Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло (1973) (1186217), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Гаким образом теорема доказана. Теоремы 1 и 2 доказаны в [24] для случая выборки из конечного множества, Если выполнено условие (8), то выборка называется типической. В действительности выбирать Лгг по формуле (7) или (8) нельзя, так как 1[[, обязаны быть целыми. Обычно выбирают любые из ближайших к (7) или (8) целых чисел, лишь бы удовлетворилось условие (3). Пример. Чтобы вычислить интеграл 1 1 ) етг[л 4 и митоды с повышвннон скоростью сходимостн 139 с помощью й)=10 точек, разобьем (О, Ц на две равные части и выберем в (О, Уз) всего 4 равномерно распределенные точки 3( 1, а в (1) ('Й, 1) — 6 равномерно распределенных точек ь(2), Тогда р)=рз=.
= )з, Ф)=4, Ф2=6 И 1 4 1 о 6)о 6 Х ехр вз ) + 12 Х ехр си). а=1 з=) ,и) ио Дисперсия этой оценки РО)о — — (11!6) Рей + (1(24) Ре( . где (н 1/2 ( 1)2 Ре( =2~ е~~)(х — 2( хт)(х = е — 1 — 4 ()(е — 1) =0,03492, о Ре( =2 ) езх((х — ~ 2 ) ет((х) =ее — е — 4(е — Зг'е) =0,09493. П2 02 Ф Следовательно, РО)о — — 0,00614, в то время как дисперсия простейшего метода Рйм=0,0242. Значения ч() н о( ) легко вычисляются по (1) (2) формулам О(1) О,бу и $(~)=0,5(1+у'). 1,2. Оценки с повышенной скоростью сходимости.
Пусть Π— конечная область в и-мерном пространстве переменных х),..., х„, так что интеграл (1) и-кратный: Р=(хь..., х„), ((Р=((х„..., ((х„. Рассмотрим оценку Оа) в случае, когда т=Ж и все М)=11 Е„' = ~Р,У(()(й). (9) )=1 Обозначим через (11 диаметр е) области О) и предположим, что существуют положительные постоянные с)и сз такие, что при всех 1=1, 2,..., М Р) < с)/й)', ,(10)', а)1 Сз/Ж", (11) Условия (10) — (!1) означают, что все области 01 равномерно малы как по вероятности, так и по геометриче.
ским размерам. е) Диаметром области 0 называется верхняя грань расстояний между двумя точками этой области: ((= зпр (Р, — Р,), Р~ ° Ррив 140 вычисление интеГРллов )слоткные Оценки) !Гл. 4 Например, если разбить едипнчиый куб К"=(0<х)<1,..., 0 х„<!), в котором р(Р)=1, па /))=М" равновеликих кубов с ребром !/М (рис. 48), то, очевидно, все р)=1/У, а все Г/1= т/и/~М. Теорема 3. Предполо- 6' аким, что функция/(Р) и все ее частные производнь)е первого порядка д//дх„непрерывны в )т' и при всех 1е, й<п )д//дхи~ <Е,. Ю Если выполнены условия Рис. 48. (10) и (!1), то для дисперсии оценки (9) справедливо неравенство 1)8'т < с2/ 2/У-1 — 2м (! 2) еде с=пс)с2. Доказательство.
Выберем внутри 6, произвольную точку 51=(зл 1,..., зь„) и воспользуемся формулой Тейлора.' / (Р) = /(5 ) + ~ а) 2 (хк — з;,и), (13) 2=1 где а,„ — значения производных д//дх„ в некоторых точках (зависящих и от Я), и от Р), так что все ~ ил „! < <Ь. Из (13) следует, что и Р/ Я1!)) = 13 ~ч"„а,2 !)$12)1 — зпи)/, 2-1 где $1',,81) — координаты случайной точки Яо). Воспользуемся известным в теории вероятностей соотношением вХ ~ < Х,У~ъ 4 !1 методы с повышенной скоростью сходимости 141 н запишел! цепочку неравенств: л )/):гг(1/н!) =- У, ')/ [) ~и/з ф/! — з/ з)! ( л и <~1 М [оь (с.:-зь.)~з=-/-Х ~~Ми!-зь.)' з=! з=! Так как Ягг! с=6/, то1$з — з,,з ~(г// и, используя (! !), получим л 3/О/МО!) (/ Х г/ (/!!сей/ Нп.
з=! Последнее неравенство вместе с (!О) позволяет оценить дисперсию !эОл,: из (9) лг У з10м =.~~ Рз О/Я!/!) (~~ (/.лс с. Л/ ' ьл)з /=1 /=-! откуда следует (!2). 3 а м е ч а н и е. В математической статистике оценки, дисперсии которых убынают быстрее чем !/М, иногда,назыпа!от саерхэсафекгпиэными. С помощью теоремы 3 оцеш!м погрешность Ок — /. Для этого в известном неравенстве Чебышева Р(~т! — )з)т!) ~Л)~! — (Пт!/Лз), (!4) справедливом при любом Л)0, поло>ням т) = Ом, а О=в =(!/е) [/ [/О„,где н)0 — малое число. Получим неравенство Р(!Он — /~((!/н))/00л) )~ ! — с'. В силу (!2) тем более имеет место неравенство Р [~ Ом — /~((с//е)Лг — !'з! — !"и!) )~ ! — н', (!5) которое показывает, что со сколь угодно большой вероятностью ошибка Ом — / убывает как Л/-<"з' '""', т. е.
