Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло (1973) (1186217), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Независимые слУчайные числа Уь Уз, ° ° Уа+м !Располо- жены в порядке возрастания у(!>~у!з1<. ° ° <Ус„+ю !1 Доказать упражнения к ГлАВе т что $ 71„1 подчиняется бэта-расяределению с параметрами л н пп рй (х) = [В (л, гл)) 'х" ' (1 — х)ж (Я. С. Вн(серег, Н. Меззе! [109)). (Способы моделирования бэта-распределения с дробными параметрами рассмотрены в статьях [62, 73, !02, 103, 141).) !О. Доказать, что формулы /о=!, !! /г-! %г н йт 11 — 1 [1 — (ут)игз !+!))ю ! 1, 2...,, П, ' определяют случайную точку ($ь ..., йз), равномерно распределенную в л-мерной пирамиде ха+... +х„<1, хг)0. 11.
Допустим, что случайная точка Я с плотностью Ррр(х, д, х) ) определена в области В. Обозначим через /е часть поверхности <р(х, р, г) =с, принадлежащую В, и предположим, что семейство ье при с,<с<се заполняет В. Доказать, что если )нгаб ф(с й(с), то точку Ц можно моделировать в два зтапа: сперва выбирается случайное значенме параметра р с плотностью Рр (с) [Р(с)/й(с))зс г где Яь — площадь (,ю а затем на поверхности (, выбирается слу- Ф а чайная равномерно распределенная точка. (В.
А. Герман, И.М. Соболь [17).) 12. Доказать, что случайная точка с декартовыми координатами (2~/г),..., ч„ /0), где 21 — 1п уба П=йг+... (-2„,равномерно распределенавсимплексе х,+... + х„1,0< хг<! (1=1,2,..., л). 13. Доказать, что случайная точна с декартовыми координатами %/Р, ..., 1л/Р), тле ьь..., ьз — независимые ноРмальные слУ- чайные величины с параметрами (О; 1), а р=(ь!+...+Ц) ы равномерно распределена нз поверхности единичной многомерной сферы хз1+...+хт = 1.
ГЛАВА 3 ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ Во введении уже упоминалось, что в подавляющем большинстве задач, решаемых методами Монте-Карло, вычисляют математические ожидания некоторых случайных величин. Так как чаше всего математические ожидания представляют собой обычные интегралы, то центральное положение в теории методов Монте-Карло занимают методы вычисления интегралов. В настоящей главе изложены наиболее важные и вместе с тем наиболее простые методы, знакомство с которыми необходимо каждому специалисту в области Монте-Карло. Более сложные методы, не имеющие пока значительных практических применений, но намечающие, как нам думается, основные направления развития методов вычисления интегралов, рассмотрены в гл.
4. Впрочем, п. 1.1 гл. 4 мог бы быть отнесен к гл. 3; выборка по группам не раз использовалась в практических вычислениях. Численный пример, приведенный в конце гл. 4 (п. 3.3), относится к оценкам, рассмотренным в обеих главах. Заметим, что почти все результаты этих глав легко обобпгаютсв на антегралы Римана — Стилтьеса (и даже Лебега — Стилтьеса [ЗЗ]). Мы, однако, всюду рассматриваем только интегрирование в смысле Римана. 5 1. Общий метод оценки математических ожиданий 1.!. Сходимость метода. Рассмотрим произвольную случайную величину $, у которой существует математическое ожидание МС=а.
(Напомним, что по определению математическое ожидание Мй существует тогда и а Н МЕТОД ОЦЕНКИ МАтЕМАтИЧЕСКИХ ОЖИДАНИИ 87 только тогда, когда существует М ($!.) Чтобы оценить величину а, выберем Ж независимых реализаций $(, ..., ..., Си случайной величины С и вычислим среднее арифметическое ьн = (17Ат) Х $ь ,'(1)' Так как последовательность одинаково распределенных независимых случайных величин, у которых существуют л(атематические ожидания, подчиняется закону больших чисел (теорема А. Я. Хинчина 144]), то среднее арифметическое этих величин сходится по вероятности') к математическому ожиданию: при А(-ч-оо Ьн — '-а.
Таким образом, при больших А( величина 5 -а; и оценку (1) можно использовать во всех случаях, когда существует М5=а. 1.2. Погрешность метода. Предположим дополнительно, что случайная величина $ имеет конечную дисперсию Рс= М (св) — (М$)'. (2) Из курса теории вероятностей известно, что последовательность одинаково распределенн(ях независимых случайных величин с конечными дисперсиями подчиняется центральной предельной теореме.
Последнее означает, что для любых х( хв в.е(., <(ч лв((Х (а —.(<*.) =' и аю (=( лз = (16' 2л) ! е —" тай м Выберем ха= †(=х. Тогда из последнего соотношения получим, что 1!гп Р ~ ~(1/У) Д (е( — а) < х)l 0$~~У = Ф (х), н а Ц (=! где Ф (х) — интеграл вероятностей, таблица которого '! Определение сходииости по вероятности приведено на стр. 34. Вычисление интегРхлОВ п.л а приведена на стр. 293: к Ф(х) = (2ДГ2п) ) е — "тй(.
