Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло (1973) (1186217), страница 24
Текст из файла (страница 24)
М. Ермаковым и В. Г. Золотухиным [34], использовавшими структуру интерполяционных квадратурных формул, точных для заданной системы функций фо(Р), чн(Р), ~... <рт(Р). 2.2. Некоторые свойства интерполядионных квадратурных формул. Рассмотрим произвольную н-мерную область 6. Все функции будем считать кусочно непрерывными и принадлежащими (е(6; 1). Выберем систему ортонормировапных функций фе(Р), он(Р), ...,<рт(Р) так, что ~ Гр» (Р) ф;(Р) Г(Р = бхп й $21 СЛУЧАЙНЫЕ КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ 145 В самом деле, если в (23) подставить /=ф/ при!( =/'(и, то в определителе йт (Ро,..., Р ) окажутся / два совпадающих столбца и он обратится в нуль; в этом случае /= ) ф/(Р)фо(Р)//Р=О. Если же !=фа, то числитель и знаменатель в (23) совпадут, но в этом случае I = ) фо (Р) йР=!. Единственное ограничение применимости формулы (23) — это требование, чтобы Кд(Ро,... ..., Р„) ФО.
Если оно выполнено, то формула точна для любых линейных комбинаций вида /=аофо(Р)+...+ +а„ф„(Р), и поэтому представляет собой в каком-то смысле «разумную» квадратурную формулу. Л е м м а 1. Пусть фо(Р), ф1(Р),..., ф (Р) — любая совокупность ортонорг1ированньт функций в 6. Тогда ~ ... ) !У'~~,йРо...йР = (и+ 1)! (25) о в До к аз а тельство проведем индукцией по и. При и=2 1У, (р Р ) (фо (Ро) ф«(Ро) 1фо(Рь) ф (Р«) Отсюда (Р~~, = фо(Ро) ф/ (Р/) 2фо (Ро) ф1 (Ро) фо (Рь) фь (Рь) + +фа(Р«) ф/(Ро), и Ц РР'йР йР, =1+1=2. Допустим теперь, что для определителей порядка и формула (25) справедлива и интеграл равен и1 Рассмотрим определитель (и+1)-го порядка Ж',р,(Ро..., ..., Р„) и разложим его по элементам первой строки: Оь Ььн " О/ / С»И О/Ч Слн ".О /рв ф ' ( ) ф/( о) р р р р (26) 1О Н.
М. Соболь 146 вычислвнна ннтагвхлов <сложныа оцвнки> !гл г Нетрудно заметить, что каждый из определителей в (26) есть определитель типа Ч7в, порядка пм его столбцы образованы значениями и ортонормированных функций в п1 независимых точках. Согласно индукционному допущению т о"в - е/ 1и'не~+,и'и ...е <Р,1 ! '(" )" ~1-~ (~ ) т1+ (' )"' (~ )1 Поэтому, возведя (26) в квадрат и проинтегрировав ,(сперва по Р,, затем по Р„..., Р„), цолучнм ~УР~рфР ИР ~~~ Я (Рз) йР гн1 (ю + 1)! 1-ю в Лемма 2. Пустыре(Р), <р1(Р),..., гр (Р), ф(Р)— 'любая совокупность ортонормированных функций в б.
Тогда (...~!Р,У,йР,... йр. =О. Доказательство. Выберем новую функцию <р=' - (У 2/2) ((рг(Р)+МР) ], которая также ортогональна ко всем <р1(Р),..., р (Р) н нормирована; 2 [ ~ ~Ф сйр + 2 ~ Ч~ф ЙР +~ ф ЙР1 = ! . По известным правилам действий с определителями Я7,р — ()/2/2) (Я7щ, + !Р,„), так, что К~ = (1(2) (!Р~~ + 2Кр,!!г,р + (Р'е~). Проинтегрировав это равенство по всем переменным и использовав лемму 1, получим, что (т+ 1)! 2 ~(ш + 1) ! + 2 ~... ~ Уур,рреи Ро .. с(Рт + (вг + 1)!1~ в откуда вытекает утверждение леммы 2. случхпнне квлдРАтуьные ФОРмулы 147 2.3.
