Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло (1973) (1186217), страница 25
Текст из файла (страница 25)
2.3); а формула со знакоперемениыми весами практически плоха, если число слагаемых велико. Чтобы устранить зги недостатки, пало использовать другие плотности р(Ре, ..., Рм), отличные от (28) )см. (33)). Наиболее подробно изучен случай, когда все точки сг' , ..., Я представляют собой П (лл! функпии от одной случайной точки Я1~~ (Б. Л. Грановский [20, 2!]). !52 вычислен>~е ннтсгэллов (сложные оценки> !гл. з .
3.1. Взвешенная равномерная выборка. Предположим, что нам удалось найти допустимую по отношению к !(Р) плотность р(Р), приближенно пропорциональную (((Р) !. Л. Хэндскомб (137] предложил в качестве оценки интеграла по конечной области С> 7.= 1~(Р)б с использовать величину е,-ь'>(ц>/й р(~>, (36),' где Я>, ..., Ял — независимые случайные точки, рав-. номерно распределенные в О. Естественно сравнить оценку (36) с оценкой метода существенной выборки, где рекомендуется использовать такую же плотность р(Р).
Согласно п. 3.2.! гл. 3 получаем оценку где Яь..., Я вЂ” независимые реализации случайной точки Я с плотностью р(Р). Сразу видно, что при сложных р(Р) расчет по формуле (36) гораздо проще, так как не требуется разыгрывать точки Я, с этой плотностью. Предположим, что > '!)(Р)~(йР =.со. Тогда по теореме Хинчина (стр. 87) величина (Р,/У)~ ! (4) — ~- 7, > а величина (1'а/й!) ~~~', Р (Я;) — 1, когда У-» со (здесь 1 Р~ — объем области 6). Следовательно, по известному свойству сходимости по вероятности, величина Оэ также сходится по вероятности к 7о, так что оценка 0„ состоятельна. Оценка (36) исследовалась в работе М.
Поуэлла и Дж. Свэнна !164!. При некоторых предположениях относительно 1(Р) и р(Р) удалось доказать, что, когда й З1 испОльзОВАние смешенных оценок ' !53 У-» оо, дисперсия ()В, = —" ~ у(Р) — )„р(Р)).- (Р+ О( 1,), (Зу) а а смешение М„— ), = 0(У'Ю„Л). Легко видеть, что силь )(Р))0 и р=р(Р)=)(Р)(1в, то главные члены в (ЗОа и М — та обрашаштся в нули (ср. с методом сушественпой выборки).
П р и м ер. Вычислить интеграл 1= ~е~ах е-!. Пусть р(х) = о = (т/а) (!+х). Оценка (351 при 5!=10 равна Оте — — 1,5~~'„е г('( 10+ ~ЧР~ т,. г=-! г=-! Главный член дисперсии в этом примере легно вычисляется: — ~ [е — lр (х))э г1х = — 0 (е — 1) Я вЂ” 0 е + 22 !) = 0,00287, ГО, о в то время как для простейшего метода ОО!э=0,02э2. 3,2. Простейший метод Монте-Карло с поправочным множителем. Г!усть требуется вычислить интеграл вида (38), где р(Р) — заданная плотность вероятностей, оп- ределенная в 6 и (!г,..., (,гн — незагиспмые реализа- ции случайной точки () с плотностью Р(Р). В качество Оценки интеграла ) рассмотрим величину 9м = — ~~3~ ! (Яг) — ~ и (!',г!), (38) где фупкпия и(Р) пока не определена.
Если МиЯ) =1, то оценка (38) будет состоятельной (доказывается так же, как в п. 3.1). Оценка (38) сходна с оценкой (36), так нак при болыиих М с большой вероятностью р~,рг = ! — рХ,(1-р!) 154 ' Выт!исление интеГРАлОВ (сложные Опенки! ЕГл. 4 В то же время для Ом гораздо легче вычислить математическое огкидаиие и дисперсию. Теорем а 5. Если [(Р)ЕНЕг(6; р), и(Р)еЕг(сг; р) и Ми(ЕЕ) =1, то Мни = Т вЂ” у ) Е (1 — и) р ГЕР, (39) [Ям = у ) [Š— У (2 — т!)1' р ГЕР + О (,— г) (40) о Д о к а з а т е л ь с т в о.
