Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло (1973) (1186217), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Введя веса, учитывающие вылет из области (и. 3.2), мы исключаем моделирование нейтронов вне стэ и получаем метод расчета, в котором всегда ш(1. 3.6. Метод подобных траекторий. Нередко првходптся рассчитывать методами Монте-Карло серии геометрически подобных задач. В такой ситуация можно ограничиться моделированием случайных траекторий лишь для одной из этих задач, а траектории для всех других задач получать преобразованием подобия.
Этот метод был предло>кен К. Мортоном [1611, который, моделируя прохождение нейтронов через однородную пластинку толщины й= 1, вычислял вероятности прохождения р(й) для целой серии однородных пластинок и даже оценил производную др/с(й при й=О. Дальнейшее развитие метода имеется в 18, 95]. Обоснование его следует из $ 4 гл. 3. В качестве примера рассмотрим задачу о поглощении нейтронов из п. 1.1. Предположим, что требуется вычислить вероятности поглощения Р„(Х) для серии однородных областей бо(Х) с центром подобия в источнике го (рис. 66), Х вЂ” коэффициент подобия. Расчет траекторий Т в сто(1) будем осуществлять методом п.
1.1 или 3,1., а траектории Т' в сто(Л) будем считать подобными Т. Нетрудно заметить, что направления звеньев траекторий Т' и судьбы нейтронов при столкновениях в точках этих траекторий окажутся разыгранными правильно, так как законы рассеяния и поглощения во всех точках одинаковы *). Однако длины звеньев траекторий Т' будут разыграны неверно. В самом деле, длина свободного пробега й' для тоаектории Т' должна выбираться в соответствии с плотностью Ре (Х) — 2;Š— Еч ') Метод подобных траекторий применим также в аадачаж в которых учитываются потери энергии нейтронов при столкновениях: потери в точках траекторий Т' будут такими же, как в соответствующих точках траекторий Т, аз! использование статистических весов 243 Вместо этого мы полагаем й' равным Л$, где пробег "- для траектории Т имеет ту же плотность р1(х), так ч~о плотность Ц равна рц(х) = (1/Л) р! (х/Л) = (Х/Л) е-'х'~'".
Согласно (33) этот произвол надо компенсировать вссовы и множителем р;-(Л$)/рга(ц) =Ле" мхе. Поэтому, если на траектории т' из точки г; по направлению Й вылетел нейтроп с весом иЧ, то надо счнтаггь э;й Рр/х/ Рас 66. что в точку г;+~= г; ЙЛ$, прилетит нейтрон с весом ц;+~ = в,Ле~ Если расчет ведется методом п. 3.1, то после учета поглощения в точке г~э, останется нейтрон с весом ич+, = в, (Х,/Х) Леп (34) Для того чтобы выразить веса ич через веса гэ, в области 0,(!), разделим (34) на (15): и — мха; ич+~/ю;ч.! = (ж;/цч) Ле х44 МОДЕЛПРОВйНИЕ ЕСТЕСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ !ГЛ. Б Выбрав и!о =!па=1, получим формулу ыа. — .1,ггп ~1~(!а+ -+1! — !) ! '(Легко доказать, что последняя формула справедлива также в случае метода и.
1.1.) Согласно (!6) количество поглощенных на траекто. рин Т' в !зс() ) нейтронов равно э — ! !'! () ) = — ' з ыа.йге" 'х(1'+"'+гн — ') г=-Б З.7. Векторные веса. При расчете многих задач нейтронной фазики (в частности, связанных с ядерными реакторами) вместо одно- группового приближения используют более точное многогрупповое приближение 125, 51, 53)! предполагается, что энергия каждого нейтрона может принимать конечное число значений Е, )Ез) ... )Е Таким образом, в каждый момент нейтроны оказываются распределенными на т групп. При столкновении нейтрона с ядром атома среды возможно как «собственно» рассеяние, при котором нейтрон остается в той же группе, так и замедлеыне, когда нейтрон из группы !' переходит в группу д, причем й)/. Рассмотрим задачу о поглощении нейтронов (п.
1.!) в много- групповом приближении. Пусть заданы числа р; — вероятности того, что нейтрон, испущенный источником, принадлежит группе номер !. Задана матрица сечений рассеяния Х! 0 ... 0 — Х ... 0 ы полные сечения для нейтроиоа всех групп Х(чч Х(+Х,(+, + ... +Х'. + Х.!. так что вероятность того, что нейтрон группы 1 при столкновении пеРейдет в гРУппУ й, Равна юа(ю, а ве(оатность того, что он по- !! / глотится, равна л,' /лу Для простоты будем считать, что направления рассеянных и замедленных нейтронов (так же, как и нейтронов источника) распределены равномерно по пространству.
