Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло (1973) (1186217), страница 9
Текст из файла (страница 9)
В тех случаях, когда уравнение (4) аналитически разрешимо относительно с, получается явная формула б=6(/) для разыгрывания случайной величины $, где МЕТОД ОБРАТНЫХ ФУНКЦИИ $ н 6(д) — обратная функция по отношению к у=с(х). В других случаях можно уравнение (4) решать численно. Если объем накопителя позволяет, то удобно составить таблицу функции 6(у), 0<у(1, и по ней находить значения $. Иногда удобно использовать таблицу функции г" (х), а(х<(), и находить значения $ обратной интерполяцией. О некоторых приемах составления таблиц см.
!8, 9, 90). Пример Зкспоиенпиальная случайная нелич н н а Е определена прп ха(х<»о с плотноссью С) (к) ае — а(к — к,) Так как Р( ) = (ае»(» — к„)с( 1 а — а(к — «,) к, то урааненпе (4) примет нид 1 „— а'$ к.) = Отсюда симучасм янине имражсние для расчета $ й =- ха — (1(а) ]п (1 — Ч) . (5) 1,4. Метод обратных функций. Теоремы ! и 2 представляют собой частные случаи общего метода, который естествет)о назвать методом обратньсх функ)(ис! (наряду с названием !Ичегзе !цпсВопз гпебтод встречается также ]Игес! ше!()Ос)). Рассмотрим произвольную случайную величину й с фупсцией распределения г (х) = Р(я(х) (рис. 16, а).
Обратную по отношению к г(х) функцию 6(у) определим следующим образом. Во-первых, дополним график функции у=с" (х) вертикальными отрезками в точках разрыва до непрерывной линии у=го(х) (рис, 16, б); функция у=>со(х), вообще говоря, неоднозначна. Эту же линию можно записать уравнением вида х=6о(у), где функция 6о(у) опять-таки не обязана быть однозначной; интервалам постоянства то(х) соответствуют вертикальные отрезки 6о(у) и наоборот. Положим 6(у) =6,(у) в точках непрерывности и 6(у) =6(у+О) в точках разрыва (рпс.
16, в). Построенная таким образом однозначная функция 6(у) не убывает при 0<у(1 и непрерывна справа вр 4 Н, М, СоболЬ во ПРЕОБРАЗОБАНИЯ СЛУЧАИНЫХ ВЕЛИЧИН !ГЛ. В у бс Рис. !6 всех точках*). Функции с.'(х) и 6(у) связаны следуюгцим свойством: 6(у) (х тогда и только тогда, когда у(г(х).
Для доказательства этого свойства достаточно проверить, что каждое из двух неравенств 6(у) (х и у(т (х) означает, что точка (6(у), у) располол жена на линии у=Го(х) одновременно и левее и ниже точки (х, Г(х) ) (рис. 17). Т е о р е м а 3. Случайная велссчссна 5=6(Т) (6) ас имеет Функцию расссрес)еления т (х). Для доказательс т в а теоремы нужно вычислить фушсцию распрел=$.,у) дЕЛЕПИЯ Сяуг)БЙНОЙ ВЕЛИ- чины с, определенной формулой (6): у х РЯ(х)=Р(6(Т)(х)= б) =-Р(Т(р(х)) =т" (х). То, что теорема 1 предоставляет собой частный случай теоремы 3, видно из сравнения рис. !8, на котором изображена функция х=ба(у), соответствую!На я дискретной случ а й ной величине, с р ис.
14: если у~А, на рис. 14, то 6,(Т) =х, на рнс. 18. В условиях теоремы 2 функция 6(у) совпадает с обычной обратной функцией к т(х) н уравнение (6) равносильно (4). ') Аналитическое определение: 4)уккссня б(у) равна нижней грана множества чисел х, для которых у(г (х), т е. б (у) = )и! х. (х)у<усы) метод овеатных етнкцин и Заметим, что так как случайная величина 1 — 7 имеет то же распределение, что 7, то в формулах (2), (4), (6) можно вместо у написать ! — 7. Следовательно, указанные способы моделирования не единственно возможные.
Иногда замена у на ! — у несколько упрошает формулы расчета. Например, вместо формулы (5) можно использовать формулу 5=ха — (1/а)1п 7. (7) Итак, метод обратных функций позволяет записать формулы для моделирования любой случайной величины $. Но нередко этот метод приводит к сложным или Й~ г уйгг г г г у,т, г, г Рас. 17. Рис. 18. просто неудобным алгоритмам. Например, для того чтобы вычислять значения гауссовской (нормальной) случайной величины ь с параметрами (О; 1), приходится решать уравнение г а1гд( = )/2п у. Ю В таких случаях обычно прибегают к помаши других методов моделирования, связанных с другими преобразованиями случайных чисел 7. 1.5.
Преобразования вида 4=~(у). Попытаемся найти всевозможные функции д(р) такие, что случайная величина д(7) имеет функцию распределения г'(х). Для этого необходимо и достаточно, чтобы Р(д(7) (х) =г"(х). Введем единичную груннци1о (О при г~(О, г(г) =-! 1 при г) О. ПРЕОГРЛЗОВЛНИЯ СЛКЧЛПИЫХ РЕЛИЧИН Так как плотность р,(у) =1 при 0<у(1, то 1 Р(д(у) < Х) =- ~ рт(у) С(!) = ~ Р(Х вЂ” д(у)) Ду. (В!К(о! <а) В Таким образом, получаем уравнение, которому должна' удовлетворять функция д(у): 1 ) е (х — д (д)) дд = Р (х).
(8) а Общее решение уравнения (8), по-видимому, неизвестно*). Однако легко указать частные классы функций у(у), в которых решения существуют. Для простоты ограничимся случаен, когда моделируемая величина 8 принимает значення в интервале а(х(Ь и име. ет плотность вероятностей р(л) )О при а(х(Ь. х =угу! Рис. 19.
