Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло (1973) (1186217), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Следовательно, Я, Я)= го, (е», Ю= г, соз 0'. 2) Если р = р, — зпачеипе р, полученное в з-м испытании, то М 14 )з у — !~~1( ) — а с=-. ! В способе Б едуча(шую точку 13' с плотпчсзью (34) мозкно строить следующим образом: сперва нз .очки Я надо выбрать случайное направление ы (п. 24.2 гл. 2); затес! на луча Р'=Я+у'ю выбоать случайное расстояние р с функцией раснредслепнярр(г') =-(г'11)3 — и х 0(г' 1 (где 1=1(ы)); тогла !9'= =!)+рсе. В са!юч челе, услощщя плот- Ю ь' ность точки !е' (при условии !1 =Р! !у' в сферических координатах г', 0',!р' ' гн нюнром в Р равна Ро.(Р')Р)г'зз!п 0' л .
)) г = ((4л)-! а!п 0')((3-и) (г')'- '"з]. Первый сомнох,итель равен и,!отнести случайного направления ы(в сферических координатах), а второй— это условная плотность случайного расстояния на луче Р'=Р+г'и прп условии, что ы утке выбрано. Те же соображения симметрии, Рис. 39. что в случае А, позволяют выбирать направление ы в плоскости !у'=О. Оно определяется одним пара. метром И=сов 0'=2у' — ! (рпс 39). Вычислив ") расстояние 1 =- ,= (а — !)), получим следующий алгоритм для расчета 1 методом Б! 1) Формулы для г-го испытания = ((у у, 9=2'1' — 1, зг- + т/)(з з (! „з) 1( г)цз — а!.
Не спогов!я построгиия хооони<х оигиок е з! 'а =('/я') !) р оа где 6 — еданичный швр хе+у!+а»(!. Некоторые значения этого интеграла: !1=4, !»=32/!5, ! !=64/35. Запишем оценки (35) и (36) для !, и /,: М Я !л = (!6/9) Д»! ' Я р ', /~м -— - ()6/9) /У ! ~Р~ р »-1 »=1 Ю а» !,'я = (6/3) <у-! ~ !',.; !в, = (рб/3) д -1 ~ <и »=1 ! Нетрудно заметить, что в этом случае оценка /в зависит лишь от двух случайных чисел. Вычислим дисиерсии соответствующих этим методам величин 2<„! (формулы приведены в пунктах А и Б): 07'<~ = (4/3)з л З Ц р»~ «Р «Р' — !З вЂ” (4/3)з/ — !з оо откуда следует, что 02<вы — 2,560, 02<я! = е».
Лля оценок типа Б 07В =.. (<6/3)е (3 — а) зл з ) ) !а з"Р(Р Р') <(Р «Р' — !з оо П>сть а'=-2а — 3, так что 6 — 2а=3 — а'. Тогда 02ь > -— — (32,'3) (3 — а) '/,„, — /з откуда следует, что 02<! —— 5,20), 02<В! — 6,756. Интересно отчет!иь, ио 02<1! )02<!>. Это» нрНМЕР показывает, что иеуДачное в л использование сущестнеииой выборки проводит и увеличению дисперсии.
Таблица ! точные еяеееяяя 1,.—.<,вв ! =.",1З !л 1,тв ! — 0,35 0,34 Результаты расчета )<>шибкн ! =В,зт в з — 0,63 0,55 !Н=-<,<В 1 — 0,65 !Л=1,Э! з — 2,06 Вероятные ошибки о!»9 ~ е, гн гия трехкратный ин!сграл. В общем случае, когда функция й(Р, Р') зависит не только от расстояния р=(Р— Р'(, а от самих »очек Р н Р', пришлось бы моделировать все и!есть координат точек <2 и 0'. Г. Рассмотрим ч н с л е н н ы й п р и и е р; интеграл (33) в слу'юе й(р) =а 1, Я= ): !Гл. 3 ВЕ выч!!слсн!!е Р!нтггрллов В табл. ! приведены результаты расчета всех четырех оценок прп !У= 10 с использованисн случаанык чисел, указанных на стр. 10а, Здесь же указаны ошибки расчета и вероятные ошибки г„.