ь Следовательно, при достаточно больших значениях Ж Р (1ен — а1 < х)/0$7У) = Ф (х). (3) )Г ° тн = 0,6745 ) '05!У. (5) Численный множитель 0,6745, фигурирующий в (5),— это значение хв, отвечающее 6=0,50. Название «вероятная ошибка» вызвано тем, что Р НЬ вЂ” а~ ( гн) ж 1(2 = Р Ян — а~ > тн), т. е. одинаково вероятны ошибки, большие чем г„, и ошибки„меньшие чем т . Величина т часто используется на практике для характеристики порядка ошибки: действительная ошибка ~$ — а) зависит от использованных в расчете случайных чисел и может оказаться в 2 — 3 раза больше, чем г„, но может быть и меньше.
Таким образом, используя г,мы оцениваем порядок ошибки, а используя (4) — верхнюю границу ошибки (с коэффициентом доверия 1)). Формула (3) содержит целое семейство оценок, зависящее от параметра х. Если задать любой коэффициент доверия р (см. стр. 31), то можно найти (по таблице) корень х=хв уравнения Ф (х) =р. Тогда из (3) вытекает, что вероятность неравенства фй — а~ (х, )I Я7У (4) приблизительно равна р.
Чаще других используют коэффициент доверия р=, =0,997, которому отвечает ха=3, или р=0,95, которому отвечает ха=1,96. (Значение ха=3 соответствует так называемому «правилу трех сигм», ибо случайная величина $д приближенно нормальна и ее среднее квадратичное уклонение а=3/ б$Б'.) 1.3. Вероятная ошибка метода. Несколько иной подход к оценке ошибки связан с понятием вероятной оиибки $ П МЕТОД ОЦЕНКИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЖИДАНИИ 39 1.4. Эмпирическая оценка дисперсии. Как правило, когда мы приступаем к расчету !Ч)е, значение дисперсии Р$ неизвестно. Хорошую теоретическую оценку для Р$ удается получить редко. Однако в большинстве задач величину Р$ нетрудно оценить эмпирически, в ходе расчетов а.
В самом деле, достаточно одновременно с вычислением У$! вычислять также Х($,)А; так как при больших И (1!й!) %з Д!)г йй Да) !.= ! то из (2) видно, что (6) Формулу (6) постоянно используют на практике. Правда, ниже в п. 1.7 доказано, что при небольших й! более точна формула м / А! отличаюшаяся от предыдушей множителем (1 — 17й!). 11о в расчетах, выполняемых методами Монте-Карло, всегда й!»10, и разница между (7) и (6) невелика. К тому же надо иметь в виду, что Р$ используется только для оценки ошибки, так что погрешность порядка 10А/А в значении Ре роли не играет. 1.5.
Оценка ошибки без расчета дисперсии. Будем по-прежнему считать, что дисперсия Рй конечна. Допустим, что по каким-либо причинам (иногда пз-за отсутствия места во внутреннем накопителе ЭВй!) Мы не можем (или не хотим) одновременно с Х$, вычислять также Х($,)е. Оценку погрешности с, — а тем не менее можно получить. Предположим, что М=пт!Ч!, где и! — небольшое натуральное число и!)3, а й!! настолько велико, что распределение случайной величины м, ь = (17й!!) Х $! (8) |гл. з ВЪ|ЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ (где $1,..., $н, — независимые случайные величины, распределение которых совпадает с распределением $) можно считать близким к нормальному (по той же центральной предельной теореме).
Очевидно, Мь=а. Вместо того чтобы сразу вычислять йя, разделимзадачу на Гп «вариантов» н вычислим т величин, которые можно считать независимыми реализациями ~: н, н1 1 1 1, =д ',))'„5„1а=„—,'~ $|+н,..... 1 ! ! |=! 1 т1 т|я = — лй ем!+и,!т — И й|! е'а! Воспользуемся теперь следующей теоремой Р. Фишера 24, 44]. сли ь1,..., ь„— независимые одинаково распределенные норл|альные (гауссовские) случайные величины с л|атематическим ожиданием а, то случайная величина где Х = — ат, Ь„ет = — ~~~ (ЬА — Х), ь=! ь=! подчиняется закону распределения Стьюдента с (т †))-й степенью свободь|*). Это означает, что для любых х! <ха Р(х,(((х,) = ] з |(х) йх.
') Плотность распределения Стьюдепта с е степеияии свободы выражается формулой е+! яя| а а (х)=С ~1+ ~ са «к«са, Гяе нормировочная постоянная с, = =~г(+)~г~ — ')~. а н метод оценки МАтгмлтических ожидАнии 91 В нашем случае величины ~ь..., Ь приближенно нормальные; М~а=а; х=$„; з'=(1/ти) Х (1а — Ь)' (9) Выбрав ха — — — х~ — — х, получим приближенное равенство х Р (ф п~ ~ .Р" зт~( „1)) а которое будет тем точнее, чем ближе распределение ~ к нормальному. На стр. 294 приведена таблица корней х=(„ а уравнения 2 ( з„, (у) т(у = р. Если задан коэффициент доверия р, то по этой таблице нетрудно найти соответствующее значение х=1,а и записать окончательную оценку: вероятность неравенства Км — а~(1 ~ р)тза~(т — 1) (1О) приблизительно равна ().
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
