Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло (1973) (1186217), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Уравнения (45) и (46) мы будем называть сопрлгыеннвьми. Если плотности р(Р) и р(Р, Р'), по которым строятся траектории Т„(п. 2.4), допустимы по отношению к 1(Р) и К*(Р, Р') (соответствеьно), то, согласно п. 2.4, можно рассмотреть случайную величину (47) где веса Ф'в = 1, ((Уь = Ю'ь -ь(К* ((гь — н Ц)ур % — и Я)Н.
Нетрудно доказать, что если условия теоремы 4 выполнены, то математическое ожидание Ц'Щ равно МЦ*Щ =(), и) = (ьр, г). Следовательно, при больших йЬ (ф г)= 1 Х ь*()!еп (48) где ЬвЩ, — это значение ьа Щ на з-й траектории. Интересььо, что даже в случае уравнения (45) с симметричным ядром, когда Кв(Р, Р') =К(Р, Р') н )Р',. = = Вь оценки (36) н (47) представляют собой различные оценки для функционала (ьр, г): Очевидно, различие в объеме работы, затрачивземой на расчет этих оценок: для расчета Ь(гр] надо один раз вычислить г(ь(Р) и много раз )(Р), а для расчета ') (Ки, г) =) К'и (Р) г(Р)йР =ЦК'(Р, Р)и(Р) г(Р) ь)РйР' = Ц К (Р', Р) г (Р) и (Р') т(Рь)Р'=)Г Кг (Р') и! Р') ь)Р' = (и, Кг). Обычно ядро К(Р', Р) называют траленонировалныль, а коиплекспо сопряженное с „нн ядро К(Р', Р) — сопряженным (по отношению к К(Р, Р'1).
Однако для действительных ядер К(Р', Р) К(Р', Р), исодноподныв ннтвгрлльныг грлвнвння 181 Т«и — наоборот, один раз вычислить [(Р) и много раз ф(Р) '). Некоторые задачи сводятся к уравнению (45) с дельта-функцией. [(Р) =с»б(Р— Р,) («источник» расположен и точке Р, и имеет «интенсивность» с»). В таких задачах величина С [ф! = с» [ф Я»У Р Юо) ) ~'.~ йгуб (С)1 — Ро) 1=а для расчета практически бесполезна. В то же время величину с*[с,б(Р— Р,)) можно с успехом использовать, если положить Р(Р) =б(Р-Р»), т.
е. (ср. п. 1.3.1) строить траектории Т с фиксированной начальной точкой «г»=Рь Получим величину ~'=с,Х В7ф(Я.), (=о для которой 2.7. Усложненные оценки линейных функционалов ат я. Используя те же траектории Т или Тч, можно построить различные более сложные оценки для функционала (ф, а).
Рассмотрим одну из них, которая фактически означает оценку (ф, Кз) вместо ф, г). В самом деле, из (25) слелует, что (1р, г)=(ф, Ка)+(ф [) Предположим, что интеграл (ф, [) мы умеем вычислить аналитически (или численно). Тогда расчет (ф, Кз) позволит нам найти (фа). В таких задачах, в которых ядро К(Р, Р') мало по абсолютной величине и х К выделение (ф [) из (зр, г) может сыграть роль выделения главной части и существенно увеличить точность оценки (ф, з). Легко указать два способа расчета (ф Кг). Во-первых, так как (1), Ка) (К«ф, л), то можно использовать случайные величины ь[К » ф) или ь [К »гр). Во-вторых, так как функция о= Кг удовлетворяет уравнению с тем же ядром, что у исходного уравнения (25), то для расчета (1р, о) можно использовать величины С[ф) и ьт[ф) с функцией К[ вместо 1.
В обоих случаях расчетные формулы по сравнсншо с п. 2 4 услозкнятся, так как либо вместо фЯ») придется вы пылать К'ф(г1„), либо вместо) (14 ) придется вычислять К[(Ц,) ') Встречаются уравнения вида (25), в которых Р к Р' принад. лежат различным пространствам Тогчз гоппяжеипые уравнения могут обладать весьма различными своистваца. Решение лингпных РРавненин !Гл э !32 Методы Монте-Карло, основанные на использовании случайных траекторий, были первоначально предназначены для решения линейных алгебраических систем (см.