Требуется вычислить вероятность поглощения рл в области Оа для одного кейтрона источника. Легко видеть, что метод п. 1.1 без труда переносится на такую задачу; сперва разыгрывается энергия испущенного нейтрона, а затем прослеживается его траектория (до поглощения или до вылета ыз области ба); конечно, прн каждом столкновении ыейтроы может 4 31 использовлниг стчтист!!ческих нисон 245 перейти в другую энергетическую группу.
Методы пп. 3.! — 3.3 также применимы *). В работе [80) использованы статистические веса более сложного вида, и строится одна траектория для нейтронов всех групп. Предположим, что вдоль траектории движется «большой пакет»,содержащий нейтроны всех групп. Пусть вектор ш(/) =(ш~(/) ..., ш„ (!)) описывает состав пакета после столкновения в точке г!, так что ш .(/) — количество нейтронов, принадлежащих группе /. ! Воспользуемся весами, заменяющими розыгрыш поглощение и учитывающими вылет из области О» (в. З.З).
Фиксируем номер одной из групп /=/» и условимся свободный пробег 3' пакета разыгрывать по закону (26) для этой группы, так что плотность в' равна -х!ы//' х/«/ т! Р;,(х)= ~зйе,/'!1 — е '/, 0<к</, Е/» — Х// ~ Р (х) =~Г/е ~(! — е ), 0<х</!, то, согласно (33), необходимо умно!нить количество таких нейтроков на весовой множитель х!»г ~ ~з~»'(! — е /~ (35) Количество нейтронов группы / в пакете после столкновения мы обозначили ш/(!). Из них в области 6» останутся лишь — х'/ ! ш (/) (! — е // нейтронов.
С учетом (35) надо считать, что в точку гг+! —— г,. + ь'Й/ прилетят всего о,(!+1) =ш/(!) 2з//У(/) нейтронов группы /, где множитель х/«!! ) (х/ хй)$' /.У (/) (! /Х/') (1 — а ') Можно также вычислить все вероятности поглощения — назовем их Р'д — при условии, что испушея нейтрои группы /, и за!»» тем сосчитать величинУ Рд — — Рлр! +... + Р дрм. ") Будем писать 3' без индекса /, чтобы не загромождать изложение индексами.
где !, — расстояние от тошш г! до границы б«по направлению полета Й/'»). Так как истинная длина свободного пробега для кейт. рона группы / внутри Пю имеет плотность 246 модклировлиик ксткствкииых ироцкссов (гл а В результате столкновения в точке гьрг из этих о. (1+1) нейтронов часть, а именно о((1+ 1) (~' (~') нейтронов, поглотятся, а иг (1+ 1) (~~ /~1) нейтронов перейдут в группу номер А.
Из всего пакета в группу номер й попадут нейтронов, а количество поглощенных нейтронов равно Нетрудно проверить, что если ввести ш-мерные векторы р=(ры .р ], й(1) =]ог(1)!2,', ", о (1)'1"!. а = ]~~, ...,~'~~] и диагональную матрицу 1.' (!) 0 1. (г) = 0 1 м (1) то схему расчета весов мохого записать в векторной форме: ю (О) = Р, о(1 + 1) = 1.
(1) ю (г), ш(1+1) =бо(1+ 1) (Зб) при 1=0, 1, 2,... Количество поглощенных за всю историю пакста нейтронов выражается через скалярные произведения В 180] в качестве уе выбиралсч номер самой быстрой группы: )е — — 1, ВеРоЯтно, в некотоРых слУчаЯх выгоднее а качестве (е выбирать номер самой важной (или самой многочисленной) группы. Формулы для расчета траектории пакета от количества групп ш не зависят. При увеличении гл меняется лишь размерность векторов и матриц в формулах (36). Совсем другой метод ввеления векторных весов для решения интегральных уравнений предложен в 161]. стАтистичгские ВесА 5 4.
Статистические веса и интегральные уравнения 4.1. Вероятность рл — линейный функционал от плотности столкновений. Предположим, что источник нейтронов, описанный в п. ! 1, излучает ! нейтрон в единнпу времени Обозначим через з(Р) плот. ность столкновений за единипу времени в б-мерном фазовом пространстве (см. п. 2.!.1) и рассмотрим уравнение (49) гл. 5 х(Р) = ") К.,(Р', Р)з(Р') ЛР' + 1(Р).
(38) Область интегрирования по Р'= (г', ()') в этом уравнении: по координате г' — все пространство, а по Р' — все направления. Ядро столкновений выписано на стр. 223. Свободный член !(Р) — это плотность первых столкновений. Явное выражение для )(Р) приведено ниже в и. 4.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