Случайные интерполяцнонные квадратурные формулы. Обозначим для краткости п(т+1)-мерную область, точки которой Т=(Рм Р„..., Р ), через В= =ОХ...ХО и пусть йТ=дройр,...йР„. Пусть далее Во — множество точек Т, в которых (Р'о, =О, а В+=. =  — Во. Определим случайные точки Я'о', ..., 1»' > в б и в качестве оценки интеграла (2!) рассмотрим случайную величину 1Р, (О'", ..., О") О, если (Я'", ...,Я1 1)~=В,. (27)' Теорем а 4.
Если совместная плотность распреоее ления случайных точек Я'о', ..., Я' ' в В равна 1 Р(ро~ . ° Рт) = (м 1 011(Ров(Ро» Ря)!'з (23) то для любой функции !(Р) из Ьо(0; 1) МО(11=~~(Р) ~.(Р)йр, (29) РО 1)) ~( ) )о (Р) дР— ~ ~~ !' (Р) о»1 (Р) др) . (30) Доказательство. Выберем произвольную конечную функцию !'(Р) нз Т.о(б; 1) и обозначим через с;ее коэффициенты Фурье с1 = 11(Р) ор; (Р) йР. Пусть в а' = ~ ~~(Р) — ~ с;ой (Р) ЙР = 1г~'(Р) йР— ~~~~ соп в 1=о Д в 1=о Если а'~0, то, введя функцию ф= (!/а) [1(Р)— — ~чЗ~ сщ~(Р) получим представление 1-о 1 (Р),'» срр! (Р) + аф (Р).
(31) 1-о 10' $21 случАнные квАДРАтуРные ФОРмулы 149 неравенство, равносильное (30): ВВ й = М (В Ш)з — с ( а'. Впервые эта теорема была доказана в [34), а уточнение к ней — в 132!. Из доказательства видно, что знак равенства в (30) реализуется тогда и только тогда, когда ") а',ат=о. в, (32) Это условие будет выполнено для любых функций 1(Р), если объем Во (п(т+!)-мерный) равен нулю. Иными словами, если ((УФ„=О только на многообразных меньшего числа измерений, чем и(т+1), как, например, Рс — — Р! и т. п. Равенство (32) не будет выполнено для некоторых функций ) (Р), если функции гро(Р),..., гр (Р) линейно зависимы в какой-то области 6'~6 с положительным п-мерным объемом: в этом случае Пут — — 0 в области 6';А,...Х6' с положительным и(т+1)-мерным обьемом, и объем Во положителен.
Легко показать, что оба этн случая возможны. В самом деле, пусть Π— интервал 0<х<1, т=!, так что и — квадрат (0<хе<1, 0<х,(Ц. Если выбрать Фз(х) =1, Ф,(х) = У' 3(! — 2х), то 1! )'3(1 — 2хо)1 )Г (хз,хд) =1 '1=-2р'3(хз — хз) 1 у'3 (1 — 2гг)1 н множество Вз состоит пз точек, расположенных на диагонали хе= т, квадрата В, Если выбрать Фз(х) =1, Ф,(х)=зяп ('/з — х), то легко вычислить, что Иг (хе, хд)=! 1 1 Фз (хе) ! = Фз(хз) — Фз(зе) ее ' 1!1 Фз(хз)~ н !р (хз, х,) =0 в двух четвертях (0(хе(1!з, 0 -х,(Я и ('/з(мхе<1, !з(х,<1) квадрата В ').
Верхняя граница (30) для дисперсии !39[[) имеет простой геометрический смысл: она равна квалрату расстоянпя (в метрнке пространства В,) от функции [(Р) до линейного подпространства, опРеделЯемого фУнкциЯми Фе(Р), ..., Фм(Р). ') В качестве Ф,(х) в этом примере использована вторая функцня системы Хаара [82]. 180 пычислпнип интпгрллов <сложнып оцпнки> (гл. 4 > П р и ме р.
