Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло (1973) (1186217), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Доказательства аналогичны пп. !.2 и 1.3. (Для случая 0 Ка и разбиения, изображенного на рис. 48, зто предложение доказано Н. С, Бахеаловым !1)! см. также С. Хабер [1281). !60 ВЫ'!ИСЛЕНИЕ ИНТЕГРЛЛОВ !СЛОЖНЫЕ ОНЕНКИ! (ГЛ 4 2. Доказать, что математическое ожидание оценки Лг — ! все узлы которой зависят от одной случайной точки (уь ..,,Т„), равномерно распределенной в единичном к)бе К", равно М9м = ~ 1(Р)г(Р.
к» (Б. Л. Грановский) 3. Доказать, что величина Ггй (Ок — !е) из п. 3.! аснмптотически нормальна, и вычислить главный член (37) дисперсии 0В,. ГЛАВА 5 РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ $1. Интегральные преобразования 1.1. Итерированные функции. Рассмотрим функцию <1(Р), определенную в некоторой области 6 на плоскости Р= (х, у), н функцию К(Р, Р'), определенную при Ренб, Р'~6. Интегральное преобразование К<у(Р) = ) К (Р, Р')~р (Р')<(Р' (1) преобразует функцию ф(Р) в функцию К<р(Р), которую называют итерацией функции <р(Р) с помощью ядра К(Р, Р'), Второй итерацией фуш<ции ф(Р) (с помощью ядра К(Р, Р')) называется функция ККф(Р), которая обозначается К'<р(Р). Очевидно, Кз <р (Р) = К К (Р, Р') К (Р', Р") <р (Р") <(Р'<)Р". Точно так же определяются К'<р(Р),..., К'<р(Р)...1 Вычислять такие интегралы можно методами, указанными в гл.
3 и 4. Однако задачи, в которых приходигся вычислять итерации функций, имеют свою специфику: обычно требуется не одна какая-нибудь итерация, а несколько или даже все итерации до некоторого порядка. Поэтому вычислительные схемы Монте-Карло выбирают так, чтобы все эти итерации вычислялись одновременно по одним и тем же случайным испытаниям. Далее, многие методы приближенного решения интегральных уравнений используют не сами значения К'<р(Р), 11 и. и, собань кл а !62 РЕП'Нп!Е Л!и!ЕПНЫХ УРЛВНГПН1И а некоторые функционалы от К'гр(Р), чаще всего — линейные, представимые в форме скалярных произнеденпй.
Условимся записывать скалярное произведение фукал ций ф(Р) и ф(Р) в виде (гр, Ф) = 1 ф (Р) ф (Р) г(Р (2) В слгдугощем пункте мы рассмгпрнм задачу о вычислении интегралов вида (!р, Кчр). Заметим, что если область 6 п-мерная, то интеграл (тр, Ктр) представляетсойой п(1+!)-кратный интеграл. В дальнейшем мы будем предполагать, что ф(Р) ~ЬЕ(6), 1Р(Р) е=ь,(6), К(Р, Р') ~!.,(6~6). Эта запись означает, что )" „'(Р <, У !'-ВР <,,Ц К')Р Рг < й о' оа Легко доказать, что если ф(Р)Ыа(6) и тр(Р)с еи1.а(6), то скалярное произведение (2) конечно. Это вытекает из неравенства (!) па стр.
2921 улаф (Р!<.(ррах (Р(р р'нр 1ф'г)Р7'< ю. Так же легко доказать, что если !р(Р) аида(6) и К(Р, Р') е=йа(6Х6), то Кгр(Р)~йт(6), В самом деле, из (!) следует, что (К!р (Р))а =АД)К тр'!г(Р'~ ( ~Ка (Р, Р') г(Р' ) !р' (Р') ыР'. Интегрируя это неравенство по Р, получим ") (Кф)' г(Р < ") ") К' (Р, Р', г(Р (Р )' ре (Р') (Р' < а аа о Ото!ода вытекает, что н К'гп(Р),..., Кгр(Р),... прп. надлежат В,(6). При мер. Область б представляет собой треугольник х.ло, у>0, х+у(! (рис.
49), ядро К(х, у, х', у') =хх'+уу'. Вели выбрать !63 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ и !р(х, у)=1, то ! 1 — т' К<р(х,у)= ( ох' ( Еу'(хх'+уу') = — (х+у), о о 6 ! ! — и' Ктя!(х, у) = ) ох' ) ну'(хх'+уу) —,(х'+ у) = — (х+ и)' о о 6 68 нетрудно пронерить, что К!!р = 6 ! 8 т(х+ у) при !=1, 2..., 1.2. Вычисление линейных функционалов от итери- рованных функций. Предположим, что в области 6 за- даны функции тр(Р)енйт(б), т)(Р)ен1н(6), К(Р, Р')~ ~(н(бХ6) и требуется вычислить интегралы (!р, Кчр) для)=0, 1,...,й Выберем в б произвольную плотность вероятное!ей р(Р), допустимую по отношеии!о к тр(Р) (см.
