
При этом нейтронам, у которых гоеи6,А, придется приписать начальные веса Ыоь = (М!МА) ~ Р (г) Й' (32) ОА так, чтобы сумма начальных весов всех М,+'...+М нейтронов равнялась М1гвм+" ° +М юо =М. Заметим, что начальные направления для каждого из этих нейтронов мо кно выбирать независимо, а плотность распределения га внутри 6м равна р(г)/ ~р(г) йг.
о~. 3.5. Статистические веса и существенная выборка. Обоснование статистических весов в простейших задачах может быть получено при помощи метода существенной выборки (гл. 3, п. 3.2). В самом деле, пусть требуется вычислить математическое ожидание М~Я), где случайная точка Я= ($ь..., $„) имеет плотность рч(хь.... ..., х„), определенную во всем п-мерном пространств=. Можно ввести любую другую случайную точку Н= = (т)ь ..., и„) с плотностью р„(хь ...,:„), допустимой по отношению к пРопзведенню )(х,..., х„) д,(хь..., х„), и %41 ИСИОльзовзние стАГистических ВЕСОВ 241 заменить расчет М) Я) расчетом М [[(Н) и (Н) ], где ш (Н) = р„(Н) /рл (Н), (33)] ибо М[[(Н) Гв(Н)] = ] [ (Р) Гв(Р) рн (Р) Г Р = =-] [(Р) Рт(Р)дР = МЩ); здесь Р= (хь ..., х„).
Если координаты Г1ь ..., Г1. моделируются последовательно, с использованием условных плотностей (п. 2.2 гл. 2), то из тождеств ро (х„..., х„) = Р1,(х,) Р;, (х,1х,)...РЕ„(х„)х„,...,х„1) и рн (х,,..., х„) = в„, (х,) рч, (ха)х,)... рч„(х„~ х„..., хл ~) вытекает, что «вес> равен РР (И) Р1, РН) РМ (Ч !Чд Рал (Чл!Ч1'' " Чл — !) Рв(д) Р, Р1,1 Р (и;1гн) " Рч (Чл(ЧН" .Чл,) Вы1ислять вес можно рекуррентно, используя формулы РЕГ ("Г1ПИ ЧГ. 1) Р„Г(~й(п»", ~;Г Г) ' Ш=шл.
Именно так вводились в гл. 5 величины )гь которые там назывались весами. Обычно на практике считают, что введение весов приводит к уменьшению дисперсии, если Гв(1. Эта рекомендация требует пояснения, так как во всем пространстьс неравенство ш( 1 невозможно: оно равносильно не- РавенствУ Рч(рн, котоРое пРотивоРечит тРебовани|о нормированности плотностей. В действительности желательно, чтобы неравенство Гв( 1 выполнялось в той части В пространства, которая вносит основной вклад в интегралы М[ (1,1) и М [['(Н)гв'(Н)]; тогда М['Я) =- ~ )' (Р) Р (Р) дР— ~ Г (Р) Ро (Р) с(Р, в М[['(Н)гве(Н) ] = ] [е (Р) Гве (Р) Р Г (Р) дР = =- ] ['(Р) (Р) Ро (Р) дР= ~ Г(Р) (Р) Ро (Р) дР < в ( ~ Г (Р) Ро (Р) дР, и, следовательно, 0[[(Н)Гв(Н)](ЦЯ).
1ч и. м, сов аъ 242 моделиРОвлние естественных процессов !Гл в Во многих практических задачах выполнение этого условия гарантируется тем, что ((Р) =еэО только в некоторой части фазового пространства, и как раз в этой части ш(Р) ( 1. Например, в задаче п. 1.! распределение нейтронов, вылетевших из области 0е, на величину Р не влияет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
