Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло (1973) (1186217), страница 13
Текст из файла (страница 13)
л (32) Согласно централыюй предельной теореме при и-ч- со Р(ь1л1 < х)- (2п)-"а ) е-'/Ч1. (33) Следовательно, по формуле (32) при достаточно больших и можно вычислять приближенные значения нормальной случайной величины ь с параметрами (О; 1). Асимптотика в формуле (33) устанавливается весьма быстро (на рис. 28 изображены плотности Ь и ~'а'), и поэтому на практике можно ограничиться значением в=12: 1Я ~=~о" = ~  — 6 (34) Иногда ограничиваются в (32) лишь' пятью слагаемыми, но зато добавляют поправку, которая ускоряет сходнмость распределения к нормальному: ь — 0,01~'з'197+ (ь'з') а) ') Случайная величина Чц называется нормированной, если МЪ=О, Дне=1.
Любую случайную величину Ч е конечными МЧ н РЧ можно иормнроватсс величина з)а (Ч вЂ” МЧ)/ОЧ нормирована, 4.4. Приближенное моделирование нормального (гауссовского) распределения. Рассмотрим нормированную е) сумму л независимых равномерно распределенных величин: 74 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН [ГЛ. Х Последние две формулы нередко оказываются удобнее, чем (19), так как расчет по ним возможен без обращения к подпрограммам 1и н з)п. р с.
га. О поправках, ускоригощих схопимосгь, см. [4). В (47) имеегса пример, при расчете которого пришлось использовать п4 30. 5 5. Методы отбора 5.1. Общая характеристика методов отбора. Предположим, что в т-мерном пространстве переменных уь..., у„заданы случайная точка Я'=(41Н..., 41 ) с функцией распределения гсо,(уь..., у„) и некоторая область В'. Рассмотрим одномерную случайную величину $, определенную формулой $=грЯ') при Я'БЕВ'.
(36) Для расчета по этой формуле можно выбрать случайную точку Я' в пространстве; если Я'~В', то вычисляется $=гр(Я'); если Я'ФВ', то точка Я' отбрасывается и выбирается новая. Таким образом, при расчете по формуле (36) из случайных точек Я' с функцией распре- ДелениЯ зса, отбиР ают точки, пРинаДлежаЩие В', н по ним вычисляют й. Мы будем говорить, что формула (36) определяет метод отбора для моделирования $ (в литературе встречается также термин «метод отказов», более соответствующий английскому выражению ге)ес11оп (есйпщпе). Вффективностью метода отбора называют вероятность отбора илн, более подробно, вероятность того, что МЕТОДЫ ОТБОРА точка Я' будет использована для расчета $, а не будет отброшена. Очевидно, эффективность метода (36) равна вероятности э =РЯ'БАЕВ').
(37) Выбрав Ж точек Я', мы получим в среднем всего эМ значений 3. Следовательно, на расчет каждого значения $ затрачивается в среднем 1/э точек Я'. Ясно, что при малых э метод (36) становится практически неэффективным. Если на реализацию каждой точки Я' затрачивается п слУчайных чисел "~ь..., 7„, где, очевидно, п)т, то в среднем на одно значение $ затрачивается и/э случайных чисел. В вычислительной практике (при моделировании одномерных величин $) чаще всего встречается случай т=2 и п=пт.
5.2. Моделирование усеченных распределений. Рас. смотрим случайную величину ть определенную в интерь вале а(х(Ь с плотностью р(х) (так что) р(х)0х ° 1). а Говорят, что случайная величина $ имеет усеченное распределение р(х), если она определеяа в интервале (а', Ь') ~ (а, Ь) и плотность ее пропорциональна р(х).
Очевидно, Г"' 1 — ! рт (х) = р (х) ( ( р (х) с(х~ ) р (х); а' см. рис. 29, где а=а'=О, Ь=со. Если мы умеем вычислять значения т), то значения Б можно находить методом отбора: $=т(, если т)я(а', Ь'). Эффективность такого метода равна ь э = ~ р(х) Ых.' а' 5.3. Метод Неймана 1163]. Этот метод очень часто используется на практике. Иногда все методы отбора называют методом Неймана. 76 ЙРеОВРАЗОВАния случАйных Величин (Гл а Рассмотрим случайную величину й, определенную на конечном интервале а =.х -.Ь с ограниченной плотностью р(х) <с (рис.
