Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло (1973) (1186217), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Известные по первому этапу время счета и дисперсия позволяют довольно точно оценить объем работы, необходимый для достижения заданной вероятной ошибки, й з! СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ ХОРОЦ!ИХ ОЦЕНОК 12! Мы рассмотрим два примера однопараметрических оценок. ЗА.1. В гь 3.1.1 для приближенного вычисления интеграла 1= ~/(Р) Р(Р) с(Р о использовалась оценка 8, = С+ П/Л) ~з [/(О,.) — й (с)!)), г'.= ! где ЮС вЂ” случайные точки с плотностью р(Р), а й(Р) — пекотораи функция, «близ!сан» к /(Р), интеграл которой известен; С= =)Ь(Р) р(Р) с(Р. Обе функции /(Р) и й(Р) принадлежат йз(б; р).
а Можно выбрать произвольный пзраметр а и рассмотреть болео общую оценку интеграла 1 ей' = С+ (118') ~ЧР [/ [0,.) — 1 (0,.)). (38) г'= ! Лействительно, в (38) осредняется величина 2(аг=аС+/(0) ой(гг) математическое ожидание которой М2!"г = 1. По известной формула о дисперсии суммы 02(~! = Р/ (0) — 2аг )г 0/ (с/) Рй ((1) -(- ас08 (()), (39) где г — козфс/гссг!лент коррелячсгп величин /(сс) и й(0) г г = М [[/(С'„г) — 1) [й (СС) — С)) [0/(СС) Рй (0)) Простые вычисления показывают, что минимум Р2(аг реализуется при а = а, — г ):01 (Ф106 (0) и равен гп(п 02!»г 02(а ! ((,з) О/(О) а (Теоретически возмогксп даже случай Р2'"л =О, который реализ>ется прн [с[=1; однако на практике, если [с[=1, то случаГгные величины /(О) и й(С)) связаны линейной зависимостью /(Р) =Ай(Р)+В, и искомый интеграл равен 1=АС+В! нннакне приближениьге оцеьжп не нужны).
П р и м е р. Требуется вычислить интеграл ! 1= ) есс(л = е — 1. о Так же, как в п. 3.1,1, положим й(з) =к, но вместо оценки (23) аос. пользуемся оценкой (38) 8(а> - (сс/2) + (1/Л) ЧР [е'с — ссу!) . г ! 122 ВЫЧНСЛСННЕ ННТБГРЗЛОВ !гл з Т.,к как ! Р/> = ~ хоу» — (1/4) = 1П2, О ! (З/ (ес С» / =0,2420, О ! г )лМ~Ш = ( (е" — /) (х — ! /2 г(х = (1/2) (3 — е), О то наилучшее м;ачеине аз=0(3 — е) =1,6903, и соотпетств!юшее ему значение дисперсии равно ()2~ай (1/2) (е' — 1) — Р— 3(3 — е)'= 0,00393 (/о (Р)/р (Р; а)) г/Р, ? с' Рпс. 42. фвг)рируюший в выра>кении (29) для дисперсии.
Апалптичесггое исследование способов выбора а имеется в статье А >т!аршалла (15?). Однако на практшге обы шо выбор а осуществляется экспериысигал>,. ным способом, указанным в начале п. 3.4. П р и м е р. Интеграл ! / = ~етг(х Ь в п 3.2,! вычислялся методом существенной выборки с плотностью р(х) =(2/3) (1+х). Рассмотрим теперь семейство допустимых плот. настей р(х; а) = (1-1-а»)/(!+а/2), а)0.
Длк разыгрывания значений случайной величаны В с плотностью и(»; а) методом обратных функций получаем уравнение (з+ аэз/2)/(! +а/2) у, Это примерно в 10 раз меньше, чем 02' в и. 3 ! 1. 1!нчего удпвптель. аого в таком результате нет: из рис. 42 видно, что прямая у=/-1- +ао(х — 1>2) гораздо лучше прпбл>.мает фупкц;ио у=с»,чет! пря. мая о= — !+.> — !/2, Зхйз. Чаи!е друшш встречается могол сушестнспяой выборки, зазисаппщ от параметра. Гели при всех а (из аско>араго многкествп) плотности р(Р; а) допустимы по отион>гнию к /(Р), то интеграл /о = ( (Р) г/Р мо>иио вычислять 'а мшодои суше твеипой выборки (и 32) с чюбмн и. !.1аилучшое ? з>шчшше а=а> — это значение, прп кагором достигает минимума интеграл й !! пнтсгпллы, злиисисцие от плрллсезпт !23 решение которого пссрудно записать в явном виде. Окончательная опенка интеграла 1: М 01а! = (1 -',— и'2) Л' ! ч' с ( (! -! ас.) — ! '- 1 где В ! = (1,'а) ()/1+ а (а + 2) 22 — !1.