ниже $5). Траектории с поглощением были построены Дж. Форсайтом и Р. Лейблером [12Ц (по идее Дж. Неймана и С. Улана), а бесконечные траектории — В. Вазовым [13Ц. Начальные и переходные вероятности, аналогичные (ЗЗ) и (34), были указаны Дж. Кэртиссом [1!4]. Обобщения на случай линейных интегральных уравнений имеются у многих авторов, начиная с работы Р. Каткоски [!16], О более сложных оценках для (ф, л) см.
[33, 94, !70]. 9 3. Пример: рассеяние частиц 3.1. Основное уравнение теории рассеяния. Методы Монте-Карло часто используются для расчета различных задач, связанных с прохожденнем частиц (нейтронов, гамма-квантов и др.) через вещество. Мы не будем касаться здесь специальных вопросов, а рассмотрим лишь общую схему рассеяния, предполагая, что частицы при столкновении с атомами (точнее, с ядрами атомов) среды могут либо рассеиваться, либо поглощаться. Обозначим через Р то пьу шестимерного фазового пространства координат г и скоростей о частицы. Обозначим элемент объема йг йо этого пространства через йР.
Пусть [(Р)йР— количество первых столкновений, а з(Р) йР— количество всех столкновений в элементе объема йР около точки Р (за единицу времени). Функцию [(Р) можно явно вычислить, если задан источник частиц. Функцию а(Р), называемую плотностью столкновений, требуется найти. Введем ядро столкновений К„(Р', Р), которое определяется следующим условием: Кьг(Р', Р)йР— это вероятность того, что части. ца, испытавшая столкновение в точке Р', испытает следующее столкповснпе в элементе объема йР около точки Р (за единицу времени).
Конкретный впд ялра столкновений в одногрупповой теории переноса нейтронов имеется на стр. 223. Нетрудно составить интегральное урзвпсппе, ноторому под пшя. ется плотность столкновений; з(Р) — ]' Кь (Р, Р)з(Р )йР +[(Р), (49) ибо столкновение в окрестности точки Р может быть либо первым столкновением, либо следует за столкновением в окрестности некоторой точки Р', а количество таких столкновений (за единацу врсл4ени) равно л(Р')йР'. Область интегрирования в (49) — все пространство. Введем сопряженное ядро К(Р, Р') =К„ (Р' Р).
То~да уравнение (49) совпадает с уравнением (25), а сопряжечяое уравнение (46) можно записать в виде и(Р) =] Кст(Р, Р') и(Р') йР'+ ф(Р). (50) В рассматрнваелгом случае итерации [(Р) — функции К[(Р), К'[(Р), имеют простой физический смысл: это плотности вторых, третьих и т.
д, столкновений. И ряд Неймана з(Р) =[(Р)+К[(Р)+Кз[(Р)+. „, г!Рг!а!яр. пзсаиянмк частиц й з) , !33 означает, что плотность столкновений есть сумма плотностей первых, вторых и т. д. столкновений. Обычно требуется вычислить какие-нибудь функционалы нида (ф, з).
Это можно сделать любым из методов, указанных в з 2. 3.2. Использование истинных траекторий. г!сгрудив вычислить вероятность з(Р') того, что частица после столкновения в точке Р' снопа испытает столкновение з (Р') = ] Кс (Р', Р) г(Р. Следовательно, з(Р') — это вероятность рассеяния частицы прп столкновении в точке Р', а а(Р') = ! — з(Р') — вероятность поглощения. Истнкиыии траекториями частиц булут, очевидно, траектории с поглощением (типа Т ),которые строятся по плотное~и вероятностей перехода Р(Р, Р') =)(ст(Р, Р'))з(Р) (51) с истинной вероятностью поглощения п(Р) =1 — з(Р). Плотность (51) всегда допустима по отношеишо к ядру сопршкенного уравнения (50); поэтому естественно вместо функционала (ф х) вычислять Функционал (г; и) (см. п. 2.6).
