Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло (1973) (1186217), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Теорема 3. Минимальная дисперсия РЯБ Реализу. ется в случае, когда плотность р(Р) пропорциональна [((Р) [ и Равна Бг„= [(щ!щгщ!аг1' — к . (39) Д о к а з а т е л ь с т в о. Если плотность Р (Р) пропорциональна ))(Р)[, то она равна рЩРЩ=ЩРЩРЩЩ(!Щ!ЩРЩЩОР~ . ЩЗИЩ )а Подставив (3!) в (29),получим, что Р7„=07ь. Осталось доказать, что, какова бы нп была допустимая плотность р(Р), дисперсия !)сь)07ь. А это легко доказывается с помощью неравенства (!), стр.
292: [(ЩЩЩ!Р1-[! ЩЩЩ Р]'-[ )Щ!ЩГ "* ~'~ < ~)'р !г!Р ) рг1Р =" ) 1хр-!дР. о+ а+ еь Следствие. Если подынтегральная функция 1(Р)' не меняет знака в б, то, ОЛБ — — О, По пьиии .чгнпе п!гтегпхлов игл 3 Отметим, что плотность р(Р) тождественно равна нулю в области 6о, в которой [(Р) — = О. Этот результат согласуется с выводол1 из теоремы 1, что область, в которой [(Р) =— О, выгодно при интегрировании исключить. В действительности использовать плотность (31) для расчета интеграла (28) нельзя, ибо в (3!) входит значение ) ([(Р) (г(Р, вычпслешге которого представляет собой задачу, эквивалентную по трудности исходной задаче (в случае знакопостоянной функции [(Р) — в точности эквивалентную).
Однако из теоремы 3 можно сделать вывод, что желательно выбирать плотность Р(Р) по аозгпожносги пропо1тционалоноб )[(Р) ). Такой метод выбора р(Р) часто приводит к величинам ло с небольшими дисперсиями. Он был предложен Г. Капом 1142) и называется методом существенной выборки (нпрог1апсе аагпрИпц), ибо если р(Р) пропорциональна 1[(Р) !, то в тех чпстях области 6, в которых 1[(Р)( больше и вклад которых в то более существен, будет выбираться больше случайных точек.
Возможна и другая интерпретация целесообразности выбора р(Р) пропорционально [(Р) (в случае знакопостоянной [(Р)): чем ближе 7о=[(Р)[р()т) к постоянной, тем меньше дисперсия 03оЯ). Очень сложные плотности Р(Р) использовать не рекомендуется, так как тогда процесс реализации случай. иых точек Я с плотностью Р(Р) станет очень трудоемким, Заметим, что для вычисления интеграла г'о = ~2о(Р) Р(Р) г(Р а нс обязательно использовать оценку йх: можно применить какой-нибудь из методов п. 3 1. П р и н е р.
Интеграл (стих о рвссиотрсииый в пп. 23 и 3.1.1, иотипо представить в виде 1 г' = (зг2) ) е (1+ х) 'р (х) пх, о й з! СПОСОГЫ ПОСТРОЕНИЯ ХОРОШИХ ОЦЕНОК 111 где р(х) = (2!3) (!+х). Значения случайной величины я с плотностью р(х) нычнслшотся ио формуле ь = ]'! + Зу — 1(мегод ойратныт функций), а оценка равна н Он — (3)2) Л' У е '()т е!) г=! В этом примере дисперсия осредиясмой величины 3($) = (3/2) еч (1+ '+ й) равна ! Г)2 =- (3!2) ) етх(1+ х) !Дг — тз =-0,0269. в Это гораздо меньше, '!ем в и.
2.3, и меньше, чем в п. 3.1.!. 3.2.2. Метод су!цествеиной выборки позволяет строить хор !шне оценки для несобственных интегралов (28), Предположим, что область 6 ограничена, но ~ )!з(Р) дР = со. и (32) В этом случае простейший метод !Монте-Карло позволяет записать оценку интеграла (28) Он =- ((т,гХ) ~ у (!2,), где точки 1;~, равномерно распределены в 6, а объем 6. Однако оценка эта плохая, ибо 09х=оо. В то же время оценка, полученная методом существенной выборки будет иметь конечную дисперсию, если выбрать допустимую плотность р(Р) так, чтобы интеграл, фигурирующий в выражении (29), сходился. Такие плотности всегда существуют.
В частности, этому требоваи ию удовлетворяет плотность (3! ) . На практике, если подыитегральпая функция 1(го) имеет особенность, то стараются выбрать плотность Р(Р) с той же особенностью, так, чтобы отношение !(Р))р(Р) было ограниченным. Прием этот часто называют вклгочением особенности в плотность.
Предположим теперь, что функпия !(Р) в (28) осо. бенностей не имеет, но ооласть интегрирования 6 нсограничеиа. Чтобы оценить такой интеграл, можно вычнслвнми ннтагрдлои 113 выбрать ограниченную область б,с=0 так, что и строить оценку для интеграла по области гх,.