В этом примере дисперсия осредняемой величины 2!а!= = (1+а,'2) с (1+а",) 'равна Окса! = ) (1-'л а)2) (1+ ах) !езхс(х — Р. о После замены переменной ад=2(!+ах) это выражение превратится п 2-1-2,а Ох!а! =(2 г+ сс !) е 2" ) еэу гсср — Р 2а где интеграл выраисается через интегральную показательную функцию Е1(х): )зл!а! = (2 г+ сс !) с 2!а (Е!(2+ 2(а) — Е1(2)а)) з— Р. При а=! получаем для !У2 П выразкеипе из п.
3.2.1, которое равно 0,0269. Однако расчеты показывают, что дисперсия О2!а! будет минимальной пРи а=паж 1,81, когда ОХ!а'> =0,0010, $ 4. Интегралы, зависящие от параметра 4.1. Использование зависимых испытаний. Предположим, что требуется приближенно вычислить значение интеграла ! ().) ==- ~)" (Р, Х) Р(Р) с(Р (40) прн нескольких значениях действительного параметра )., например л=Л!,..., )„.
Если при каждом нз этих л условие применимости простейшего метода Монте-Ка)ги ло выполнено Е!Л (л) — — ~ )2 (Р, ).) Р (Р) с(Р— (2 ().) ( со, и то можно записать оценку для /(л): л' Ел ().) =- ()У У) ~' ~ (()ь ).). (41) !'=1 где ()и..., ьги — слУчайные точки с плотностью Р(Р).
!ГЛ а ИЫЧ!1СЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ !24 Оценка (4 ! ) справедлива при каждом из интересующих нас значений )ьг,..., Х,. Если функция г(Р, А) непрерывно зависит от Х, то и Ои(Х) будет непрерывной функцией от )ь. Вычислив 0 (Х!),..., 0 (Х,) мы, конечно, получим значения, отличные от 1(Х~),..., 1(А,), по эти значения будут расположены па гладкой кривой.
Если й! достаточно велико, то кривая Ои(Х) окажется достаточно близкой к 1(А) и по значениям 9 (Х„) можно будет даже оцепить производную 1'(А) (если она сушествует). Несколько неожиданным может показаться утверждение, что результаты п. 1.2 не дают достаточного основания для применения оценки (4!). В самом деле, из (4) слсдует, что вероятность неравенства ! 0м () ) 1().) ( < х„ИЭг().)Л (42) приблизительно равна 0 (если М достаточно велико). Это спРаведливо пРи каждом А=!ть. Но пельзЯ УтвеРждать, что вероятность одновременного выполнения нескольких неравенств (42) при Х=АИ..., Х, тоже равна 9., Формула (4) позволяет оценить все ошибки )0и(Ц)— — 1(Хь) (, если для каждого А=А, вычислять 0и(Хь) по независимым испытаниям, т. е. считать, что 1(йа) ()1йг) йы 1 Ф,ь )а), где Яг,ь при г'= (, 2,..., й!; й=1, 2,..., з — независимые случайные точки с плотностью р(Р). Однако в атом случае приближенные значения интеграла даже при очень близких Х могут различаться между собой на величину порядка (г РЛ/М и результаты расчета пе дают верного представления о разностях 1(Хаы) — 1(Хь).
(Кроме того, при таком расчете приходится вычислять в з раз больше случайных точек.) П р и м е р. Вычислить иитеграл 2 !(Х) = ) соаххих =1 'и!Е2Х 'а или Х 0,2, 0,4; ...; 2,6. 4 4] ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯШНЕ ОТ ПАРАМЕТРА 125 Таблица 2 ГГЫ е' е+ А !ГЕ! к „ Ио ф!'Рву!с Ге Ог„(Л) = 0,2 ~' соз 2ЛТ,. Г=! проведены даа расчета, результаты которых даны в табл.
2 и на рис. 43. В перво!! случае для расчета всех О!з(Л) использопктись ГбВ уб Рнс. 43. одни н те же уь ...у!с приведенные на стр. !08; соответствующие результаты обозйачены кружкамщ 6'. Во втором случае для расчета каждото 6!с(Л) попользовались новые случайные числа (образованные иа пятерок цифр 7аблицы на стр. 295, которые выбирались подряд); соответствующие рйаультаты обсзначены крестиками: 6+. 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,947 1,79,'5 0,563 0,239 1,929 1,722 1,40! 0,997 0,551 0,105 — О, 300 1,929 1,732 1,474 0,915 0,377 0,627 0,348 0,01 0,04 0,0 0,1 0,28 1,6 — 0,036 1,8 — 0,246 2,0 — 0,378 2,2 — 0 4!ЗЗ 2,4 — О, !!5 2,6 — 0,340 — О, 628 — 0,85! — 0,955 — 0,939 — 0,8!4 — 0,6 ОО 0,196 Π— 1,040 0 — 0,299 0 — 0,175 0 — 0,056 0 — 0,163 0 ,30 ,3! ,3! ,ЗО ,29 ,28 ! ПЫ'!НСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ 126 1Гл. 3 На рис.
