Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло (1973) (1186217), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Так как слУчайнаЯ точка (Тг, Тз) Равномерно распределена в единичном квадрате 0(х(1, 62 ПРЕОБРЛЗОВЛН!!Я СЛУЧАИ!!ЫХ ВЕЛ!!ЧИН !гл г 0(у(1, то, повторяя рассуждения п. 1.5, получим для определения д(х, у) уравненне, аналогичное (8)! ! 1 г1 ~ е (г — д (х, у) ) с(х сй! = р (г). (1 У) оо Мы не будем заниматься исследованием решений этого уравнения. Оно, по-виднмому, более удобно для доказательства известных формул (см.
п. 4.1), чем для получения новых. Вместо этого рассмотрим несколько методов построения преобразований вида ~=у(Т!, те). Эти методы имеют много практических приложений. Во всех методах вместо одномерной величины й моделируется двумерная случайная величина Я, по значениям которой нетрудно вычислить й. Большой произвол в выборе распределения Я используется для того, чтобы упростить формулы счета. В п. 3.2 плотность рр(х, у) =рч(г) зависит толы<о от г, и моделируются полярные координаты точки Я. В пп.
3.3 и 3.4 к — это декартова координата точки Я= ($, т)), но сперва моделируется и. 3.2. Применение полярных координат. Допустим, что к случайной величине $, которую надо моделировать, удалось подобрать случайную величину !1 так, что плотность точки Я с декартовыми координатами $ и и зависит только от расстояния до начала координат г = р х'+у'! р,(х, у) =с(г) при И!(г<!тм Здесь О(!т!(!се(со.
Тогда удобно моделировать полярные координаты точки Я, а уже по ним вычисляться. Если х=г сов!р, у=с з)п <р, то якобиан преобразования д(х, у)/д(г, !р) =г и плотность точки Я в полярных координатах равна рч(г, !р) =гс(г). Область изменения полярных координат точки 1,! — назовем их р и 8 — прямоугольник Я!(г<йм 0(гр<2п. Поэтому легко доказать, что они независимы: рр(г) =2пгс(г), рз(гр) = (2п) ПРЕОБРЛЗОВАН11Я ВИЛА й Е(уь тз> 63 й 31 По формуле (11) для вычисления р и О получим уравнения Р 2н ) гс(г) е(г= у„О(2в) — ' = уз.
(18) л, Вычислив р и О, нетрудно найти н декартовы координаты точки Я: й=р сов О, т)=рв!и О. 3.2.1. П р и и е р. Случайная величина 5 определена в интервале — Р<х<йг с плотностью р(х) =2[пйз)"'уй' — х'. Нетрудно показать, что Б представляет собой абсциссу случайной точки О, равномерно раси!геделенной в круге хе+у'<)гз. В самом деле, если рч (х, у) = (пес ) †этом круге, то Уд' — х* 2 рй(х) = ) р, (х, у) г(р= оз р )гз — хз при !х! < )с. -Л~' — х* Из формулы (!8) при с(г) =(пРг) ', Рз=о, )тэ=)т' получаем явные формулы р=)! )гуы 6 =-2пуь Таким образом, в = )! 1 "у, соз 2пу,. Если в этом примере сразу применить метод обратных функций для моделированвя $, то уравнеиив (4) р($) =у для нахождения а окажется весьма сложньыг.
1 1 . $ я г" (с) = — + — агсз)п — + —. )г й' — аз = у 2 и гг и)!з 322. Пример. Случайная величина ь нормальна с п ар а метра а~н (О; 1) рй (х) = (2п) нее хчз О (х < се Выберем независимую от С случайную величину т), так>не нормальную с параметрами (О; 1), и рассмотрим на плоскости х, р слу. чайную точку О с декартовыми координатами ь н Ч. Очевидно, р, (Х, и) = рр (Х) р„(у) =(2П) 1Е г'З, О < Г < сз. По формулам (18), где удобно вместо у, взять 1-уь получим уравнения Р 1 ге ' )аг(г = 1 — у,, О = 2пу„ о так что р = )г — 21п уг. Следовательно, (, = )г — 2 !п уг соз 2лую т) = )' — 2!и ут з1п 2луа.
(19) б4 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН (ГЛ З Формулы (19), полученные в [1071, позволяют по двум случай. ным числам у, и ут сосчитать сразу два независимых значения случайной величины ц Если нужно лишь одно такое значение, то можно ограничиться одной из этих двух формул. 3 а меч ание. Если случайная велячина ь нормальна с параметрамн (О; 1), то случайная величина 1=ос+а нормальна с параметрами (а; и).
3.3 Метод суперпозиции. Допустим„что функция распределения Р(х) интересующей нас случайной величины $ представима в виде Р(х) = ~ сАРг, (х), А-! (20) ~л~ Ра (х) са = Р (х), А=! что и требовалось доказать, Функции распределения вида (20) встречаются тогда, когда мы имеем дело со смесью случайных величин. Например, если у нас всего )Ч деталей, среди которых ФА деталей с функцией распределения «времени жизни» Рь(г), й= 1, 2, ..., Лт, то функция распределения где все Р,(х) — также функции распределения, а сз)0. Из (20) при х-+-оо следует, что с,+ ... +с„=1. Следовательно, можно ввести дискретную случайную величину т) с распределением так что Р(т)=й) =сь Т е о Р е м а 5. ПУсть Т! и Тз — независимые слУчайные числа.