Рнс. 20. Пусть д(у) строго возрастает прп 0(у(1 и у(0) =а, д(1) =Ь. Тогда из рис. 19 видно, что е(х — у(у)) =1 при 0 ..у(/1(х), где Ь(х) — функция, обратная по отношению к д(у), Из (8) вытекает, что Мг! р(х) = ~ ау = й(х), (9) а Переходя к обратным функциям, запишем, что у(у) равна 0(у)— обратной функции к Р(х), Лты пришли, таким образом, к методу обратных функций К=6(у). ') Если моделируемая случайная величина $ непрерывна, то плотность ее р(х) =Р'(х).
Дифференцируя (8) с учетом того, что а'(х) =б(г) — дельта.функция Дирака, полмшм вместо (8) уравнение 1 16(х — у(у))г(у р(х), '0 $2) МОДЕЛИПОНХН)ЧВ МНОГОМГПНЫХ ВКЛИЧНН 83 Пусть теперь д(у) строго убывает прн 0(у<1 н у(0) =)х у(1) =а. Тогда нз рнс. 20 видно, что е(к — у(у)) =1 прн й(х) (у(1, н нз (8) вьоекает, что ! т" (. ) — ) Ыу — 1 — й (х). (10) А(х) Сделав замену переменной у=й(х), пол)чнм соотношенне г(у(у)) = =1 — у, откуда д(у) =С(! — у). Таким образом, в этом случае 3=с(1 — т), н мы снова прпшлн к методу обратных фуннцнй с заменой на 1 — у.
тп гке решения уравнения (8) можно получить для любой случайной велнчнны, если предположнть, что д(у) обладает свойствами обратных функцнй С(у) в смысле и. 1.4. Помимо этих двух монозонных решений, существует бесконечное количество немонотонных решений. Однако нспользуготся онн сравннтельно редко Пожал)пй едннственный общий мезод, основанный на нспользованнн немонотонных функций у(у), вто модифицированный метод суперпозпцпн Г, А. гь!изайлова, нзложенный в и.
3.3.3. Прежде чем перейти к преобразованиям более обгцего вида, рассмотрим основные методы моделирования многомерных случайных величии. 5 2. Моделирование многомерных случайных величин 2.1. Моделирование и-мерной случайной точки с не- зависимыми координатами. Если координаты п-мерной случайной величины ()= Д), ..., 0.) независимы, то функция распределения гч(х), ..., х„) =Рг(хг)...
Р„(х„), где гг(х,) — функция распределения величины $г. Есте- ственно ожидать, что в этол случае леожно лоделиро- вать казкдуго вели гану $, независило) РгЯг) =Ть 1'=1, 2,..., и, (11)', где Ть ..., ҄— независимые слУчайные числа, Дейс)в)пельно, так как Т, независимы, то и $ь опРеделенные формулами (11), независимы. Поэтому нх совместная функция распределения равна произведению Р Я,(х„..., $„(х„) = П РЯ)(хг) = ч П г"1 (х)) = Ро (х,...., х„). 1=1 ПРЕОНРЛЗОВАНИЯ СЛУт!ЛЙНЫХ ВНЛИЧИН 1гл 2 54 Пример. Случайная точка (2 с декартовыми коорднна- тачв (гт,...,ча) равномерно распределена в амер- ном параллелепипеде П=(а!<х!<Ь!! 1=1, 2, ..., л) (рис. 21 для а=2).
Плотность вероятностей точки О постоянна в П: ~с прн (т„..., х„) нП, (О прн (х,,...,х„) б П, где 1!с = П (Ь! — а!) — объем П (а-мерный объем), Интегрируя 1 ! РО по всем пеРеменным, кРоме хи легко полУчить, что плотность 21 равна 1 /(Ь! — а!) при 21 е (а1, Ь,,)„ О при х! !р (аг, Ь;). Следовательно, каждая из координат й! равномерно распределена в интервале а; < х! < Ьг, и координаты этн независимы, Согласно (11) запишем уравнения Р! (~,.) и Д вЂ” а1)!(Ь! — а!) = ф откуда вытекают явные формулы для расчета координат Цг = а! + у! (Ь1 — а ), ! = 1, 2,..., л. 2.2.
Моделирование и-мерной непрерывной случайной точки (с произвольными координатами). В обшем случае, когда зависимы, их совместную плотЬз ность можно представить в виде произведения условных плотностей вероятностей этих величин: р,(хи ..., х„) = = р1 (Х! ) Р2 (Х2 ( Х1) 122 (Хз ! Х1, Х2) -. .„Р„(Х„(Х„..., Хч,). Все условные плотности вероятности выражаются через совместную плотность р (хи ..., х„). а, Рис. 21.
Приводим выражения условных плотностей в общем виде; все интегралы берутся от †до ео: Р! (х ) ) ° ) РЦ !(х ° !(Хю Ра (хз(хз) =) . 1РЦ1(. ° г(х, (Р! (21)Г~ ° 2 2! МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОМЕРНЫХ ВЕЛИЧИН 55 Рл (231 х! Хп) ! ' ' ') Рчггк! ггк (Р1 (к!) Рп (хл) х!)1 "гл — ! (гл — ! ! !' '''' л — 2) = ) Раахл(Р! (х!) Рл-2 (хл — 2 ! х! . Хл — 2)) ° Р (к (к! ° Хп !) = РО(Р! (х!) ° ° ° Рп ! (к~ ! !х!' '''' Хл — 2)) Введем условные функции распределения т",(х,!Хг,..., х! !) = ~ рг(х/х„..., х! !)г(х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