З.З. Симметризация подынтегральной функции. 3.3.[. П р о с т а я с и м и е т р и з а ц н я. Пусть требу-. ется вычислить интеграл ь 1, = ) 1(х) г(х О по конечному интервалу а(х<Ь. Рассмотрим случай. ную величину $, равномерно распределенную в атом интервале, и величину 2=(Ь вЂ” а)1($). Так как УХ=1о, то простейший метод Монте-Карло приводит к оценке интеграла Ж ь — а ! где $!,..., Ъ» — независимые значения $.
Рассмотрим теперь синалегризованную 4ункцию 1'и! (х) = — [~ (х) + ~ (а + Ь вЂ” х) [, интеграл которой по-прежнему равен 1а, и пусть Я!!!= =(Ь вЂ” а)1'п($). Ввиду того, что МЕ!п=1о, можно записать симметризованпую оценку интеграла Они' = —," ~, "[1 Я!) + 1(а + Ь вЂ” $ !)). Так как математическое ожидание квадрата 7!и равно ь М [Яп!!' = — ) ! (ч (х) + 21 (х) 1 (а + Ь вЂ” х) + 1 (п + Ь— Гь ь -х)[с[х = — ~~7а (х) с[х +) 1(х)1(а + Ь вЂ” х) Их а а л!атематическое о!кндание квадрата 2 равно ь МР = (Ь вЂ” и) )г Г (х) (х, а спасовы построения хоро!них оцгион ыт то легко доказать, что всегда М(2'"]з(МУз и, следовательно, 02'н(02.
Однако для расчета одного значения Л"' надо вычислить два значения ((х). Поэтому трудоемкость оценки Он будет меньше трудоемкости н1 О только тогда, когда 02"' ио крайней мере вдвое меньше, чем 07. Оказывается, для монотонных функций это всегда выполнено. Теорема 4. Если кусочно непрерывная г(зункцня ((х) лгонотонна прп а =х(Ь, то 02'н((!(2) 02. Доказательство' ). Из выразкений для дисперсий ь ь 20УО> = (Ь вЂ” а)) (ч(х) с(х +(Ь вЂ” а) (((х)=((а+Ь вЂ” х)г(х — 2(с 0г = (Ь вЂ” а) ((-(х) (.х — (о а вытекает, что утверждение теоремы равносильно неравенству ь (Ь вЂ” а) ( ( (х) ( (а + Ь вЂ” х) г(х ( Гтс. (37) я Предположим для определенности, что ((х) ие убывает и ((Ь) )((а). Введем вспомогательную функцию о(х) = (Ь вЂ” а)) ((а + Ь вЂ” г) г(г' — (х — а) (в, а которая обращается в пуль иа копнах отрезка а(х -"Ь.
Производная этой функции и'(х) = (Ь вЂ” а) ((а+Ь вЂ” х) — (с монотонна, и'(а) О, и'(Ь) (О; следовательно, о(х) )О *) Мы рассматриваем случай, когда ((х) непрерывна и днффсренцируема. Однако нетрудно видоизменить доказательство (вводя интегралы Стилтьеса) так, что нн дпфференцируемость, нп непре. рывность ((х) не понадобятся. вычггслскпг интггрллов 1ГЛ 3 прп а х -.'Ь. И можно записать очевидпое иераве>>ство ь ) о(х)/'(х)с[х) О.
а Проинтегрировав по частям, получим неравенство ь ) / (х) о' (х) г[х ~( О. а Симыетризованная функция в этом примере равна /11>(х) = — (1/2) (ах +с'-к) (рнс 40), а у соответствующая оценка „х Х у е 0/ч>1 = (2А'1 ' ~Х~~ (етг -1- е' т ), г=! /(ее„.т-х/ Лисперсия осреднясмой величи- Е нм равна 1>210 = (1/4) [2е— / — (е — 1) (зе — б]1 = 0,00392, Это во много раз меньше, чем 02 = 0,2420. 332. О ел ож ной си им е т р и з а ц и и. Интервал а( т (х(Ь можно разбить на конечное число частей н на кажРис.
