Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло (1973) (1186217), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Если ч!=Кср+/ и выполнено равенство (34), то ~ [ф]= = И(Оо)/Р(Яо)] [/(с!о)+/((с)о, Я!)ср(с«!)/Р(Оо, Я!) ] = = [Ч!(Оо)/Р(сго) 1 с[(Яо) +КО((Яо) ] = =ср(Оо)ф(с!о)/РЯо) =~о[ф]. В то же время при /)2 из (29) следует, что гс- [ф[ г»с[И = р ( ! )1[)о! — с!" Ф вЂ” ) [Р! — /Ф вЂ” ) — Ф'ссР %!)1 =- [сР Жо)/Р а»И [[7! — [ф Яс- ) — / (а — )— — Кср (а-~)1 = !. Следовательно, при любом / значение ~,[ф] зависит лишь от Оо и, с учетом (33), равно Ь![ф] =зпп 4 (Оо) !с', Х([4р], ср).
Поэтому дисперсия !,с[ф] равна с»ь! [ф) = М ь! [4И вЂ” (ф гсд)о ([ф[, !р)о — (ф, гш)о. А так как из ср(Р)=г(Р) следует, что все го'(Р)= =г(Р), то последнее выражение для 0ь,[ф] совпадает с (32). Теорема доказана. Как и в гл. 3, п. 3.2.1, плотности (33) и (34) с ср(Р) = =г(Р) практически использовать нельзя, так как реше- ние г(Р) неизвестно. Однако, имея «хорошес» прибл:!- жение г,(Р) = г(Р), мы можем (в принципе) выбрать со(Р) =го(Р), и дисперсии 0~,[4[!] будут близки к ми. нииальным.
Если функция ф(Р) зпакопостоянна, то очевидно, /)!=О. 2.4. Оценка линейных функционалов от г, Рассмот- рим бесконечные случайные траектории Т = (()о — »Яс-+'... — ! Щ-» ...) которые строятся по тем же правилам, что траектории То Тогда любой начальный участок (Яо-+.... -!- Я,) этой траектории представляет собой траекторшо типа Т, и плотность его рофо, ..., Я!) вырансается формулой (3). Предположим, что начальная плотность р(Р) до- пуст!!оса по отношению к ф(Р), а плотность вероятно- стей перехода р(Р, Р') допустима по отношению к К(Р, Р'). Тогда из теоремы 1 следует, что при каж- дом ! М([фйо)/Рйо)][Р/Ю!)]=(ф, К7), $ '-'! !!еодногодп!ха нптегглльные хали!гния !75 Рассмотрил! случайп! ю величину Ь[!(), зависящую от траектории Т„; (Зб) При некоторых услощгих справедливы равенства = '.
К 7('7) =- (й!, ~' К) =- (!)ь а), -о ;=О и математическое'ожидание величины ьЩ оказывается равным вычисляемому !рупкциопалу: Мь [ф) = (ф а). (37) Например, достаточно потребовать, чтобы было К(Р, Р'))О, )(Р))0 и ряд Неймана (28) сходился в среднеи, Более общие условия приведены нп:кс в теореме 4. Если (37) справедливо, то для оцгпкн (;х а) можно использовать Л! траектор«й типа Т„, по каждой из ннх вычислить значение ь[!Я„(з — ио«ср трас!лорин) и осреднить результат (Ф,:) = — 2~ ~и)" ! (33) Конечно, построить бесконечную траекторию численно невозможно. На практике траекторию строят до тех пор, пока слагаемые в (36) не становятся пренебрежимо малыми по сравнению со всей суммой, и тогда траекторшо «обрывают».
с)исто в качестве условия обрыьа пспользу!от неравенство г, с е)0 — некоторое наперед задщ!ное малое число, а ! — номер последней точки траекторги. Можно обойтись без искусственного обрыва траекторий, если вместо траекторий Т использовать траектории с поглощением Т (п. !А) В самом дслс, рассмотрим случайную величину С»!!Р) =- (!(! Яф)IР йч)! )Р» (7 (Я»)7г! (Ь)) (39) 178 РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ !Гл. в со случайным номером и, равным количеству звеньев траектории T,. При некоторых условиях математическое ожидание случайной величины ~,[ф), зависящей от случайного индекса у, можно вычислить по формуле ы М~т [ф) = Х М Л [ф[ $ У = ! ) Р (У = !') >=о аналогичной формуле полной вероятности, Так как при т=! и (=гр величина ~,[Ч!! =8,[ф), то из теоремы 2 вытекает, что М [ ~, [Ч>[ [ У = !') = (ф КЧ)/Р (У = () Следовательно, и окончательно М ь [тИ = (ф, г).
