Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло (1973) (1186217), страница 37
Текст из файла (страница 37)
е. а=хор Е. Некоторые другие применения метода постоянного сечения указаны в работах (152, 169). 2.3. Моделирование свободного пробега заряженной частицы. Рассмотрим пробег быстрой заряженной частицы в плазме, состав и температуры которой (как функции времени 1 и координаты г) заданы. Физические ограничения на плазму: а) не слишком большое разрежение; б) ларморовский радиус значительно больше дли. ны свободного пробега, так что траекторию частицы лгожно считать прямолинейной: г=гл+ыз.
В результате взаимодействия с электронами и ионами среды частица теряет свою энергию (тормозится). Этот процесс могкно считать непрерывным, так что вдоль траектории ЙЕ)й= — у(Е, г, 1). Формулы для расчета д предполагаются заданными. Полное сечение 2 заряженной частицы зависит от ее энергии в положения, так что в конечном счете В=В(Е, г, 1).
Скорость ча. стицы о=с(з/г(г связана с ее энергией соотношением е=(1)2)мит, где М вЂ” масса частицы. 230 мОдел!Неовлние естестВенных пРОцессОВ (гл а Для того чтобы вычислить значения функции арб 1 (1) = ) ~~р~ аз~ в можно численно интегрировать систему обыкновенных дифференциальных уравнений ~У дЕ ~1.я ((3) с начальными условиями ! (15) =О, Е(15) =Ем 5(15) =О. Если при 1=!а значение 15 — — ! (15) щ — (ну, а при 1 = 15+! значение !а+г = = 1 (1а+!) ) — !и у. то значения всех величин в момент столкновения — 1=14, Е= Ей и 5=5 — можно проиитерполировать: + 5(1„~ — 1л) Е, =Š— 5(Š— Е где г = ( — Гп у — 1„)((15, — 15).
В = за+ 2 (зь ! ! — 55), Возможен также случай, когда прн 1 = 1ь значение 15 все еше не превосходит — (ну, а частица вылетает из области б или ее энергия оказывается ниже интересующего нас уровня Еь < Е,„,, Тогда частица нз дальнейшего рассмотрения исключается.
При расчете некоторых задач оказалось удобным выбрать в качестве независимой переменной в ((3) энерпно Е и численно интегрировать уравнения Й 1 Нз о г(! ол йЕ д ' дЕ д ' г(Е а при Еа)Е)Е„;„с начальными условиямн 1(Е5) =гм 5(Е5) =О, 1(Еа) =О. 1(ля моделирования пробегов заряженных частиц также можно использовать метод постоянного сечения (п. 2.2.3), если только в интересуюшем нас диапазоне величин зцр 2=а(со. Тогда можно длину свободного пробега разыгрывать по той же форл~уле ((2); затем придется интегрировать два уравнения 3Е ~у ~й ! г(5 о !(5 о от 5=0 до з=а (начальные значения Е(0) =Ео, 1(0] =15) и, только вычислив Ей, 14 и ~ (Ей, гй, 14), можно будет определить (разыграть), фиктивное ли зто столкновение или нет. 3 а меч ание, Изложенный метод разработан в (8!).
Иногда взаимодействие заряженной частицы с электронами н ионами среды целесообразно учитывать двояко: взаимодействия, приводящие к небольшим изменениям энергии частицы, осредняются и включаются в непрерывное торможение г), а сравнительно редкие столкновения, влекущие за собой значительное изменение энергии («катастрофические бгголкиовения»), включаьогся в 2 и разыгрываются (39, )04).
«з] нспользоз1гпш статистических ВесОВ гЗ1 й 3. Использование статистических весов В гл. 5 мы встречались с величинами )(7; нли Вь которые называли весами. Однако при решении многих физических задач веса можно вводить, руководствуясь чисто физическими соображениями, отправляясь при этом о~' есзесзвенного процесса и не пользуясь макроскопическими уравнениями (например, уравнением переноса). Нередко использование весов заметно повышает эффективность расчета. Мы рассмотрим несколько способов введения весов на примере задачи о поглощении нейтронов (п. 1.1).
