Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло (1973) (1186217), страница 34
Текст из файла (страница 34)
В точке ге~бе расположен источник нейтронов с энергией ЕР и с равновероятнымн направлениями ()е начальной скорости. Требуется вычислить вероятность р того, что нейтрон, вылетевший из источника, поглотился в области 6е. Задача рассматривается в одногрупповом приблилге-. нни, так что энергия нейтрона Е, при рассеянии не меняется. Возможностью возвращения вылетевшего нейтрона обратно в 6е пренебрегаем.
Последнее условие означает, что нейтрон, вылетевший из 6о, перестает нас интересовать. Поэтому можно внешнюю среду заменить любой поглошающей средой с сечением Х=Х.= еэ)0. Рассмотрим какой-нибудь нейтрон, порожденный источником. Выберем случайное направление е)е его скорости (методом гл. 2, п. 2. 4. 2). Затем разыграем для него случайную длину ~е свободного пробега — как это делать указано ниже в ~ 2. Получим точку столкновения нейтрона г1 — — гэ+фе(зм Если г~12 6М то мы считаем, что история нейтрона закончилась вылетом из области 6м и полагаем случайную величину 11 =О.
При г~е=-6а разыгрываем судьбу нейтрона (методом гл, 2, и. 1.2.2). Если нейтрон поглотился, то история его заканчивается и полагаем т) =1. Если же нейтрон рассеялся, то в соответствии с инднкатрисой р,(гь йм 6) разыгрываем новое направление скорости Й=(зь затем новую длину свободного пробега $ь и вычисляем следующую точку столкновения гз=г1+е|йь Расчет траектории продолжается до вылета нейтрона из области 6, или до его поглощения.
(Можно доказать, что при весьма общих условиях вероятность бесконечной последовательности рассеяний внутри 6Е равна нулю.) Если история нейтрона заканчивается погло- 14" 212 МОПЕЛНРОВАННЕ ЕСТЕСТВЕННЫХ ПРОПЕССОВ 1ГЛ 6 щением, то полагаем т)»=1, в противном случае полага-. ем т(»=0 (рис. 55). По определению искомая вероятность р =Р(т(,=1). Так как распределение случайной величины т( задается таблицей (~, ~-„) чо МЧ.
=р», Рт( =р» — рс . Оценкой величины р, уз=с Рис. 55. служит среднее арифметическое РА — » (ЧА) „ 1 и '=и где (т)»), — значение т(, полученное иа з-й траектории, а Ж вЂ” общее количество реализованных траекторий. Последнюю формулу можно записать также в виде Р» >т»1>ч, где Ф вЂ” количество траекторий, законч>>внп>хся погло. щением нейтрона. Изложенный метод Монте-Карло для расчета р, основан на имитации поведения нейтронов в среде. В каком-то смысле это самый естественный метод решения задачи. Однако это не лучший метод.
Ниже, в $3 указаны несколько видоизменений этого метода, позволяющие строить случайные величины >) такие, что Мт(=р» и Рт(( (Рт( . При этом будет использована следующая лемма. Лемма. Если случайная величина т(, для которой Мч=р„, удовлетворяет неравенствам 0(т((1, то Рт)( ~~ Р>1». Доказательство. Так как Мт(2(М>) =р, то дисперсия Р>1 = М>1' — рл - рл — рл = Рт)л.
2 2 з и молили»свинин путем нмнтлцпп 213 1.2. Задача о размножении нейтронов. Г1редположпм, что область сзо, рассмотренная в п. 1.1, содержит расщепляющиеся вещества, так что полное сечение Х=Х,+ +2,+Еь где Х, — сечение захвата, а Х, — сечение деления. При захвате поглощенный нейтрон «исчезает», а прп делении вместо поглощенного нейтрона появляются новых нейтронов, называемых нейтронами деления.
Распределение случайной величины и задано *). Снова ограничимся одногрупповым приближением и будем считать, что энергии всея нейтронов равны Е;, рассеяние пзотропно; распределение скоростей каждого из нейтронов деления также пзотропно. а/ ге! Рис 56. Рассмотрим историю одного нейтрона, оказавшегося в области Оо. Каждое звено его траектории моделируется так же, как в п. 1.1: разыгрываются случайное направление 1)„случайный пробег $, и «судьба» при столкновении в точке и<+~=к,+$Л, (гл. 2, п.
1.2.2). Если произошло деление, то разыгрывается величина и, и траектория в точке г;+~ разветвляется на ч ветвей, каждая из которых моделируется независимо по тем же формулам. Полученную ветвящуюся траекторию часто называют деревом. Схема такого дерева изображена на рис. 56. ° ) Обычно, Если Мч=т, заключено между т н т+1, то счета* ют, что Р1ч=т+1) =т+1 — и, Р(и=та=и — т.