Для краткости обозначим Е!= ' =Е(Е,Е!), и,=и(Е,Е!). Заметив, что при ЕчьЕа величины этп независимы, запишем Ю Мо =дМ Х Е!и = —;~ХМ, Ми +Х М()ги!) па=! геа ! ! = йЕ-г [дг (йŠ— 1) МАМО + ЛЕМ (Еи)). (41) Так как МЕ=Е, Ми=1, то Мои = Š— Л' 'М (Е' — Е'и), что равносильно (39). Перейдем к вычисленшо дисперсии )ЗОл. Так как Мбм~ — „,! М Х Ц!иаиг, Хл,а,!=! то в сумме необходимо выделить слагаемые с четырьч мя различными индексами (!', Е', Ег, Е), с тремя различными индексами, например вида (Е, !',и, Е) с двумя различными индексами вида (г, г, К Ег) или вида (Е, г, Е, Е) и со всеми совпадагошими индексами (г, !', г, Е). Тогда нетрудно получить, что МЕ', = ЛЕ-4(ж(йг — 1) (йà — 2) (йŠ— 3) (МЕ)г(М )'+ + У (йŠ— 1) (У вЂ” 2) [М (Еч) (Ми)' + 4М ()и) МЕМи + + (МЕ)г М (иг)) + йЕ (йг — 1) [М (Ее) М (и') + 2 (М Ди))г + + 2МЕМ (Еиг) + 2МОМ (Еги)) + ЕЧМ (/чиг)) Вычитая из МЦ квадрат выражения (41) и принимая Э З1 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СМЕЩЕННЫХ ОЦЕНОК 1ЕЕ во внимание равенства М/=1, Мо=!, найдем выражение для дисперсии РОН = У ~ (У (У вЂ” 1) ( — 4У -1- 6) /а + + У(У вЂ” 1) (У вЂ” 2) !М(/а) + /еМ (о')! + + 2У (У вЂ” !) (У вЂ” 4) (М (/о) + У (У вЂ” 2) (М (/о) 1' + + У (Л/ — 1) (М (/е) М (о') + 2/М (/о') + 2М (/ео)! -!- + УМ (/аое)).
В этом выражении легко выделить главные члены Рбл = Л' ' ( — 41' + М (/') + 1'М (оа) + 2/М (/о) ) + + 0(У т) = У 'М !(/ — 2/+ 1о)'! + 0(У 7). Последняя формула совпадает с (40), и таким образом теорема доказана. Из (39) видно, что оценка 0 будет несмещенной для любой функции /(Р) тогда и только тогда, когда о(Р) = = — 1. В этом случае (38) обращается в оценку простейшего метода Монте-Карло. Однако для каждой конкретной /(Р) существует бесконечно много таких о(Р), что ~ /(! — о) рг/Р=О.
о Из (40) видно, что если о(Р) =2 — /(Р)/1, то главный член выражения Р0 обращается в нуль и РВ = =0(У а). При этом смешение в нуль не обращается и, согласно (39), равно МОл — 1 = — (1У) Р/(1',)). В этом смысле оценка 0 хуже, чем оценка 0 . Неясно, однако, играет ли указанное свойство какую-либо роль на практике, когда выбор р //1 или о=2 †//1 в точности невозможен. Заметим, что функция о(Р) в теореме 0 не обязана быть знакопостоянной, так что если Л(Р)ж, ж/(Р) и значение интеграла МЛ(Я) = ~ Л(Р)р(Р)ЫР= = СФО известно, то целесообразно положить о=2— †/т(Р)/С.
! П р и м е р. Вычислить интеграл 7 ) ехал=1,7183. Так как е «(х) 1-(-»же», то положим о=2 — (Уа) (!+х) ('/а) (2 — х), 156 ВЫЧИСЛЕНИГ ИНТЕГРАЛОВ !СЛОЖ!4ЫЕ ОЦЕНКИ) !ГЛ. 4 Согласно (38) прн У= !О получим оден!су — Я ) (2Π— У, ~,). 1 1 = ~ е.Чл= 1,718. а Выпишем все этн формулы прн М=!О (точвее, с использовацнем десяти значений подынтегральной функции). Во-первых, две грубые оценни: 1. Простейший метод ш Е„= ~е. 10; 2. Геометрический метод !е 1 жч- Огз= !О У Яг, где г=! У! (е, если еу, < е У= ! У! О, если еу! > е !.