гл. 3, и. 3.2), и произвольную условную плотность вероятностей р(Р, Р) ==-р(Р') Р), допустимую по отношению к ядру К(Р, Р'Р. Условия нормировки )"р(Р)йР.=), )'р(Р, Р')Г(Р'=1. 6 о Ог!рсдслпи н б случайну!о траекторию Т, (рнс. 50) т,=((;)о- О! —....—.®, где точка ()о имеет плотность р(Р), а плотность точки УА ! Рис. 60. Рис, 49. б! при известном значении б! ! равна р((е! !, Р). Функцию р(Р, Р') часто называют плотностью вероятностей перехода из точки Р в точку Р' и обозначают р(Р-и- Р'), 11ь 1б4 Рннгнггг лингпных уРлпнгнин [ГЛ. 5 а функцию Р(Р) называют начальной пло~ностью. Траекторию можно интерпретировать как точку н 6Х...Х Х6=6'"'. Плотность вероятностей этой точки равна Р.(его, гг )=РЯо)РЯ ()г) . Р(Яг-г, 4) ) (3) Функцию (3) называют плотностью траектории Ть Введем в рассмотрение функции от траектории, называемые обычно весами: К (чо чг) К 101 ггэ) .
К (чг 1 ггг) Р 10о Оо) Р (0г 0г) ° ° Р (Яг г 0г) (4) которые определены при 1=1, 2,..., Е Для 1=0 положим )Уггг=!; тогда справедлива рекуррептная формула )Р,=)Р;,(КЯээц ()э)/Р(Яэ, Яэ)1, (5) которая позволяет последовательно вычислять все (кг по мере расчета траектории, Обозначим через 0,(ф] случайную величину 0 И) =И(Я )/Р(Ь)1)Рлр(Я) (6) Те о ре и а 1.
Если условия, перечисленные в начале пункта, выполнены, то математическое ожидание величины О;щ равно (ф, Кггр) Мо,(ф1=(ф, К'р). (7) Для доказательства теоремы вычислим это мамематическое ожидание: ай, (ф) = )'... )'В, (ф) Р,,Ц,... дбь в а Приняв во внимание соотношения (3), (4) и (6), получим *) М0! И = ~~+ЖЬо ) . ) йтгр,гр(Яг)М ° Ф= - 1ф(Вдб.й)'...)'К(()., В ... К(()г, ()И(Е Х Хда ...д() =,.~ рм.) Ц.к'ЧЯ.) =(ф, К'р).
о) В этой главе переменные интегрирования иногда обоэнвчаютея той же буквой Яг что и случайная точка. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОВРЛЗОВЛНИЯ !65 $ и доказательство теоремы нуждается в одном уточнении. Плотности Р(Р) и (или) р(Р, Р') могут обращаться в нуль в тех точках, в ко!орых !)(Р) и (или) г((Р, Р') обраща!отея в нуль. В таких точках гуормулы (4), (5) и (6) не определены. Можно доопределить в зтих точках )Гг и О! (!)), полагая их равными нулю.
На значение интеграла зто не повлияет, ибо если произведение РЯе)РЯз, ()!) ° ° ... Р((ч ! !, С)!) равно нулю в некоторой области Вг:гг)( ... )(О, то произвеление !у(гго)КЯч, О!) ...)( (()! !, !7!) также равно нулю в В и интеграл по области В равен нулю. В дальнейшем мы оговаривать доопрелеление соответству!ощнх величин не будем, так как зто всегда может быть осуществлено таким же образом.
Теорема 1 позволяет построить метод Монте-Карло для расчета величин (!й К'гр). В самом деле, если го указанным правилам построить У траекторий вида Т, и для каждой из них вычислить О,[тр1, то прн достаточно большом й( (ф, Кгч) = ~1 О;(ф)., ! ! ! (8) ') Хотя дель!а-функция н не принадлежит 1з(6), но скалярное произведение (б, К! ~)конечно. где О;[!р], †значен ОЩ, сосчитанное для з-й траектории. Так как часть ((,го-ь Я! -ь... -ь Я!) траектории Т, при /(( представляет собой траекторию того же типа Тз, то по тем же точкам можно вычислить О
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
