Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло (1973) (1186217), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Оценка (10) подобна оценке (4), но вместо неизвестной дисперсии РЕ сюда входит эмпирическая величина з', которую легко вычислить по формуле (9). Однако, вообще говоря, оценка (4) применима при меньших Л'. Неравенство (10) позволяет определить также вероятную ошибку метода (3): ..
ттт~ и. Оценка (10) испол попалась в некоторых работах автора и, независимо, в работе Г. Г е р целя и М. К алое а (127]. 1.6. Случай 03=со. Из п, 1.1 вытекает, что бесконечность дисперсии не препятствует приближению й, к а. Однако последующие оценки погрешности теряют силу. Из (4) видно, что в случае конечной дисперсии ошибка убывает как й1-ыа. При Ря=ео порядок убывания ошибки оказывается хуже.
Поэтому обычно рекомендуетси избегать методов расчета, в которых дисперсия осредняемсл величины бесконечна ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ !ГЛ 3 Тем не менее в некоторых задачах такие методы используются. Оценки погрешности при [зй=со имеются е монографии [33] (см. также статьи 1144, 176].) 1.7. Замечание. О некоторых терминах, употребляемых в математнчесной статистике [24, 44). Независимые реализации я!,..., а!с случайной величины ььназываются выборкой.
Предположим, что закон распределения величины ч зависит от некоторого параметра а. Любая функция от выборочных значений !рД!,..., $м), используемая в качестве приближения к а, называется оценкой а. Если Мгр=а, то оценка гр называется несмещенной. Если !р — а при Л! — ь со, то оценка !р называется состоятельной. При небольших Л' более существенно отсутствие смещения, при больших — важнее состоятельность. Очевидно, оценка (!) представляет собой несмещенну!о н со. Стоятельиую оценку математического о!кидании а.
Легко доказать, что оценка дисперсии и (17Лг) ~из з2 ь-2 г=! фигурнр>ющая в (б), смещенная В самом деле, ь~л~чХ и,-г„1=ар!э — м!гь! =ы-ь~, г=! нбо м$ = м4. Нз (1) следует, что (!ам — — ()$1!У. поэтому м М и) у) ~ 12 — Ц = (1 — [уЛ ) О~. г=! Нсьмспгениу!о оценку дисперсии дает формула (7). Рассмотрим две фунхции чг'(с!,...,ьгт', ()) и тр(ьь °" йм! р). Интервал (гр', гр") называется доверительным интервалом для парах!стра а с коаффациенгом доверия [), если вероятность неравенства <р'<а«р" равна р! Р(гр'<а«р") =(). В приведенных выше оценках (4) и (10) использованы доверительные интервалы для среднего значения а нормальной случайной величины: в первом случае — при известной дисперсии, во втором— при неизвестной. Так как величины вм и ьь лишь приближенно (асимптотически) нормальны, то вероятности неравенств В)г()17Л)< ь, + В т ()ьг'Лг и соответственно ям — ! ! — 1,вз/Уш 1 < а < ем+! — !,из!~ ш ' лишь приближенно равны [) 93 ПРОСТЕПШИП МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО % н $2.
Простейший метод Монте-Карло для вычисления интеграла 2.1. Простейший метод Монте-Карло. Обозначим через 6 произвольную область (ограниченную нли неограниченную, связную или несвязную) плоскости х, у. Точки плоскости будем обозначать одной буквой Р= (х, у), а элемент площади г(Р=йхг(у. Рассмотрим задачу о приближенном вычислении интеграла 1 = ) 1(Р) р (Р) дР, (12) с где р(Р) — некоторая заданная плотность вероятностей, определенная в б, так что )"р (Р)21Р = 1. с Заметим сразу, что любой интеграл ) 1(Р)г(Р по огр а н иче иной области б можно считать интегралом вида (12).
Действительно, если площадь б обозначить через Я„то р2(Р) =1/5, при РенО представляет собой плотность вероятностей случайной точки, равномерно распределенной в с2. если ввести функцию 12(Р) = =Я,.1(Р) то, очевидно, 11(Р) г)Р= г) 12(Р) р,(Р) г)Р. Чтобы построить метод Монте-Карло для расчета интеграла (!2), рассмотрим случайную точку Я с плотностью р(Р) и введем скалярную случайную величину Я:1Я), математическое ожидание которой равно искомому значению интеграла МЛ = 1 1 (Р) р (Р) г)Р ° 1. (13) с Для расчета !ч(2 можно использовать оценку (1), Итак, если Яь..., ߄— независимые реализации случайной точки' 6 и 2~=1(Я~) ° ° ~~=1%~) то оценкой интеграла (12) служит величина Е„-(Щ)Хгь (14) 2 1 вычисление интегралов [Гл 3 Очевидно, МВ =Т, и если существует М(д), то, соглас- Р но п.
1.1, оценка Вм 1. В рассматриваемом случае М Д = ) (( (Р)( р (Р) АР. Следовательно, если интеграл (12) сходится абсолютно, то В сходится по вероятпостн к 1. П р и м е р. Требуется вычислить интеграл ч у = )г 1(х) г ""![х, где й)0.
о Выберем плотность р(х)=йе а" и функнию.(>=й >1(х). Есл! — значение случайной величины $ с плотностью р(х), то опенка интеграла М М е„= л -' чз ), (й,) = (йм)-! чр ( (1,.). г=! [=1 Накопить значения в можно по формуле (7) гл. 2. Поэтом> Формулу для вычисления [ можно записать в виде М г'=(йМ) ' ~ч (( — х ' [пт!), г=! где у>, ..., ТМ вЂ” независимые случайные числа.