быстрее чем Л'-"з. Конечно, при больших н это ускорение порядка сходимости незначительно. И поэтому на практике оценка ,(9) используется редко. теорема 3 апераые была доказана В. Дупачем [120) для случая 6=К", р(Р) з= ! и разбиения, изображенного на рис, 48. См. также [1, 128]. 1 хя вычисление иитеггллов !сложи!Ле оценки! [Гл 4 1.3. Сравнение с квадратурными формулами. фиксируем произвольные точки 31~61 н рассмотрим квадратурную формулу 7=Х Р!1(3,).
(16) 1=! Для того чтобы оценить ее погрешность, умножим (13) на р(Р) и проинтегрируем по 6! р 77 —— р,.! (5,) + ~,) а! ь (хд — з;,е) р (Р) пР. (17) / Интеграл, стоящий справа, легко оценить с помощью (!0) и (11): ! и 1, . 1*. —,,! р рр ~ < ррр, < р„~ю- — ". с Суммируя равенства (17) по ! от 1 до М и используя последнюю оценку, получим, что в условиях теоремы 3 ! I-~ р!щ!ч ерр-'р". (18) Сравнение (!5) и (18) показывает, что порядок вероятностной оценки погрешности (15) на Лр' '* лучше, чем порядок оценки (!8). Это не случайность.
Следует подчеркнуть различный характер обеих оценок: оценка (18) справедлива одновременно для всех функций рассматриваемого класса ер! (Е) — с непрерывными частными производными !д!/дх,~ ((.; можно переписать ее в виде р !!!!р!р!р!рр — т р!!р1~~ ы- ° !мо*1ь! ~ а !'= ! В то же время неравенство (!5) справедливо для одной функции !(Р) (хотя и любой) из Р1(!.). Вопрос о наилучших порядках сходимости квадратурных формул, в которых используются значения !(Р) в У заданных точках, и недетерминированных методов вычисления интегралов, в которых используются значения )(Р) в !1!' случайных точках, исследовался Н.
С. Бах- % Я слнчднныв квлдттурныв оормрлы !43 валовым [2]. Для некоторых классов функций, заданных в К", оказалось, что если наилучший порядок сходимости квадратурных формул (на рассматриваемом классе) равен зт'-", то можно построить недетерминированный метод интегрирования, порядок сходимости которого (для каждой функции класса) будет с большой вероятностью равен М- "з. И этот порядок сходимости тоже является наилучшим.
(См. упражнение 1 на стр. 159). Практического применения такие неднтерминированные методы интегрирования пока не имеют, вероятно, из-за того, что сами многомерные квадратурные формулы, на базе которых должны строиться эти методы, достаточно сложны. Другой подход к оценкам с повышенной скоростью сходимости использован в (85), где для некоторых классов функций доказано, что если имеется семейство квадратурных формул с порядком сходимостн, равным йГ и, 0(н<1 (на рассматриваемом классе), то, выбрав подынтегральную функцию из етого иласса случайно, можно с большой вероятностью гарантировать для иее порядок сходимости й! " пз: если и+та~! н Ф ', если и+уз~а!.
2 2. Случайные квадратурные формулы 2.1. Случайные квадратурные формулы. Обычно квадратурной формулой для вычисления интегралов вида ~=~1(Р) р(Р)йр при фиксированной функции р(Р) называют выражение -Х,у( ), (19) 1 где и узлы Рь ..., Р»епб и веса Сь .. °, С„заданы. Естественно назвать случайной квадратурной формулой вы ажение Р ~=Х;п() '), / 1 где (;!!и,..., я'»' — случайные точки, определенные в 6 (случайные узлы), а хь..., н» вЂ” случайные скалярные величины (случайные веса). 144 ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ (СЛОЖНЫЕ ОЦЕНКИ) 1ГЛ. 4 Для приближенной оценки интеграла' 1(Р) ф,(Р) Г(Р (21) рассмотрим квадратурную формулу т 1ж~; С)(Р;). ~=о (22) Фиксируем произвольные различные узлы Р,, Рь..., Р„, и выберем веса См Сн..., С так, чтобы эта формула была точной для функций (=Грз(Р), (=ф1(Р) 1— = р-(Р).
Полученную при таком выборе формулу (22) удобно записать в форме отношения двух определителей 1 ВУт(Ро,..., РтУ%'Р (Ро ° ., Рт), (23) где по определению Ы (Ро) фГ (Ро) ° ° ° ~Рп~ (Ро) а(РГ) рГ(Р) ф (Р) 1 е(1 О Рт)— (24) и (Рт) фГ (Рт) ° ° ° фт (Рт) Рассмотренные в $1 оценки (2) и (9) представляют собой частные случаи суммы (20) с фиксированными (не случайными) весами. Другой класс случайных квадратурных формул, в которых веса х, являются функциями от узлов ИГ= =И,Я'", ..., 9'ю), был построен С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
