Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло (1973) (1186217), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Опснпть погрешность такого приближения нетрудно, если по полученным знамениям па, ...,ич и можно составить себе прелставлепие о поверхности и(Р). ))апример, пусть вместо зна <ения и(ля) мы вы шслили среднее значение х ~Ь )х„-) Ь ие — - ) и (~] х <(х( ) х <(х. х,. -Ь <„— Ь Если и(х) <ы с(х) =а+Ьх', то они<ока и, — п(х,) гнн<блп<ксиио равна (' ( .< о ' (< ) ( г' и Г< ) — ( х ) = †, г с Ь < < , Ь вЂ” Ь~о = ЬЬ . 1.33.
Оценка коэффициентов Фурье. Выберем в качестве ф(Р) в (7) несколько ортонормировннных функций <1<(Р)... <! (Р), так что (тр„, ф) =б<и Здесь бм — символ Кронексра; В<о=-О прн й~) и 3„„=-1. Формула (7) позволяет оцепить <'<<э<)м)/<ггг(исг<го) Фурье с„, Функции Кгр(Р) ощ<осительно <)ц(Р): с<я= (Тт'<Р, фл) =МО,[т!<ь).
Если система функций фг,..., ф выбрана достаточно разумным образом, то и< г(«р(Р) ~ с<,ьф< (Р) (13) ь=г и, вычислив приближенные значения С<,Ь вЂ”, 25 ()< (фа!<о 1 (!4) м ! 5 получим приближение (13) для 7('<р(Р) во всей области. 1.4. Случайные траектории с поглощением.
Траектории типа Т< — далеко не единственный способ вычисления итераций методом Монте-Карло. Зададим произвольную РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ !ГЛ $ функцию а(Р), удовлетворяющую в б условию 0 (а(Р) (1. Пусть в(Р) =1 — а(Р), а плотности р(Р) и р(Р, Р')— такие же, как в и. 1.2. Определим в 6 траектории 7, случайной длины у Ту=(ЮО- !!>- ".- 1еу) по следующим правилам: а) точка Яь выбирается в соответствии с плотностью р(Р). б) в точке !г! (где 1=0, 1, ...) траектория с вероятностью а(с(!) заканчивается и с вероятностью з(ф) продел>кается; в) если траектория не заканчивается, то точка Я>+! выбирается в соответствии с плотностью р(Я>, Р).
Естественно назвать а(Р) вероятностью поглощения случайной точки в точке Р и з(Р) — вероятностью рассеяния атой точки. Вероятность получить >-звенную траекторию 7, с соответствующими вершинами, расположенными в окрестностях точек Ръ Рь ..., Р„равна произведению ! — ! р(Рь)с(Р з(Р,) П р(Р, „Р)дРЕ(Р) р(Р! „Р)йРа(Р). ! ! Введем обозначение р; (Р„..., Р,) - р (Рь) П з(Р( !) р (Р(,, Р,) а (Р;); (1Б) / ! тогда вероятность получить 1-звенную траекторию равна Р(у = !) =~... ) р; (Р„..., Р )аР, ...
йРН Запишем также условную плотность вероятностей траектории 7, при условии, что у=(> р,(Р„..., Р>(т> = !) = р>(Р„..., Р;УР(~ = 1). Вдоль траектории 2', рассмотрим функции й'< (веса), определенные (для 1(т) рекуррентной формулой 1(гь 1 К( = Ф'( — ! [К Щ вЂ” н Я!)(з (Я! — !) р М(-н 4()) (1б) й и интеголльные пРГОБРлзовлния 160 А из (19) вытекает, что нт ($ К )-"=!]ХО [ф] /у! к=! (20)' где ОЩ, — значение 0,[тР] на з-й траектории (из числа 1-звевных траекторий). Заметим, что последнюю формулу можно заменить формулой Ф! (тр, К'р)=,— Х О [ф], (21), 1.6. Сравнение точности оценок (8) н (20).
В онеике (8] осредняются значения случайной величиям а![!Р], математическое ожидание которой равно (е,К~~у). В (20) осредияются значения случайной Сравнивая (10) с (5), легко заметить, что РР!(Р„...,Р!) =]У/!(Р„...,Р!)8(Ре). ° *8(Р; !). ([У) Обозначим через 0,[!Р] случайну!о величину О!]тр] = [ф (Я,)/р (Я,)] У! [тр (Я!)/а Я!)] (18) Теорема 2. Если условия, перечисленные в начале п.
1.2, выполнены, то условное математическое ожидание величины 0,[тр] равно М (О! ]тР]]т = () = (ф, К'ср)/Р [и = 1). (19),' ,][оказ а тельство. По определению М (О; Ц]]т = () = ~... ] О, [тр] р„(Я„..., Щ]т = 1) с((',!е... ...ко-/...]т!соПк!ес — ьчктюл,',„"",— (е, К чй =Р[=Р Теорема 2 позволяет сформулировать метод МонтеКарло для расчета ® К'р) с помощью траекторий У,.
В самом деле, реализовав й/ таких траекторий, получим среди них й/, траекторий, состоящих из !' звеньев. Очевидно, У/Л/=Р(т=!). (Гл з РЕШГНН!Г ЛННЕННЫХ УРЛВНЕНИИ 170 пслпчппы $!=Р(т=!)д, (ф), условное матемаэическое олн!дание которой равно также(»Р, К'й). Для того чтобы сравнить дисперсии этих величин, достаточно срэвшнь математические ожидания нх квадратов.