(40) Формула (40) также будет справедлива в случае, когда К(Р, Р') )О, [(Р) >О и ряд Неймана (28) сходится в среднем. Более общие условия см. ниже в теореме 5. Соответствующий формуле (40) метод Монте-Карло (ф, г) ж ~ч~ ~т [тр[н (41) а ! где ~~[ф),— значение ~ [ф] на з-й траектории типа Т„ а у †ном последней точки атой траектории. 2.4Л. Метод Монте-Карло (3!) позволяет оценить функционал (>р, г), если только ряд Неймана (28) сходится в среднем, так как можно фиксвровать столь большое г, чтобы разность [(ф, г!'!) — (ф, г) ) была меньше любого заданного е)0. Казалось бы, методы (38) и (4!) также должны сходиться при этом едянственном условии. К сожалению, переход в бесконечномерпое пространство 6)(6Х ...
заставляет наложить несколько более жесткие ограничения, связанные с тем, что сходимость ряда ~яр„ МЧ! не обеспечивает вообще г=а говоря, существования М ~ Ч,. и приходится требовать, ыобы схо. г=о С дился ряд ~~ М[пг[. г=о ниоднооодныи ннтигплльныи уплининни 177 Интегральное уравнение г (Р) = ~[ К (Р, Р')[ г(Р') йР + !)(Р)! (25) назовем мажораитиым по отношению к уравнению (25). Так как [К')[([К[г [[[, то нз сходнмостн (в среднеи) ряда Неймана для мажорантного уравнения следует абсолютная сходимость (в среднем) ряда (28), Те о р е и а 4. Если ряд Неймана для мажорантного уравиеяия (25) сходится в среднем, то имеет место равенство (37).
Т е о р е и а 5, Если ряд Нвимаиа для мажооантаого уравнения (25) сходится в среднем, то имеет место равенство (40). Легко видеть, что в случае, когда К(Р, Р') )О и [(Р) )О, мажорантное уравнение (25) совпалает с уравнением (25) и из тсорем 4 и 5 вытекают достаточные условия, приведенные в п. 2.4. Перейдем к доказательству теоремы 4. Из теоремы ! следует, что М[[Р(0))РМ[ «(0)[)=([Р[.
[К['И Сумма таних математических огннданий равна и (по лемме п. 2.!) стремится к конечному пределу, равному ([ф[,г). Сходимость етого ряда обеспечивает существование М([ф и справедливость равенства ма[у) =~чР, М г р,,' и,.) (0,)~~ =Я (Р, К')). [гР (0г) Еще раз применяя лемму п.
2.1, получим, что ь я| / гл (гр, К')) = !!щ ~' [Ф, К !) =!пп ~йь ~', К~)) = ф,г). г=о "!=о Аналогично д о к а з ы в а е т с я и теорема 5. Из теоремы 2 вытекает, что [ Р(0.) — ~ Ю) ! ЬИ, [КР [)[) М[[!т[1)[[[т=!)™~ (гт) )Рг а(сЗ) [= Р[т Затем с помощью леммы п. 2.1 доказывается сходпмость ряда ~~~~~ М [~ ~~ ['тз) ~~т = !] Р [ т = !) = ~ (Щ [К['[)[) = (Щ, г), г О г=в которая обсспечпваст сущсствопанпс Мс [1)) и справедливость - 12 н.
м. соболь 178 РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 1тл з равенства С» ч М [г[] ) М[ь [г)][у г)Р(т г),(г),!т[) То, что Ъ~ (Ф, К~[) = (4Н г), мы уже доказали. г-о Метод Ау«юге-Карло для расчета (тР, з), справедливы|1 и то~да, когда ряд Неймана для згвлыораптпоьо уравнения расходится, рас- смотрен в статье [148) 2.5.