3.1. Веса, заменяющие розыгрыш поглощения. Предположим, что из источника г, в направлении 2«вылетел не один нейтрон, а «пакет», состоящий из большого числа ш, идентичных нейтронов. Разыграв длину пробега $м определим точку столкновения для всего пакета г~=га+$«йа. В среднем при таком столкновении [Х.(г~)/Е(г~))ша нейтРонов поглощаютсЯ, а [Х,(г~)/ /Х(г,)1юа нейтронов рассеиваются.
Поэтому, разыграв (в соответствии с индикатрисой рассеяния) новое направление движения пакета й, будем считать, что в этом направлении движется пакет, состоящий из ш, = [~,(г,)/У,(г,)~ ш, нейтронов. Правила построения траектории оказываются во многом такими же, как в п. 1.1: так же разыгрываются пробеги $„функции распределения которых в соответс~- вии с (6) равны Г;(х) = 1 — ехр — ~ ~~(г~+Й;з) г(з, (14) а так же разыгрываются направления 11» Однако прп столкновении в точке г,«~=г;+$,Р; «судьба» нейтрона не разыгрывается: вместо этого предполагается, что в,[Х.(г;„~)/Е(г+~)1 нейтронов из пакета поглотились, а в рассеянном пакете остаются лишь ~и-~ = [~ .- (гг ь~)/Х(гг ь~)) нл (15) нейтронов.
История пакета заканчивается тогда, когда 232 моделивовхние естественных п»оцвссов (гл. 5 он вылетает нз области Ом Количество поглощенных за всю историю нейтронов равно у — 1 / т(~(! = Д ~~~~, (г(е() /,У', (г(А !)) и((, (16) где тг — номер последней точки траектории внутри 6« (другпми словами, г,+!Фбо).
Наконец, нетрудно заметить, что величины (15) и (16) пропорциональны шм Поэтому, несмотря на рассуждения о «большом количестве» в(( можем считать, что п(о=1. (17) РА у ~ ' ('(А )в~ э=! где (т(А,~Ч вЂ” значение т(А, полученое на траектории о!! (1! НОМЕР 5. Дока(кем теперь, что оценка чА всегда пе хуже оцен- (1! ки 9, используемой прн имитации поведения нейтронов (и. !.1): Рт(Ап «( Рт(А. (18) Согласно лемме п. 1.1. для этого достаточно доказать, 0~1(А'~1. Введем для краткости обозначение 5( = ~„, (г;) /~(г(). (! 9) Из формул (!5), (16) и (17) вытекает, что при 1)! Ы( = 5!5!... 5(, « — 1 11! »1 "!А = ' 5!5» ° ° ° 5! (1 5(+1) '-в (20) Тогда величина чА — количество поглощений в расчете (1! на один испущенный нейтрон — окажется оценкой искомой вероятности: Мт(А = рА.
(Формальное доказатель- (1! ство имеется в й 4). Для приближенного расчета р нужно реализовать достаточно большое число й! траекторий указанного вида (с (о«=1) и положить исиользОвлние стлтистичгских ВесОВ 233 Последнее выражение легко преобразовать к виду И) '(А = ) — Эхэз . ° ° Эч, (21) откуда сразу следует требуемое неравенство. 3.1.1. В большинстве реальных задач дисперсия 0()А заметно (() меньше, чем Т)()А, одиако обших оцеиок иа этот счет мало, Обратимся к частиому случаю — однородной области бо, когда ~~~", (г)/~яр~(г) =- е О. то имеет лоесто неравенство Ти)АИ~ < э0()А.