В дальнейшем вычисляются только абсолютно сходящиеся интегралы. Однако метод Монте-Карло позволяет вычислять и условно сходящиеся интегралы, если преобразовать их надлежащим образом (см. упражнение 5 гл. 3). 2.2. Геометрический метод Монте-Карло. Предположим, что в области 6 0()(Р) <с. (! 5) В трехмерном пространстве х, у, г рассмотрим цилиндрическую область с!= сто (О, с) Рис. 34. (рис. 34), а в с рассмотрим случайную точку (г с плотностью р(х, у, г) = (1[с)р(х, у).
Очевидно, проекция точки Ч на плоскость х, у представляет собой случайную проствишии мвтод монти-карло 95 О = ст/Л» (16) Дискретная случайная величина е подчиняется распределению Бернулли !з (т=т) =С>яр"'(1 — Р)и-"(т=О, 1,... ..., У), где Р— вероятность того, что точка (1 окажется ниже поверхности з=!(Р). Вычислить эту вероят~ ость нетрудно: Пг,и> Р = Р (~ () (й, Ч)) = ) г(х «У ) р(х, рг з) с(з = (1!с) 7. с о Так как Мч=>тгр=(1/с)7т7, то из (16) Р МО =7. Сходимость Ол — 7 следует из ремы Бернулли о сходимостн частот к Впрочем, оценку (16) также можно форме (1).
Введем случайную величину от точки (7= Ц, т1, ~): вытекает, что известной теовероятностям. представить в Я, зависящую если если Если точкам Я»..., Я„соответствуют значения 2» ..., Хк, то О = (1>йг) ~ г. '(17) Р И поэтому утверждения о том, что МОмг 1 н Ом — 7 вытекают также из результатов $1. Абсолютная сходимость интеграла (12) следует из ограничения (15). Геометрический метод предо>ааляет собой обобщение метода вм. числеиии объема, рассмотренного ио ааедеиии, В самом деле, если точку Я= ($, т!) из п. 2.1 (с плотностью,р(х, у)), а третья координата (у, назовем ее ~, не зависит от $ и т! н равномерно распределена в интервале 0(г(с, так что ее плотность рг(г) =1!с. Выберем Ф независимых реализаций (,>»..., Яи случайной точки Я; обозначим через т количество точек, оказавшихся ниже поверхности з=)(Р), и составим оценку ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ 1ГЛ 3 область С ограничена и р(Р) — 1/Зо при Р ем С, то при больших Гт' у/й( = У/с = )г»)г 0' где )г= ) г(Р)г)Р— объем части С, ограниченной сверху поверхо постыл в=)(х, р), а Р- =схо — объем всей пилиидрической о области С.
2.3. Сравнение точности методов Монте-Карло. В оценке (14) фигурируют значения случайной величины с=)Я), где () — случайная точка с плотностью р(Р). Так как для существования дисперсии 02 необходимо и достаточно, чтобы существовал второй момент йй(2') — (7в(Р) Р(Р) (Р (ср. (2)), то условием применимости оценок погреш1ости $ ! в рассматриваемом случае служит существование интеграла (18)*). Если через Ея обозначить множество функций 1(Р), для которых интеграл (18) сходится, то требование сходимости этого интеграла можно записать в форме((Р) ~ ЕЕЕа. В тех случаях, когда важно указать область сг и плотность Р(Р), будем писать, что ((Р)ЕЕЦ(6; Р).
Итак, еслч 1(Р) еп1,я(6; р), то дисперсия осредняемой величины 2 в простейшем методе и. 2.1 конечна: к (19) о Рассмотрим теперь геометрический метод п. 2.2. В оценке (17) осредняются значения случайной величины с, для которой М (2~) = сР(»(~($, т))) = с7, так что дисперсия РЛ = с! — (а. (20) *) Иа сходимости интеграла (1а) следует абсолютная сходимость интеграла (12), ибо (Р)1 Р (Р) ДР] ( ~ 1 (Р) Р (Р) ЙР ПРОСТЕЯШИИ МЕТОД МОНТЕ. КАРЛО 97 Сравним величины (19) и (20): если 0(~(Р) (с, то ~ 7а (Р) р (Р) йР ~( с ) 7" (Р) р (Р) ЙР = с), следовательно, ы<ы.
(21) Неравенство (21) показывает, что в каком-то отношении простейший метод Моите-Карло лучше геометрического метода: при одинаковом количестве Лг осредияемых величии вероятная ошибка оценки (!4) будет ие больше, чем вероятная ошибка оценки (!7). Можно сказать, что точность л1етода Монте-Карло зависит от дисперсии осредняемой случайной величинь1. И простейш1ий л1етод всегда точнее геометрического. П р и м е р. Требуется вычислить интеграл 1 7 (' ел1!л о Оденки (14) и (16) в атом случае равны А' Он — - (! 1'7»') л~л е 1, О, = е»/Ат, 1=1 где» вЂ” количество пар (т,, !1), ..., (!'н, ТЯ таких, что еу', < ет! (как всегда 71, ..., Тн, 71, ..., Тч — независимые сл)чайные числа), По формуле (!9) вычислим дисперси1о 02: 1 02 = ~ етЧх — П = (1/2) (еа — 1) — (е — 1)а = 0,2420. о По формуле (20) вьшислим дисперсии ()2: Пр = е! — П = е — ! =- 1,7! 83.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