Сравиеиие точности оценок (38) и (11). Для того чтобы срав- нить дисперсии ()([4г] и [) ь [4 ], рассмотрим математические ожи- данин квадратов этих величии. Во.первых, Мь""„[з)] = У М [ ь«з [ф] [ у = 1] Р (у=!) = г=в Гг)(г),1 [(ггг) 1Я ~Р (!4«) гп (!)4) ~ х Р,(г)„..., г), ]У =: 180„... ддо Использзя (17) и (15) для перехода от !Рг и рч к !Гз и р; и иве,ш (для краткости) обозначение 04 = [4' (1) )ур Яе)] !Р,[ (О,), (42) запишем результат в виде р, (Ом..., 1ы) аОь...а!ы 84бз[з)] =- ~ ]" ...
[" 0' — '' — '"' '-' '" —,'. 118) -т Х . Г з(1)„)... з (Г[,,) и фг) Во-вторых, из (Зб) и (42) зпдпо, ыо [з[4]=~~ 0.1 «Х [0,П«,]. / О г[ — о ][та того чгобы пцсицюь эюо выражение, ззпппшм шо и виде (з['Р]< " ""[][1[' "[[']' ') г,)=о где 1 — любое число пз интервала 0<1(1, и воспользуемся очевид- ным неравенством 2ио(из+от Р [))ж —,' У 1[+! — ''„.+ — ',' чч 0О"г — г У 1). 01=0 г=О [=О 4 з) ИЕОДНОРОДИЫЕ И!!ТСГРЛЛЫП !Е МРАНИПИИЯ Следовательно, йз[!Р] < 1, Х 1'.
! !=О и матсматпчсскос о>кндаппс этой вслп пп:ы пе превосходит »О ! — ! М~т [~гь) - 'ь! — Г [ '; Р! (6».. О ) аф» .~ЯР (44) ьа 6 6 Т е о р е м а б Если траектории Т» сгролгсл с аасгошшыл лог:ощенаел (т. е а(Р) = — ! во гсей обласзн б), го ))' [ Н < Н, [»р] для доказательства этол тсорспы госпользуемся формулами ,(43) н (44), Так кзк з(Р) ==! — а, то нз (13) вытекает, что м.,'(4>]=~' ' „а) [...
((-',д,(о, „,!),)и!3„...3!3! ! 0 6 6 Положнм в (44) (=! — а. Тогда (44) прсвратнтся в неравенство )мбз[ф] ~ М"„(зр], а ото!ода сразу вь!текает, что ()Дф] (()ь [ф]. 3 а меч анне. Вообще говоря, ряды (43) и (44) не обязаны сходиться, н дпсперснн мокнут быль бсскопечпымн. Условия конечпостн дисперсий (!ь[ф] н О"»[з]!] приведены в упрангпеннях 2 н 3. Теорема б показывает, что в нонкретпом случае постоянного поглощенна опенка (са) для (ф, а) обеспс швает лучшую точность, чем (41) (прн одном и тот! же колнчестве траекторий). Впрочем, оценка (41) все-твкп может оказаться менее трудоемкой, чем (38).
Так будет, например, в случае, когда функцпя [(Р) очень сложна (по сравнению с формуламн расчета траекторий), так как для расчета ь[ф] необходнмо вычислять [(!3 ) во всех топ!ах траектория Т а для расчета 7.[ф] ну кно лишь зяачепне [(!3») в последней точке т траекторпп Т» . 2,6. Использование сопряженного уравнения. Нетрудно убедиться, что вместо того, чтобы вычислять функционал (ф, г) от решения г уравнения г=Кг+[, (46) можно решать сопряженную задачу: вычислять функционал (), и) от решения и уравнения и=К»и+ф, (46)' где К*(Р, Р') =К(Р', Р). В самом деле, умножив скалярно (46) на и, а (46) на г, получим (и, г)=(и, Кг)+(и, (), (и, г)=(Каи, г)+(ф, г). 12» 180 РЕЬПЕЬЬЬЛС ЛНЬЬГПНЫХ НРЛВНЕНЦИ ЬГЛ Б Так как*) (К*и, г)=(и, Кг), то пз этих соотношений вытекает, что (и, () = (ьр, г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