43 огчстлнво видно, что значения О' расположены на гладкой кривой, сходной с 1(Л) (непрерывная линия), а значения О" разбросаны около 1(Л), Б табл. 2 приведены также вероятные ошибки с~о (Л) — 0,675 !' РН)ги = = 0,675 1О !'т(2 — Л ! Мп 2Л (Л ' Мп ЕА — сов 2Л)!' з Значение Ю=!О невелико, и нельзя быть уверенным в том, что распределение Ош достаточно близко к нормальному. Поэтов!у интересно отметить, что все ошибки Ом(Л) — !(Л) по порядку равны г~е(Л). На протяжении многих лет метод (4!) неоднократно и с успехом использовался в самых различных расчетах, по строгое обоснование его было впервые опубликовано лишь в !962 году А.
С. Фроловым н Н. Н. Ченц о в ы м (92]. Этому же вопросу посвящены работы (67, 78, 84]. В дальнейшем изложении мы следуем статье [78]. 4.2. Вспомогательная теорема о погрешности простейшей квадратурной формулы. Допустим, что для приближенного вычисления интеграла 1 l =- ] ) (.Г) г1х о нспользУю!сЯ гг фпкспРонанных точек х!,..., хн, ВРи.
нздлежаш!ш интервалу (О, !), и простейшая формула ,ч 7= (!/Аг) 2' гг(лг). г=! Погрешность такого приближения зависит от функции !(х): Аг ! б()) = ()!Аг) 1(хг) — ! 1(х)с( . й Обозначим через (ч, (7.) множество непрерывных функций 1(х) с кусочно непрерывпымн производпымп )'(х), такимп, что 1 ~ (7' (х))' г(л .— (.з. (44) е По сравнению с 5 2 здесь мы сужаелг класс подыптегральных функции: там требовалось только, чтобы 1(х) ~).з, а здесь — !'(х) 7., пнтгГРллы, злвнсян!ие от плРлметРА !ет Ооозначим через 5„(х) количество точек х, с поморами 1(1 -.М, удовлетворгноннрх неравенству «,(х. Нетрудно проверить, что Л 5Н (Х) = ~р Е(х — Лр), р =1 и представляет собор ступенчатую фупкшпо (рпс.
14). ТЕО р ЕМ а 5. КаКОВрр! би НИ бЫЛИ ТОЧКИ Х1,..., Хси верхняя грань погрешности (43) ровна р /6 (!) ) = л, ) 15л (л) — Л'х)а рух) . (46) б / Пев'11л! о Доказательство. Функции 1"(х) может быть вы. р а жен а через свою п ронзводную Ур 1 1У )'(х) =)(1) -,~Г'(Г) б1 =- = — ! (1) — ) 1' (1 ) е (! — л ) с(К о Полагая здесь х=х, и суммируя по 1, получим, что —,', Х1(х,) = н =1(1)- — , '~1'(1)5, Цй. ' С рр„!4 *.р, Рр~р" Й "« *, „аг получить, что Р !!с, 44. 1 1 ~ ~ (1) й = ) (1) — / 1' (1) (и( о о Вычитая последнее равенство пз предпоследнего, полу.
чим формулу для погрешности 1 6 ()) = — „~~' (1)(М вЂ” 5л (1)) й (46) вычислении интагэллов ]гл. о !28 эта величина как раз фигурирует в (45). Осталось доказать неулучшаемость последнего пера. веиства. Для этого рассмотрим функцшо л (! 1 — ио д (х) = В ~ [йг! — 5л (1) ! г(! ~ ~ ! й71 — 5х (!) !' А~ о о 1 Так как ! [о' (х))о Их = [.о, то у(х) Е Жо (!.).
Подставив о [=й(х) в (46), получим, что 1 1 но 6(д) = — '~ ~[И вЂ” 5л(!)[ог(1~ Таким образом, теорема доказана. 4.3. Оценка погрешности метода Монте-Карло с помощьв распределения гоо. Выберем (т' независимых случайных чисел Ть..., Т, п РассмотРим погРешность простейшего метода Монте-Карло л 1 6 [)) =- 1,. ~' 1(у,) — ! ((х) дх. л (47) В этом случае величины, входящие в (45), име!от весьма простой вероятностный смысл: 5а(х)/Ж вЂ” это эмпирическая функция распределения Рл(х) выборки Ть ..,, Тл (ср.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