Запишем случайиу!о величину (39) применительно к уравнению (50) и функционалу (], и): 1 И = () (Ое)УР (Яз)] У„]РР (фз))а (~!т)]. !!етрудио, однако, убедиться, что при каждоч ! -* г )(ат(О)-1, О!) это — вазкнейшее следствие закона (51). Таким образом, в рассмат- риваемом случае 1ч'!)] =!) (!)з)Ф(Яе)! ]ф Я,]]л (Я,)] и М(, []] =(ф з). Напомним, что ч — это случайный номер последней точки траектории.
3.3. Использование искусственных траекторий. Нз теоремы 6 вытекает, что в некоторых случаях оценка для (ф, з) будет иметь меньшуго дисперсию, если в расчете использовать траекторию без поглощения (тнпа (Т ) ). Пусть плотность вероятностей перехода снова определена фор. в~улой (51). Согласно (17) и п. 3.2 в этом случае !Р; = (а з(В .
" з(Е; ,], *) Ограничение а(Р) =а, фигурврующее в теореме 6, строго говори, справедливо только в бесконечной однородной среде в одно- групповом приближении. 184 РЕШЕНИЕ ЛИНЕ1ЧНЫХ УРАВНЕНИИ 1ГЛ 3 а величина (36) применительно к уравнению (50) и функционалу ((, и) равна И в этом случае МЬ' [Д = (ф, з). Вес цг) имеет простой физпчсскпй смысл: это вероятность того, что частица уцелеет (т. е. ие поглозится) после столкиозсип11 в точаз, дт,,а 3.4.
Существеинав выборка. Рекомендации (33) и (34), обеспечивающие при гр(Р) =и(Р) ~0 минимальные дисперсии оценок ОР в случае уравнения (50) принимают вид у(р) и(р) К„(Р, Р') и(Р') Р(Р) = (у ) ° Р 1Р Р') = "К' (Р) Тзк как )(Р))0 (по физическому смыслу), то здесь0! — О. Стоит подчеркнуть, что в эти формулы входит не решение е(Р) уравнения рассеяния, а решение и(Р) сопряженного уравнения.
Конечно, мокко обеспечить малые дисперсии, также используя правила (33) и (34) применительно к уравнению (49) с ядром К(Р, Р') =К„(Р', Р). Однако построение траекторий с плотностью переходов (51) делает метал расчета физически более наглядным и легче контролируемым. 3.6. Рассевние и области О. Часто встречаются задачи, в которых существенно только рассеяиае внутри заданной области О: частица, вылетевшая из О, исключается из рассмотрения. Все изложенные выше методы применимы и к таким задачам, при расчете которых можно считать, что все пространство вне области О заполнено поглощающим веществом: если К„(Р', Р) ~0 при Р'ц О, то э(Р') ам0 и а(Р') ~1 при Р'1СО. Однако, так как нас интересуют значения з(Р) толы<о внутри О, то вместо уравнения (49) можно решать уравнение а(Р) =) К„(Р', Р) г(Р ) г(Р'+ ) (Р), (52) и где РШО.
Естественно откидатгь что, првменяя методы $2 к последнему уравнению, момгио получить лучшую точность, чем при решении уравнения (49) во всем пространстве (ср. гл. 3, п. 3.1.2). Любые траектории в этом случае не будут истинными траекториями. В практических расчетах часто используют оценкиь„Щ н ьч()], а плотность р(Р, Р') выбирают пропорциональной К„(Р, Р'). Некоторые методы решения уравнений (49) и (52) для нейтронов в одногрупповом приближении имеются в гл 6, 4 4). Л и т е р а т у р а к $ 3: (8, 25, 33, 36, 50, 51, 53, 59, 93, !05, 127, 144, !45, 153, !68!. $ 41 ОДНОРОДНЫЕ ИНТЕГРПЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1еб й 4. Однородные интегральные уравнения 4.1. Расчет первого собственного значения и первой собственной функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