Вместо этого можно попытаться заменой переменных преобразо- вать 6 в конечную область. Однако наиболее естествен- ным, по-видимому, надо счцтать использование метода существенной выборки. И в этом случае также рекомен- дуется включать особенность в плотность, т. е. выбирать р(Р) так, чтобы отношение )(Р))р(Р) стремилось к по- стоянной при ) Р) -э- со, Ран гг. 323. Один тнп интегралов с особенностью. Обо- значим через С шар хе+уз+аз(Яз. Во многих разделах физики и ме- хашши встречаются интегралы вида Ц! (РР— ауРЛР йс где обе точки Р и Р' принадлежат С, а р — расстояние между этими точками: р=(Р— Р'!.
Рассмотрим интеграл такого типа с особенностью 1 ~~! ( ) -адр !р (ЗЗ) пб ~ле фуш.цня а(р) ограничена и 3(О) чьо. г!нтеграл (33) абсолютно сходится при а(3. А. Для того чтобы вычислить интеграл (33) простейшим методом монте-Карло, выберем две независимые случайные гочки 13 и Я', рав- номерно распределенные в С. Так как плотности нх РО (Р) = = — ро. (Р') 1/(го, то положим Я = уота(р) р а,где р=)13 — !г'), Рп = (4/3)тЯз.
Тогда М2=!, а дисперсия Л равна Р3 !г2 ГГ аз (р),— забР бР, Уз сс Прн 1,5<а(3 последний интеграл расходится и П3 оо, Б. Воспользуемся методом существенной выборки и выберем совместную плотность р(Р, Р') случайных точек Г) и Я' так, чтобы она содерэкала такую же особенность, как подынтегральная функция. Так как р(Р, Р') =РО (Р) РО,(Р' ! Р), то то псу Я будем по.прежнему считать равномерно распределенной в С: Ро (Р) ы 1!)Го. Для определения РО,(Р')Р) перенесем начало ноординат в точку Р и выберем сферические координаты У, О', ф' с центроы в Р (рис. 33). Направление (из точки Р) условимся задавать единичным вектором ы, а расстояние по этому направлению от точки Р до границы шара С назовем !(ы).
Пусть р ,(Р' (Р) = (4и) ! (3 — а)(г') — а! †!3 а! - (34) !де г' )Р' — Р), а ы=(Р' — Р)(г', сносовы ноотронних хоронгих оцннох Из 4 з1 Нетрудно проверить, что формула (34) лействнтсльно определяет условную плоююсть вероятностей; при л|обой фиксированной точке Р гни) ) рб, (Р'(Р) г(Р' ф (4л) ~бы ~ (3 — и) (г')т "1" знж ~=1.
с о Рассмотрим скалярную случайную величину ЕЯ, Я') = 4л)гс(3 — а) 'Ь(р) (з "(ы), тле и (Я' — О(, ю=(Я' — Я)(р. Нсгрудно вычислить, что )Лг. 0гр (р),(р (р)брбр ((й(,)(,)- лрлр =/, сс 'сс в дисперсия этой веюшнны равна ОЯ = (4л)г~)з (3 — а) з Д йтгз т "р бр г(Р' — уэ. сс Так как функция Ь(р) ограничена, а 1 ле превосходит диаметра шара О, то последний интеграл сходится, и дисперсия 03 конечна при всех а(3. В. Ив-ва симметрии задачи интеграл (33) может быть сведен к трехкратному.
В расчетной схеме методов Монте-Карло этот факт учитываетсн «автоматически», если при реализации случайных точек принимать во внииание симметрию. Чтобы показать это выведем расчетные формулы для обоих способов расчета А Сферические координаты точки О в обоих случаях можно вычислять по формулам (14) гл. 2. Однако иэ соображений симметрии ясно, что точку О можно выбрать на осй Ол. Поэтому положим лп = Уо Рис.
38. г, г, )С 1/У. В способе А точка Я' также равномерно распределена в б. Иэ со- ооражеппй симметрии ясно, что можно ее выбирать в плоскости гт'=-О и считать, что лп'=го з(пОС, УС,=О, го =гб,созОС, где созОС~ = 2у' — 1, г, = Рзг Е' = ~гу . Получаем следующий алгоритм для расчета I методом Ан 1) Формулы для 1-го испытания з 3 г, = Ругу, соя й,, =22' — 1, г, = Рэ/у", Я' Р— 'У~ го, — 2 ого, соз Ой + гг и/ 2 й И и.
соболи !14 В! Вп!сление интггрллОВ !ГЛ 3 (33) 2) Если! = 1; и р = р! — значения 1 и р, полученные в гчи испытании, то м 1м~ = 4п)гп (3 — !х) !Аг ' ~~~ й (р!) 1з с=! В обоих алгоритмах — (35) и (36) — на каждое испытание за. трачнвается всего три случайных числа, так что фактическв вычнсля- *) В векторных обозначениях ь=(е+1ы. Так как (ь, ь) =)тз, то получаем квадратное уравнение Р(ы, а)+21(!е, е!)+(!1, !е)=Из, в котором (ы, ь!) =!. Решение: 1= — (ы,!О)+У(ы ()) т )(з — (я О й Чтобы перейти к декартовым координатам, заметим, что !1=(0, О, гн1 а ы=(з!пй', О, соей').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