40. дой нз них использовать простуго симметризацшо. Рассмотрим случай разбиения (а, Ь) на дае равные части. Пусть с= (1/2) (а+Ь). Тогда с ь /э = ) /(У) "У+ ) /(гр) "У =— а с с =. (1 2) ( (/(у) + /(а + с — у))ау+ (1/2) $ (/ (у) м,- / (с + Ь вЂ” уЦ г/у. а с у=е В нервом из этих интегралов сделаем замену переменной х=2у — а, которая цреобраз>ет интервал (а, с) в (а, Ь), а во втором — замену Подставив свода выраже>и>е для о'(х), получим (37). Случай иевозрастапия /(х) рассматривается точно так же, так как тогда п(х) <О, Г(х) <О. П р н и е р.
Расово~рви интеграл 1 / = (е"г/х. з % з! СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ ХОРОШИХ ОЦЕ1ГОК 1!9 х=2у — Ь, которая преобразует интервал (с, Ь) в (а, Ь). Получнм выраокенне ь г з ~ ( з а где Следовательно, для онспкп пптеграла !е можно использовать величину и 01зу = (! (Л') У Вгтз, 1=-! где 21 — значсння глу ьчйной нелнчппы 21 1 = (Ь вЂ” а) ) З1($). (з),, с П р н м е р, Рассмо1рнм пнтсграл 1 1 = ~ (2 — З.т — хз) йх = ! /6. 'о Так как 1(х) =2 — Зх — х', то нетрудно вычпслп гь, что )<и (х) = х — " . )(з! (х) = ( 1 уВ) (! + ".. — Вх ).
Сравним дисперсия веш1чпп 2=)(у), г<п=)01!!» 21з1=!М1(у): ()2 = ~(2 — Зх — х )з а — ПЗВ =-4113) — !УЗВ = 2!)ПВО; В 1 ))201 = ) (х — хз)т ах — 1,'36 = 1,'30 — 1136 = ! (! ВО; В 1 ()ЗГЗ! = (1;64) ~ (1+2х — 2ха)з с(х — 1/36 = 9(320 — 1/36 = 1!2880. 'о Если обозпачпть время расчета !'(х) через С то времена расчета /н! (х) я )(з! ( ) приблизительна равны 21 н 4!. Следовательно, трудоемкосзн трех способов расчета равны соответственно 24 1!1! 80) 2!! 180) О 251380, З.З.З.
К сожалении, различные методы симметризации, весьма наглядные и эффективные в Одномерном случае, становятся громоздкими и трудно оцениваемыми пру переходе к функциям многих переменных. Даже простая симметризация функции 1(х, у, г) по всем пере- 1гл з 126 ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ менным в единичном кубе содержит уже 8 слагаемых: )'и=(!/8) !)(х, у, г)+)(! — х, р, г)+1(х, 1 — д, г)+ +)(х, у, 1 — г)+)(! — х, 1 — у, г)+)(1 — х, у, 1 — г)+ +Г(х, ~ — у, 1 — г)+1(! — х, 1 — 1/, 1 — г)1.
Некоторые способы одномерной симметризации расслютрепы в работах [133, 136, 149). См. также упражнение 6. При расчете ллетодом Монте.Карло ряда физических задач [29) используют приемы, которые по существу представляют собой частичную симметризацию (по отдельнылг переменным). Например, вместо того, чтобы моделировать случайное направление каждой частицы, Рис. 41. вылетающей из заданной точки О (рис 41), по форыуле сов 0 =2у — ! рассматривают пару частиц, которые вылетают по направлениям 6, агссоз(2у — 1) н От=и — бь Выбор направления ез равносилен использованию 1 — т вместо значения у.
Такой способ моделирования обеспечивает более равномерное расположение траекторий частиц в пространстве. 3.4. Двухэтапные схемы расчета. В некоторых задачах можно указать не одну «хорошую» оценку, а целое семейство, зависяшее от параметров. Возникает вопрос о наилучшем выборе параметров. Обычно условием выбора служит требование минимума дисперсии оценки (при этом молчаливо предполагается, что время расчета одного испытания слабо зависит от значений параметров).
Аналитическое решение в этой ситуации, как правило, невозможно. Однако можно рекомендовать численный подход: на первом этапе весьма грубо вычисляются дисперсии оценки при различных значениях параметров (это нетрудно сделать методом п. 1.4 по небольшому количеству Ф испытаний); па втором этапе решается основная задача, при помоши оценки с наилучшей системой параметров.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