(23) Доказательство. Из формулы (21) видно, что в одиородиой области случайная величина т)А может принимать только зиа (() чспия 1 — з, где (=О, 1, 2, ... Следовательно, ее распределение зао ! дается таблицей с о ! — 3 1 †... ! — 3 Ро Р! Рл ° ° ° Р, Математическое ожидание этой величины равно М(!( ) Аа (1 о)Р ~А р( ~ РР 1 Ро ~~ Р'1 Так как М()А = РА, то получаем выражеиие И)— РА = ! — Ро — ~А,'г Р,з). (=! (24) Дисперсию()А запишем в форме (!) оо ю оо )дйАИ'=Д (! — ")'р! — РА=~ р,— 2Х Р("+~ Р,зз' — р'„ (=-! (=! (=! о=1 Обозначим через Р( вероятность того, что траектория пакета закончится в точке т(+! с номером (+1 или, другими словами, р; = = Р(т=(). Вычислять эти вероятности иам ие потребуется Зачетам только, что ро равно вероятности того, что нейтрои, испушсииый источником, вылетит из области йо, ие испытав ии одного столкновения.
Теорем а 2. Рассмотрим задачу о поглои(енин нейтронов в однородной области бо (п. !.1 ). Если Ро < (1 РА) (22) 234 МОДЕЛИРОВАНИЕ ЕСТЕСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ 1ГЛ. В так как з! < з при всех !)т, то отсюда следует, что я !)Чде < 1 — Ре 2~~ Р,З'+ а~~я Р;Ь вЂ” Рл. г=! г=! Входящую сюда сумму исключим с помощью формулы (24).
Получим неравенство )Зплн! < 1 — Рял — (2 — з) (1 — Рл) + (1 — з) Ре. Наконец, воспользуемся условием !22) теоремы, после чего последнее неравенство превратится в (23): !)ч!Ал! < 1 — Рт — (2 — з) (1 — Рл) + (1 — з) (1 — Рл) = а(РА — Ртл). 3.2.
Веса, учитывающие вылет из области Оо. Снова 6 ассмотрим задачу о поглощении нейтронов из п. !.1. усть из точки г, в направлении й, вылетает пакет, состоящий из большого числа в, идентичных нейтронов. Обозначим через 1, расстояг., з иие от точки г, до границы области Оо (по направлению 3 (1! полета, рис. 64).
Обозна- чим через гг(х) функцию Рис. 34. распределения (!4) длины свободного пробега $ для одного нейтрона из пакета. Вероятность того, что нейтрон этот вылетит из области бе, равна Рй~(!) =! — Р (1!). В среднем из области Оо вылетят тпг(1 — г,(1!) ! нейтронов пакета, а тпгг,(1!) нейтронов испытают столкновение внутри бо. Будем считать, что в следующую точку столкновения г„! прилетит пакет, содержащий и,.„! = шГ, (1,) (25) нейтронов. Тогда свободный пробег $' для того пакета надо разыгрывать внутри !ге. Это значит, что величина $' подчиняется усеченному распределению (!4) на интервале 0(х(1! (см.
п. 5.2 гл. 2). Функция распределения 4' равна ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ВЕСОВ 235 а 3) Метод обратных функций позволяет записать уравнение для расчета $'=$', в виде Е) Й') = (1 — Т) Е((1!) или, по аналогии с (9), в виде $' 7($') ем ~ ~(г)+ Й)з)(12 = — 1п1(7+ (1 — у)е (') ~. о Определив точку столкновения пакета г,+,— — г)+ЙД„ разыгрываем (обычным способом), рассеялся ли пакет или поглотился? Если он рассеялся, то количество нейтронов в пакете после рассеяния равно н)ы) = и,+!.
(27) Если он поглотился, то количество поглощенных нейтронов т)А = и(+!. Очевидно, история пакета не может закон- (2) читься вылетом и продолжается до его поглощения в некоторой точке г,э!. Если положить во= 1, то из (25) и (27) следует, что н))=Ео((о)г)(())-г -)(1!-)) (28), а случайная величина а) )А =(иты. (29) В этом случае ))А разно количеству поглощенных ней- (2) тронов, приходящихся на Один нейтрон источника, и служит оценкой для искомой вероятности р,!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