Если по числу Т! разыграть значение т)=-й случайной величины т), а затем из уравнения РА(й) =Тз определить й, то функция распределения и равна Р(х). Д о к а з а т е л ь с т в о. Воспользуемся теоремой о полной вероятности и вычислим функцию распределения величины $, построенной в теореме: л Р(й < х) = ~2~ Р(ь < х/т) = й) Р(т) = й) = а=! ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВИДА $ Л!ть тд 4 31 «времени жизни» для случайно выбранной детали равна ~[/) = У, [лга/р/) ~ь(/).
Однако представление (20) часто придумывают искусственно, чтобы облегчить процедуру разыгрывания й. Метод суперпозиции был предложен Дж Ватлером [! 10) и развит в работах [40, 58, !08, 109, 155, 156). Возможность обобщения аго на случай бесконечного числа слагаемых в (20) н на многомерные распределения очевидна. З.З.!.
Пример [!10). Случайная величина $ оирелелена в интервале 0<х<1 н имеет функцию распределения х (х) = ~~~~ сьх, где все с г )О. Можьо считать, что /чь (х) = х" при 0<х<1, и воспользоваться методом суперпозицни. Нз теоремы 5, используя теоремы 1 и 2, полущгм формулу А-1 А ЕСЛИ ~~! С; < тх < ~~~~ С/, тО ен = (те)ПД 1 / 1 !при А= ! левую чзсть неравенства полагать равной нулю). 3.3.2.
П р ни е р. Случайная величина 5 определена в интервале 0<.г<2 с плотногтью 5 12[ +(х Если пля нахождения значений величины 5 воспользоваться методом обратных функций (4), то получим формулу ($ — 1)1+5$ 122 — 1, так что придется решать уравнение пятой степени. Можно, однако, представить р(х) в виде суперпозиция плотно.
стей р,(х) = !/2 и рз(х) (5/2)(х-1)Ч 5 1 р (х) = 5 р (х) + б пе (х). На основании теоремы 5 получим следующий явный алгоритм для вычисления значений $: 27» если ух < 5/6, з 1 -(- т/ 2у — 1, еслм ух > 5/6. 5 и. м, севела ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН !ГЛ Э Следу!с!цая мочнфикацня метода суперпозиции принадлежит П А. Михайлову (58). 333.
Моди фини рованный метод суперпозицин. Оказывается прн реализации метода суперпозиции можно ограничиться одним случайныл! числом у. Те о р ем г 5', Если в условиях теоремьг 5 ло числу у разыграть значение т)=» случайной величины нь а затем определить й из урал. » — ! пения Е»Я) =0, где 0= у — ~ирис; с» !, то функция распределения 0 1 ! равна Е(х). Для доказательства этой теоремы достаточно заметить, что Р(0(у(т)=») =у, т е. 0 равномерно распределена в интервале (О, 1). Поэтому ураьнение Е»($) =0 определяет случайную величину с функцией распределения Е»(х) так же, как в теореме 5 "). В примере и. 3.3.2 величина 6 равна (6(5) у при Ч = 1 и 6 равна бу — 5 при В=2.
Для $ получаем формулу (12т5) у, если у < 5/6, в 1+ у 12у — !1, если у > 516, которая выгоднее формулы и. 3.3.2, ибо не требует вычисления второго случайного числа. Необходимо отметить, однано, что модифицированный метод бо. лсе чувствителен л качеству псевдослучайных чисел, используемых в расчете: для успеха обычного метода важно, чтобы частота попа- дания псевдослучайных чисел в каждый из интервалов Ь» —— Г» †' » ст<х< ~~~ с, равнялась с»; для модифицированного метода г=! /=-! важно таин!с, чтобы распределение этих чисел внутри каждого (г» было достаточно хорошим.
Модифицированному методу суперпозиции соответствует преоб. раэование вида $=д(у) с разрывной функцией й(у), которую проще записать, если ввести функции 6»(у), обратные к Е»(х): » — ! д(у) = 6» у — ~' с. сг, при раб». 1=! Проверим непосредственно, что эта функция удовлетворяет уран вению (8). Представим интеграл в виде суммы: ") Н !Рудно доказать, что 0 и т) независилгы 1681, бу нвнопвлзовлымя вмдл ч-к!тч т» 4 з1 л — ! В й.м слагаемом сделаем замену переменной у = е.
с(+ саа' — '%' ! — '! ,д. йа преобразуется в (О, 1) и ! м ) е (х — у (у))!(у = ~„ о а=! ! са ) е(х — ба(з)) е(х. о Так как Оа (г) (х тогда и только ! 1 ~ е (х — 0Ь (х)) «(з =- ~ е ( е о тогда, когда а( г"а (х], то Рл (х) — г) е(г = Р» (х). Следовательно, ж ( «(х — у(д)) г(у = ~яр„с„Г„(х) = Р (х). о ь-! рй (х) = ) р(х, у) йд. Ш Как отмечалось в п. 2.2, моделировать координаты гочки мозкно в любом порядке Воспользуемся представлением р(х, у) = =рп (у)дй(х(у) н будем сперва моделировать ц, а затем С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