30). Ф е Е е Гг ех Рис. ЗО. Рас. 29. Теорема 6. Пусть т) и Тг — независимые случайные числа и К'=а+у((6 — а), ))'=суь Случайная величина й, определенная условием $= $', если т)'< р (Е'), имеет плотность вероятностей, равную р(х). Д о к а з а т е л ь с т в о. Во-первых, заметим, что точка ($', т)') равномерно распределена в прямоугольнике а<х<Ь, 0<у<с (см.
п. 2.1). Далее вычислим услова ную вероятность: а(ь<,) Р(т«,,„,,((,)( гга<.<<~а~~ Р (ч' < р й'11 Знаменатель последнего выражения — это вероятность попадания точки ($', т[') под кривую у=р(х). Так как плот-. ность точки (й', т)') постоянна и равна [с(6 — а)1-(, то Ь р(а) Р (т)' <., р (а')) ~ ((х ~ [с (Ь вЂ” а)[ †'([у = [с (Ь вЂ” а)[-'. а 0 Числитель равен вероятности того, что точка ($', т)') окажется под кривой и в то же время $'<ги Р[й'<х, 2'<Р(ГН = а Р(к) г ) ([х ) [с(Ь вЂ” а)[ — '([у = [с(6 — а)) — ' ') р(х)((х. а 0 а 4 з! МЕТОДЬ! ОТБОРА Таким образом, получаем, что РД(г) = ~ р(х) >(х, я а это как раз и требовалось доказать. ' Эффективность метода (39), согласно (37), равна вероятности попадания точки ($', т)') под кривую у=р(х), т. е. э=Р(т)'(р($')).
Последняя вероятность уже вычпслялась в ходе доказательства теоремы. Значит, э=(с(Ь вЂ” а))-1! эффективность метода Неймана будет наибольшей, если выбрать наименьшее возмо>кпое с, т. е. положить с=- зпр р(х). Впрочем, это очевидно также из геометрн- а<э<э ческих соображений. Пример. Случайная величина й определена при — Й(х(>> с плотностью р(х) =2(яйт)-! Р' кз — х". Согласно теореме б нужно выбрать два значения у! и ут и вычислить й'=/>(2у! — 1) а 1!'=2(лй) у,; если Ч'(р(в'), то я=3'. Однако условие Ч'(р($') в данном примере выгодно преобразовать; оно равносильно условию ут(рг! — (2у! — !)" После дальнейщнх упрощений окончательно ааппщем: $=>т(2у! — 1), если (2у! — 1)2(1 — уз, 2 Эффективность этого метода э=л/4.
По сравнению с формулой ть=/!Ту! соз 2луь полученной в п. 3.2.1, формула метода отбора проще: не надо извлекать корень и вычислять косинус. ! . 5.4. О некоторых обобщениях ! р й!х>' 1 метода Неймана. Во многих работах рассмотрены самые разнообразные обобщения метода п. 5.3. (например, (73, !09, 110)).
Большинство обобщений, относящихся к ! моделированию одномерной случай ной величины $, могут быть полу- >> чены нз нижеследующих формул а! 4' г ' , х (40) — (41). ! Предположим, что нас интере- ,! Э сует случайная величина $, определенная в интервале а(х(Ь. Рис. 31. Рассмотрим случайную точку Я'= Я', т!') с плотностью р(х, р) в полосе а(х(Ь, — оь(у(ев, и нривую р=/(х), заданную при а(х(Ь (рис. 3!). Определим метод отбора: если Ч'(/(й'). (40) 78 НРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАИНЫХ ВЕЛИЧИН [ГЛ 3 Нетрудно вычислить плотность случайной величины 5, определеннои форм)лой (40): прн л(г(Ь р Е (г) = Р (2 < г) = Р (4' < г )1)' < ) (т)) г(х) ) ((х ) р(х,у)бу а — еа Рт<г, Ч'<)(т)) (Ч <)(й )) Ь )(х) ) бх ) о(х,у)ау ьроднфференцировав по г, получим плотность )(х) /Ь Нх) рй (г) = )г л (г, у] ((у/ )г ((х )г р (х, у) ((у.