В первом случае МО,(Ф) = ) ° ° ° ( 0 (!)') р (!)е " Я!) Л)э ° ° ° 'Цг, (22) а во втором М (ь) (т !) = (. ° (з лч(0«, ..., !Чт = !) г(!)э... г(с(! = -Р( = '),(... (ОГ(р)рг(а„...,а) аг,...Л0!. 6 о С помощью формул (3), (6) и (!5), (18), приняв во внимание соотношение (17), нетрудно проверить, что имеет место тохсдестпо Вз( ) !=бе(;,', (0,)...
()г,) (0,). Р!спользуем (23), чзобы преобразовать после,!псе выражение для М[Р~ = )! МЯт=!) = ~... ) 0,.(ф)р! '''' ' (21) ш Р (т = !) а(), ... !Ц! !з(!)э) ° зЯ !) э(0!)' Вообще говоря, выражение (24) может быть как меньше, так и больше, чем (22). Однако в весьма важном частном случае, когда поглощение пос!оянно во всей области О или, другими словами, а(Р) ~а, эти выражения равны. В самом деле, в этом слу !ае Р (т = !) = лз! .( " 1 р; (Рш, р,) бр. " 1Р; =: '. и дробь, стоящая в (24), равна !4!еэ...
!(О!. Следовательно, в случае а(Р) =†а дисперсии равны ()О, (эи = В ($г!~ = 1). Для того чтобы количество слагаемых в формулах (8) и (20) было одинаковым и равнялось й!*, в первом случае надо построить !у =й!» траекторий типа Тг, а во отаром случае, чтобы )У!=!У ', надо построить в среднем У «/Р(ч=!) >)У ' траекторий типа Т Таким образом, оценка (20) для (ф К~гр) оказывается менее выгодной. На различных других оценках величины (ф, К!!Р) мы останавливаться не будем. Кроме случайных траекторий типа Т, и Т , возможны и другие типы траекторий.
Например, «поглощение» моэкет происходить при пересечении пеноторых заранее заданных линий или зависеть только от направления звена траектории и т. п. Е1 НЕОДНОРОДНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ГРАВНЕННЯ 171 в 2. Неоднородные интегральные уравнения 2.1. Постановка задачи. Ряд Неймана.
Рассмотрим интегральное уравнение г (Р) = ) К (Р, Р') г(Р') г(Р' 1- ) (Р), с которое с учетом (!) можно записать в виде г = Кг+). (25) Здесь г(Р) — искомая функция, К(Р, Р') — заданная функция, называемая ядРом Вравнелпя, 1(Р) — заданная функция (свободный член), Предположим, что )(Р) ~(-,(6), К(Р, Р') ~й,((т",к',()). Можно попытаться искать решение методом последовательных приближений. Пусть и"'=(;(Р) — произвольная функция из Ц(0). Пусть далее прп (=1, 2, ...
г(о Кг((-и ! ( (26) Условия сходимости ряда Неймана имеются, например, в (631. В частности, если ((к'(Р, РйлР(!Р < 1, од то ряд (28) сходится в среднеи: Иго г — ~~ К/, (=о Если, кроме того, для всех Р~В О ,(К (Р. Р)ЛР С, в т х — ~~ К(! = О. (=о то ряд (еа) сходится абсолютно и рввнол(ерво в В, Нетрудно вычислить, что г'и=-)+ К)+... +г('и "'!+К(р. (27) Последовательные приближения г"' сходятся при оо к решению г уравнения (25) тогда и только тогда, когда зто решение представимо в виде ряда Неймана К(~ (28) (=о 2 21 неодноРодные ннтГГРАлы<ые уРАВнення 1тз Соответствующий (30) метод Монте-Карло: и (ф гш) =,— Х,1;(ф)„ (31) где ь,(<р].
— значение ь,1<)<] на з-й траектории. Очевидно, по одним и тем же траекториям типа Т, можно вычислять значения (<р, га') для нескольких функций <р(Р) и даже для нескольких уравнений (25)— с одним и тем же ядром К(Р, Р'), но с разными 1(Р). Сами значения г<п(Р) можно вычислять любым из трех методов, указанных в п. 1.3.
Если ряд Неймана (28) сходится, то при достаточно больших ! значения (<(х г") могут служить приближениями к (<р, г). 2.3. Метод существенной выборки для траекторий Ть В предыдущем пункте рассматривались траектории Т„ построенные по произвольным допустимым р(Р) и р(Р, Р'), но не было никаких указаний на то, как лучше вы- бирать эти плотности. Однако от их выбора зависят дисперсии <лЦ<р], определяющие точность метода Мон- те-Карло (31). Особенно нежелательна большая диспер- сия тогда, когда начальное приближение г<" =<р(Р) близко к точному решению г(Р), так как можно «ис- портить» это приближение. Если функция го'(Р) известна, и интеграл (<р, га') вычисляется с помо<цью существенной выборки (гл.
3, и. 3.2), то минимальная дисперсия такой оценки, соглас- но теореме 3 гл. 3, равна 02 = (Щ, )г«<()2 (ф, ги<)2,. (32) Т е о р е м а 3, Предположим, что ядро уравнения (25) и его решение неотрицательна К(Р, Р'))О, г(Р))0, а траектории Т< строятся с начальной плотностью р(Р) =)ф(Р) 1~(Р)Д!ф1, р) (33)' и с плотностью вероятностей перехода р(Р, Р') =К(Р, Р')<р(Р')!К<р(Р). (34) Если начальное приближение <р(Р) равно решению г(Р), то при любом 1=0, 1, 2, ..., < О1,(<И = Т)< (35), Раша!!!!е л!и!ейных уолвнсния [гл о Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