Рассмотрим интеграл 7 =) >(х)бх. Пусть щ=! и о заданы две ортонормпрозанные функции: гро(х) =1, ф,(х) = У 3(! — 2х). Обозначим через 8 н ч две случайные точки (вместо Цю и Я ) 0> н вычислим определители, входящие в (27): !У,=(й)ф (Ч) — 7(Ч)ф.а)=УЗУ(й)(1 — 2Ч) — )(Ч)(1 — 24)], йт, чч(й) >уз (Ч) — ф«(Ч) 'рг(ь) = 2 $' 3(ь — Ч).
Из (27) и (29) вытекает оценка интеграла П 6[7] = 2 ' ($ — Ч) ' [(1 — 2Ч) 1(В) — П вЂ” 24) 7(Ч)] где Э и Ч имеют совместную плотность распределения рй (х, у) = 6 (х — у)з, 0 < х, у < 1, (33) > Для расчета интеграла! ]«~ах по десяти значениям подынтего ральной функции запишем оценку (1 — 28.) е г — (1 — 28 ) «г зэ = — 7„ (34) 2 (81 — Ч>) 'Дисперсия этой оценки, согласно (М), где имеет место знак равен.
ства, есть 7! > ! 1з! Рй> = ь>их[эх]= — !)г этх>(х — 7з — ~3 ~ (1 — 2х)г(х) ) = 0,2 (0,5(еэ — 1) — (е — 1)з — 3(3 — е)з) 0,000788. Уменьшение дисперсии по сравнении с простейшим методом весьма значительное. Так как р1 „(х, у) (6, то удобно находить значения к и Ч методом Неймана (п. 5,3 гл. 2): выбираем три случайных числа уг, уо уг и проверяем условие уг < >уг — уг) .
Если оно выполнено, то ь! =уо Ч> уг. Эффективность отбора э=>7« Пример расчета по формуле (34) приведен в табл. 1. Результат этого расчета 6>,=1,731. 2.4. Замечания. Методу й. 2.3 посвящено несколько работ [20, 31, 137]. Исследователей привлекает большая общность метода и значительное уменьшение дисперсии. Однако он имеет и свои недостатки. Во-первых, пока нет удобных и достаточно общих приемов для разыгрывания канек !4!о>, ...,!г!«'> с алотностью (28) «). Во.вто.
') Если известна верхняя граница плотности р(()!о> ...,, Я!м>) ~ ~с, то лля разыгрывания точек 0~ >, ...,!)~~~ можно использовать метод Неймана, эффективность которого э=1/с. использовлнив смещенных оцинок 151 Таблипа 1 Чкслктель е [г!) Знаменатель 0,69186 0,91682 0,22561 0,95114 О,'4О837 0,0339! 0,12904 0,70177 0,16021 0,93030 2, 2588 2,8043 — 1,6128 2,8182 — 1,7569 0,6579 0,7878 — 0,4762 0,7909 — 0,5219 1,716 1,780 1,694 1,782 1,683 й 3. Использование смещенных оценок Все указанные в гл. 3 и 4 оцени О интеграла 1 = ~1 (Р) Р (Р) г(Р (Зб)' представляют собой несмещенные оценки: МО=1. Воль. шинство авторов ((33, 130]) включают условие несмещенности даже в определение случайной квадратурной формулы (20), требуя, чтобы ~~к!~ (Я!»=1 для всех !=! 1(Р)~1,з(0; р). И мы отдали дань этой традиции в гл.
3, и. 2.4. Однако, как указано в гл. 3, п. 1.7, при больших М (когда количество используемых значений )яо!) вели ко) для практических целей достаточно требовать толь- Р ко, чтобы оценка была состоятельной: Π— 1. В самом деле, обычно порядок дисперсии )лО=О(У ') и вероят. наЯ ошибка г„оказываетса гк=О(1!1-ыз). В тех слУчаях, когда смещение Π— 1=0(Ж-!), ясно, что прн больших М порядок ошибки определяется величиной г„, а не смещением. рых, в формуле (27), вообще говоря, присутствуют отрипательные случайные веса (ср. пример п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