е14 моделнповлнне естественных процессов !гл э Область бо называется критической, если количество нейтронов в этой области постоянно во времени. Наиболее распространенный метод расчета критичности — счет по поколениям [25, 51, 53~ — состоит в следующем. Поместим в б, некоторое количество п, нейтронов, которые будем считать нейтронамн 1-го поколения. Затем разыграем историю каждого нз этих нейтронов до его «исчезновения» (т. е.
до вылета из б„ до захвата нлп до поглощения с делением). При этом мы получим некоторое количество п, нейтронов деления, которые будем считать нейтронами второго поколения. После расчета достаточно большого числа 1 поколений, отношения пыДп, уста-. навливаются, так как п„,)п, й,э . Величина йь э называется эффективным коэффициентом размножения нейтронов в бс. Если й, э= 1, то область бо критична.
(Прн й„ээ(1 цепная реакция в бо затухает, а прн й,эь)1 — приводит к взрыву.). Очевидно, для расчета по поколениям строить ветвягцпеся траектории пе нужно. 121. О технике расчета ветвяшнхся траектор н й. Ветвящиеся траектории встречаются во многих задачах, связанных с прохождением элементарных частиц, когда, например, фо. тон может привести к образованию пары электрон — позитрон нлн к появлению своболного электрона (фотоэффект). Прн расчете деревьев вовсе не обязательно сперва строить все дерево, а потом производить его обработку (т. е. отбор нужных данных и осушествленне нужных вычислений).
Укажем два основных алгоритма посте. пенной обработки дерева. а) Обработка дерева по поколениям. Этот способ удобен в тех задачах, в которых деревья длинные, по не слишком сильно ветвятся. Схема расчета лостаточно очевидна: по частицам одного поколенгя вычисляем все частицы следующего поколения н одновременно прснзводнм обрзботку построенной части дерева. Затем ннформацнэ. о старом по«оленка можно унпчзожить Так что в памяти приходится хранить не более двух поколенрй. Вообще говоря, к поколенню моэкно отнести л(обые дае частицы, не являющиеся «предкамн» друг лруга (например; нейтроны, соедн. псиные пунктнролг (/) на рпс. 56). Тогда следуюгпее поколение определяется олнозначно (пунктнр (2)).
б) Лексннографнческая обработка ле рева Этот 'способ удобен в тех залачах, в которых деревья не очень длинные, но сильно ветвятся. Схема расчета такона: давнее)яся по одной (наной.нибудь) ветви, производя обработку н запись)вая все ответвления. Йостнгнув конца ветви, возвращаемся на одно колено назад н начинаем двигаться по какому-нпбуль из записанных ответвлений. Если записанных ответвлений нет, то возврашаемсн еше на колено й г! льодель>РОвлиьье путем ихштдции 2!5 назад. Счет закончится тогда, когда мы возвратимся и основанию дерева. Номера на рис. бб указывают порядок одного из возможных леисихографических обходов изобра>асиного дерева. Ясно, что при каждом возврашенни на одно полено могхпо уничтожить ииформапию об обработанной части.
По»тому в любой момент в памяти ЭВМ сохраняется лишь одна полная нли неполная ветвь с записанными ответвлениями. 1.3. Системы массового обслуживания. Рассхьотрихь модель одной из простейших (однофазных) систем массового обслуживания. Такая система состоит из п линий (или каналов, или пунктов обслуегвваня), каждая из которых может независимо «обслуживать» заявки.
В любой момент времени линия может быть либо свободной, либо занятой. Примерами таких систем могут служить автозапра. вочная станция (ли>щи — бензоколонки, заявки — приезжающие машины), телефонная станция (линии — каналы связи, заявки — вызовы абонентов), парикмахерская (линии — мастера, заявки — клиенты) и т. д.
В систему поступает случайный поток заявок, вероят. постные характеристики которого предполагаьотся известнымн. Если в момент поступления й-й заявки, назовем его у„ььхьеются свободные линии, то одна из пих (правило выбора должно быть задано) принимает на себя обслуживание этой заявки. Продолжительность обслуживания заявки ь-й линией представляет собой случайную величину т, плотность распределещья которой рг(!) также должна быть задана. Предположим, что наша система представляет собой систему с отказали: если в момент га псе линии заняты, то система выдает отказ. (Такая модель годится для телефонной станции, но не подходит для автозаправочной станции или париьсмахерской, которые ближе к так называемым системам с ожиданием), Важнейшая характеристика системы с отказами — среднее число отказов в заданном интервале времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