а Ф (41) !(х) уь /(х) Рй (г) = Рй (г) 1 Р„(У) г(у/ ) Ру (х) ((х ) Р ° (У) ду. (42) Ф а х Последняя формула записывается более коротко, если ввести функ- цию РаспРеделениЯ величины т)', РавнУю Рч (У)1 уь Рй (г) = Рй (г) РП (((г)) / ~ Рх, (Х) РЧ (((Х)) ~(Х* а Итак, если плотно ть рй (х) моделируемой случайной величины В представима в форме произведения Рй (х) =/гРхх (х) Р, (( (х)), где й — постоянная, то В можно моделировать по формуле (40), которой в' имеет плотность рй,(х), а 11 — функцию распределения рч' (у)' 5.4.2. Предположим дополнительно, что 0()(х) (с, и выберем случайную величину т)', равномерно распределенную при 0(у(с. Тогда Рч (У) =1/с и из (42) вытекает, что Рй (г) = Р1, (г) ((г) /~р.„, (х)((х) ((х.
а Следовательно, если плотность рй (х) моделируемой случайной величины $ представима в форме произведения рй (х) = йрй, (х) 1(х), (43) Если требуется моделировать случайную величину в с заданной плотностью рй(х), то сугцсствует бесконечное количество способов выбрать р(х, у) и ((х), удовлетворяющее (41). 5.4.1. Сперва рассмогрим частный случай, когда 5' и )1' незазп. симы: р(х, у) = РЪ' (х) Рч'(у)1 Тогда из(41) выгсиает, что О 5! МЕТОДЫ ОТБОРА где 0<Цх) <с, а й — постоянная, то $ можно моделировать по формуле (40), в которой $' имеет плотность Ра (х), а Ч' равномерно распределена в интервале (О, с).
Эффективность метода в этом случае равна ь Г(х) э Р (Ч (1(5 )) =) )(х ) Рй (х) с»(р = (сй) а 0 Представляя рй (х) в форме различных произведений (43), можно построить различные методы вида (40) для моделирования величины $. В частности, таким методом можно моделировать случайные величины, плотности которых неограничены.
Пример. Случайная величина $ определена прп 0(х(! с плотностью Рй (х) — — о(х),(1Р х, где 0(о(х) =г, представим Рй (х) в форме произведения (43) с Р». (х) = (2)х) — '. Значения $' легко вычислять методом обратных функций, так как ьз (4) вытекает, что Д'=у). Следовательно, 3'=(у,)', Ч'=су» н при Ч'(о($'). Эффективность в этом примере равна э=(2г) '. Ясно, что для повышения э следует выбрать наименьшее возможное значение с, равное с — апр о(х). асхсь 3.4.3.
Снова предположим, что 0(1(х) (с. Если Е' равномерно распределена прн а(х(Ь, а Ч' равномерно распределена при 0(у(с, то $'=а+у,(Ь вЂ” а) и т!'=су». Из (42) вытенает, что прп а<х<Ь Р ! (х) = Ь1(х). Значит, чтобы моделировать случайную величину $ с ограниченнон плотностыс РЕ (х), можно выбрать 1(х) = Р» (х). В этом и состоит метод Неймана (39).
5.5. Выбор равномерно распределенных точек в сложных областях. Методы отбора (36) легко обобщить так, чтобы отбирались значения многомерной случайной величины й. Мы рассмотрим лишь один прием, который имеет много практических приложений. Его можно считать частным случаем метода моделирования усеченных распределений (п. 5.2), если иметь в виду обобщение этого метода на многомерный случай. Пусть  — ограниченная область на плоскости к, у, «сложная» с точки зрения вычислительной практики: ВО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАННЬП2 ВЕЛИЧИН ПЛ.2 например, невыпуклая или несвязная или такая, что границы на отдельных участках трудно записать в явном виде.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
