Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло (1973) (1186217), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Рассмотрим интегральное уравнение г(р) = Л~ К(Р, Р')г(Р') йР', с где Л вЂ” действительный параметр. Это же уравнение с учетом (1) можно записать в виде г=ЛКг. (53) Если при некотором Л уравнение (53) имеет решение г(Р) ФО, то это значение Л называется собственным значением уравнения *) (53), а г(Р) — собственной функцией, соответствующей атому собственному значению Л. Собственные функции будем считать нормированными так, что (г, г) =1. Предположим, что наименьшее по абсолютной величине собственное значение уравнения (53) положительно Л1)0, и соответствующая собственная функция г1(Р) )О внутри О. При весьма широких предположениях относительно ядра К(Р, Р') для приближенного расчета Л1 и г,(Р) можно воспользоваться методом Келлога 110, 631: каковы бы ни были положительные внутри 6 функции тр(Р) и ф(Р), отношения (тр, К<р): (ф .Киы р) стремятся кЛ1 111П ((ф КстР)/(тР К'+'сР)) Лт 1 а а пормированные итерации тр в каждой точке стремятся к собственной функции 11ш К'<р(Р)(К'1р, К'тр) "т = г,(Р).
Расчет величин (тр, К'<р) и К'тр(Р) можно осушествлять методами Монте-Карло, рассмотренными в $ !. Заметим, что траектории Т, позволяют одновременно вычислить все (ф 16р) и К~ср(Р) при /=О, 1, ..., й е) Собственным значением оператора К называют обратную ве. личину: !/Л, 186 РСШЕННГ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ >гл 5 Скалярным произведением (Кгр, Кгр) на практике пользуются редко: по значениям К'|р(Р) можно получить прибли>кенный рельеф функции з>(Р), а нормировку осугцествить отдельно.
Все вышеупомянутые предполо>кения выполнены, например, в случае, когда ядро К(Р, Р') сил>лтетрично К(Р', Р) =К(Р, Р') и положительно определено: (К|р, |р))0 при фФО (конечно, предполагается также, что р(Р)~~2(с>), К<Р Р')е<2(ОХг>) и ф(Р)е<2(с!)). Для того чтобы пояснить сущность метода Келлога, рассмотрим случай (весьма важный), когда все собственные значения уравнения (63) суть О < в ! < Хз < >|! < а соответствуюшпе им собственные функции г,(Р))0, г,(Р), |.з образуют полну|о ортопормпрованную систему (г, г„,) = бы, <символ Кроиексра). Пусть неотрицательная функция |р<Р) рвана гр<Р, = У Ь„,г <Р), и=! где, очевидно, Ь~= <Ч>, г,))0.
Из этого разлшкения следует, что а=! а=! Запишем скалярные произведения, фигурирующие в методе Келлога: (ф, К'ф) - к~а Ь„йл,'(у|, ги,) (К'р, К'р) = Х Ьэй 2! |и=! т=! и выделим главные члены в интересуюших пас велп ппшх: (|р К>ф) Ь,Л! |(ф, г,)+Ь,й (|Р, г.)+ ... й,+0( — "' (Р, Кг+>|Р) Ь>й, ' ><ф, г,)+Ь,й ' '(|Р, ге)'; ... ~й)' Кгр<Р) Ьгй, гг, (Р]+ Ь|й ггх(Р)+ ... > ! г,<Р)+С>(-' . )> (К||р, К>ф) тl Ьг>. >! -<- Ьг> 2' ) |,Ц) У |! 22 О~сюда видно, что сходпмость будет хорошей.
если >.!<<аз, и плохой, если вг близко к Х!. Положительность ф(Р), вообще говоря, ие нужна: нужно лишь, чтобы <ф, г|) ФО. Заметим, что если выбрать ф<Р) так, что Ь>=<ф, г0=0, но Ьз — — (ф, гг) ~-О, то (р, К>р)у(р К>+>~) ! К>ф<Р) (К>ф К>,)->>2 <Р) $4) одноеодныг интвгьольнь<в теквнвния 187 4.2.
Метод существенной выборки для траекторий Ть Предположим, что К(Р, Р') )О и ц<(Р) )О. Интеграл (ф, К<<Р) = ~... ~ Р(Р„)К(Ро, Р,)...К(Р;,, Р<)<р(Р)йР ...дР< с можно вычислить методом п. 3.2 гл. 3 с помощью лю- бой допустимой плотности р(ро,, Р<) в ПХ- Хы. Из теоремы 3 гл. 3 следует, что если выбрать плотность р =~ <Р (Р ) ~ К (Р, Р ) " К (Р—, Рд <р (Р )I(й'), К'<р), то дисперсия будет минимальной, и равна она Ь< = (Щ, К'<р)' — (ф, Кчр)', при знакопостоянной функции <р(Р) минимум этот <т)<=О.
Легко убедиться в том, что плотности р отвечают траектории ((чо- от<- ... ->-1)<)с вероятностями пере- хода, зависящими от номера точки. Это следует из пред- ставления р в виде произведения условных плотносоей )<р(Ро))К'<р(Р„) К(Ро, РДК< — <<р)РО К(Р« , Р<) Ч<(Р<) ()<р), К'т) К'р(Р,) '" К<р(Р<,) Однако здесь, как и в п. 2.3, законы построения траекторий (33) и (34) обеспечивают минимальность дисперсий, если <р(Р) пропорциональна г,(Р). Теорема 7.