Во-вторых, четыре оценки, соответствующие основным методам уменьшения дисперсии: 3. Выделение главной части Й=1+л !е Вш = 2 + !О Х '!е — У!), у! У! 4. Существенная выборка с плотностью р=(з(з)(1+х)' 3 е йзз — — 20 г !+ее, где 3! —— р/!+Зу! — !. ! 1 5. Снмметрнзованная оценка =10Х (' +' ') 1 Главный член дисперсия тот !ке, что в примере п.
3.1, так что 06„ж000287, н вероятная ошибка ги=0675$Г р0, 0036. Смешение же равно М0,4 — 7= — 0,1(1 — е/3) = — 0,0094, т. е. в несколько раз меньше. (С увеличением М различие зто еше увеличивается: например, при М=!00 вероятная ошибка г,ззяз0,011, а смещение равно — 0,00094). 3.3. Численный прнмер. Большинство оценок в гл.
3 и 4 илл!острнровалнсь одним и тем же примером: формулой для расчета ин- теграла иснользовднин смнщннных онннок 157 5 з! б. Выборка по двум группам 4 !!!! в 1!з! 8ш= 8~е +!2~ г 1 где тьн! ! 5!2! г+ч 1+ У!44 Затем две оценки, соответствующие двухэтапным схемам расчета: 7. Выделение главной части А=аз(1+х) при а,=1,690 ш гт Оп, =0,8451+ — ~ '(е '-1,6907!). Го! !! 8.
Существенная выборка с р=(!+пах)/(!+Обив) прн с!с — — 1,8! т! е О!а=0,1905 У !+1 8!5 !.= ! где $,. = 0,5525 ()/ ! + 6,8967! — !). Далее случайная квадратурная формула интерполяционного типа: $! и, 1 чсч (1 — 2т),)е ' — (! — 2з!) е 9 ОМ=10Л 5 г=! где для расчета пары ьг, Чг надо выбрать три случайных числа ун уггу! и проверить условие у! < (у! — у!) .
Если зто условие вы. полнено, то(! = у!, т! = у;, в противном случае надо выбрать нову!о тройку случайных чисел. В среднем на получение каждой пары $1, т)! придется затратить 6 проб. И, наконец, две смещенные оценки: 10. Взвешенная равномерная выборка 11. Простейшая оценка с поправочным множителем Ото= Хе 20 Х у! В табл. 2 сравниваются трулоемности Г~о ПО1е ЗтИХ оценок пО отношению к вычислительной машине БЭСМ-4: г|е — это время расчета Ом в миллисекундах (Для смещенных оценок в качестве РО!е приведено значение главного члена дисперсии.) ИГРАЖНЙНИЕ К ГЛ. 4 В табл.
3 приведены значения 8м и ошибки Ом — /, полученные при расчете всех этих оценок с помощью случайных чисел уы выписанных на стр. 108. (В иачестве уг и у, иевбходимых для расчета оценок 2 и 9, выбиралнсь дальнейшие группы цифр нз табл. 4 (стр. 298). умноженные на !О э.) Здесь же указаны вероятные ошибки гм. Лег. ко вилеть, что фактические ошибки по порядку хорошо согласуются с вероятными ошибками, хотя количество слагаемых во всех оценках слишком мало для того, чтобы можно было гарантировать применимость центральной предельной теоремы. Упражнения к главе 4 1. Пусть б — конечная область в и-мерном пространстве.
Предположим, что дано разбиение й йг+, + Ом и каждая из областей О! центрально симметрична с центром ЗР Пусть ЯН! — случайная точка, равномерно распределенная в 6!, а Я!Л симметрична !4~8 (относительно центра 3//: ЯО!+()!!! 2З!. В качестве опенки для интеграла /е =~/(Р)т(Р рассмотрим симметриэованиую формулу м 6!Н ~ !(/(()!О).( /(()О!')), 2 где )г,. — обьем области ОР Доказать, что если /(Р) и все ее частные производные первого и второго порядков непрерывны в С, причем для всех й, ! 1, 2, ..., л (дэ//дхэдл ~ < Е, и выполнено условие (1!), то для дисперсии ОЯ! справедливо неравенство ВОН) < з(.эй/-1-4!л а с э где с=б,бп' "+В. сэ При этик же условиях оценить погрешность квадратурной фор-' мулы Указание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