Предположим, что ядро уравнения (53) и первая собственная функция г<(Р) неотрицательны К(Р, Р') ) О, г, (Р) )О, а траектории Т< строятся по законам (33) и (34): 8Р(Р)) Ч (Р) О4<й 'р) К1Р, Р') <р(Р') К<р (Р) Если <р(Р)=сг,(Р), сФО, то при каждом ( дисперсия Оа<(ф) = Пь — < Доказательство. Если 4<=сг<, то К<р =)и сг, ° - Х, ' р.
1ВВ РЕШЕННЕ ЛИНЕГ1НЫХ УРАВНЕННП 1гл 6 Тогда плотность (3) траекторий То равна (ф(Ро))!Р(Ро) К(Ро. Р!)ф(Р!) К(1! — ! 1!)'Р(1!) ()ф(, ф) й —,'!р(Р,) ' ' ' д!'ф (Ро,) (ф (! о)) К (1 о 1 !) ° ° ° К (1 ! — \ Р!) !р (1 !) л, !()ф), р) Л так как К'гр=д ! гр, то нетрудно проверить, что плотность р также равна атому выражению. 4.8. О других методах расчета )о! и 2,(Р). Большинство методов для приближенного расчета )г! (метод Ритца, метод моментов и др. (бв, 60)) так или иначе требует вычисления некоторых интегралов. Если зги интегралы достаточно сложные, то может оказаться целесообразным применение методов Монте-Карло. Рассмотрим схему одного из таких методов, который использовался в [!4) для оценки аффективного коэффициейта размножения нейтронов в реакторе. Допустим, что мы можем указать несколько ортонормированных функций ф!(Р), ...,!ро! (Р! так, что первая собственная фуикш!я 2,(Р) уравнения (53) достаточно хорошо аппроксимируется их линейной комбинацией оо 2! (Р) с ф (Р).
о'=! Вычислим (методом Монте-Карло) кнтегралы Ь1,.— — (Кфг,ф)), 1,)=1,2, ...,т, и составим линейную алгебраическую систему уравнений с неизвестными сь... сщ сс- й ч.; Ьис, 1=1, й, ..., т. 1=! Решать зту систему можно методами высшей алгебры. Если р=р,— наибольший ко рень характеристического уравнения Ь1, — И Ьм ... Ьен Ьго во о р °" Ьмз =О, Ь, Ь, ... Ь„,„р а сь ..., с — соответствующее ему решение системы, нормиро.
ванное так, что сх + ... + с,т = 1, то Ао 11р„ 2,(Р) ~ЧР~ с!ф!(Р) ° ! ! Ф 41 однородмыи интигрдльыын урлпнкыця 189 Идею метода легко объяснить следующим образом. Пусть ф!(Р), ..., зьм (Р), ...— полная система ортонормированных функций из бз(0). Разложим в ряды по системе (ф! ) искомую функцию з(Р) и итерированные функции Кф! (Р): х(Р) = ~', с/гр/(Р), где с; = (г, ф,), /=! Кф!(Р) =~~ Ь!/ф/(Р), где Ь;;=(Кф, ф;) ° / ! Подставим эти выражения в уравнение (53): с одной стороны, СО СО йКз (Р) = Х ~~ с/ Кф. (Р) = У ф (Р) й ~~ Ь/,с/, а с другой х(Р) = ~~~', с!ф! (Р). ! 1 Приравнивая коэффициенты при ф! (Р), получим бесконечную линейную систему уравнений для нахождения величин сь ... ..., с,и, ..., эквивалентную уравнению (53), с/=)г~ч~', Ь,,сР 1=1, 2, ...
/ ! Если в этой системе пренебречь величинами с,„+!. ем+э.... ° то придем к конечной системе, выписанной выше. 4.4. Пример: интегральное уравнение Пайерлса. Нахождение критических параметров ядерного реактора в простейших случаях (в одногрупповом приближении) сводится к вычислению первого собственного значения )г! интегрального уравнения (54) которое называется уравнением //пберлса 125, 51), Здесь Пч — трехмерная область (объем реактора), в которой происходит диффузия нейтронов, а(Р) и 5(Р) — заданные положительные функции '), ии- ч) Они выражаются через нейтронные сечения (см. стр. 47) и среднее число т нейтронов лслеиия: п(Р) =2. ()(Р) =л,+ тд/. См.
также упражнение 5 гл. 6. РЕШШ?ИГ ЛИ??ЕИНЫХ УРХВНЕНИИ (Гл. в те!рал в пока писле берст я по отрезку прямой, соедпняюшей точки Р и Р' н равен ! Р' ! !Р— Р'1 ц сгз =- ~ ц (Р + алз) !(зл Р а где ы= (Р' — Р)1(Р' — Р! — единичный вшиоп. Если Л!)1, то область б„подкрптнческая, есля Л!(1, то область ба надкрп!!'ческая. Область будет крнтической прв Л! = 1; в этом случае собственная фушашя а,(Р) равна плотности нейтропоа. Ядро уравнения (54) нс симметрично, но спмметрпзуемо и имеет слабую особенность.
В. С. Владпмнров (10) исследовал сходпмость метода Келлога для уравненпй такого типа и методы Моите- Карло для расчета прпблпжепнй. Оказалось, что метод п. 4.1 полностью применим для решсппн уравнения (54), а если выбрать ф=- =й(Р)гр(Р), то прпблнжсши Л!г! (?г г( !)гг)?(Кг-1-!ф !зг)) монотон- па убывают! Л!о?>Л!И» ...Лгц> ... ?, Расчеты?„и п,(Р) этим лгетодом были осущестьлсны'в (13, 7б). 4 4.1. Численный и р и м е р (13, 82).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
