Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло (1973) (1186217), страница 33
Текст из файла (страница 33)
П р н м е р. Пусть я(х, у) — реп.ение уравнения Лапласа (д»и/дхт)+(д»п/пуз) =0 в единичном квадрате 0<х(1, Оку~1, удовлетворяющее грвиичныл1 условиям и(х, 0) =О, и(0, Н) =О, в(х, 1) =х, и(1, у) у р Вычислить зиачезие и(1,'2, Ю). Рис. 54. Выберем в квадрате сетку с шагом «=1/4 и перенумеруем узлы так, как зто указано на рис. 54. )(ля уравнения Лапласе формула (75) еще более упрошается: С=я», так что ь равно значению д в том узле, в котором цепь попалает на границу. Возле каждого граничного узла на рис.
54 проставлено значение д для нашего примера. $ 3! Решенл!е линп!ных АлГеГРАическнх систем 205 Для построения цепей воспользуемся таблицей случайных цвфр, приведенной на стр. 295. Если случайная цифра е ока!кется 0 илп 4, то булем перемешаться в соседний узел справа; если в равно ! или 5, то будем перемещаться влево; если в равно 2 нли 6, то перемешаемся вверх; если в равно 3 нли 7, то перемещаемся вниз; значения а, равные 8 илн 9, опускаем. Таблица 3 6 5 1 !-- 13 — 18 — 17 — 16 б О 7 5 6 6 1 ! ! ! 13 — 12 — 13 — 8 — 7 — 12 — 17 — 16 5 5 13 — 12 — И 4 3 4 13 — 14 — Π— 10 6 6 ! ! 13 — 18 — 23 5 13 — 12 — И 5 6 5 ! 13 — 12 — 17 — 16 2332437 ! ! 1 - ! 13 — 18 — 13 — 8 — $3 — 14 — 9 $ 7 5 7 13 — 8 — 7 — 2 0 2 6 1 1 13 — 14 — 19 — 24 160333 1 13 — 12 — 17 — $8 — 13 — 8 — 3 4 2 5 О 2 1 !3 — 14 — 10 — 18 — 19 — 24 2 2 1 Т 13 — 18 — 23 45 55 3 7 < 13 — 14 — 13 — $2 — $1 13 — 18 — 3 5 $ 13 — 12 — 1! /!!х!$б и ~ —, — ~ ш — л~н ь, = О, 17.
2 2~ !бс.4 з з ! Из эмпирической оценки дисперсии $)ь ш !5 ~к~~ Ь, — !5 !6 ~~~~ за 0,08! следует, что вероятная ошибка Гш 0,675 )Г0~/)б ш 0,05, Точное решение рассмотренной задачи и=лйб так что н (!/2, 1/2) 0,25, и фактическая ошибка расчета равна 0,08. В табл. 3 приведены 16 случайных цепей. В первой строке записаны использованные случайные пифры, во второй — схематически указано направление перемещения, а в третьей — сама цепь (номера в/). Соответствующие этим цепям значения ь равны О, О, О, !/2, !/1, О, О, О, О, 3/4, О, 3/4.
!/2, О, О, О. Среднее арифметическое этих величин дает нам приблплсенное значение решения в точке (1/2, 1/2): 206 РЕШЕНИЕ ЛПНСЯНЫХ УРАВНГН!!И (гл 5 Метод настоящего пункта позволяет вычислять решения разностных уравнений, аппроксимирующих дифференциальные уравнения. Связь таких задач с блужданиями по сетке была впервые установлена в 1113].
В 3 3 гл. 8 указан метод Монте-Карло для решения задачи Дирихле, не связанный с разностными уравнениями. Б.б. Случай очень большого числа переменных. Методы Монте-Карло, изложенные в Я 2, 3, 4, часто используютсп в вычислительной практике, так как классические численные методы решения интегральных уравнений в многомерном случае приводят к весьма сложным расчетным схемам. Методы настоящего параграфа, напротив, сравнительно редко используются, так как зти задачи хорошо решаются численными средствами линейной алгебры.
Пожалуй, только в задачах с большим числом переменных методы Монте-Карло могут успешно конкурировать с методами линейной алгебры [1Щ. Предположим, по требуется оценить одну компоненту а, рещенна г системы (55), У котоРой все )пор)(ч(гл 1)о)Сс, и д(1. В этом случае ряд г, = /г+(А))г+(Аз/) +... сходится быстрее, чем геометрическая прогрессия с+сд+соз+..., и при заданной точности люжко ограни нпься каким-то определенным количеством ! слагаемых: г, = ~~~~ (А7)г.
(7?) ю О Будем считать, что !)3. для того чтобы по компонентам вектора А 7 вычислить все компоненты вектора А!+!1 необхолимо проделать глз умножений (операциями ело!кения, как более простыми, мы пренебрегаем). У вектора А!1 нам нужна лищь одна компонента (А!)) . Следовательно, общее количество умножений, затрачиваемых )Г' при расчетс по формуле (77), равно (! — 1)го!+я!. Рассмотрим теперь метод п. 5.3. Пусть все рой = 1(гл! это значит, что каждый номер й! с равной вероятностью может принимать значения 1, 2,..., гл независимо отй! !.
такой выбор можно (см. стр. 46) осуществлять по формуле й! =1+Ц(глу), где у — очередное случайное число. Лля реализации цепи с такими вероятностями перехода надо: 1) выбрать й,=г; 2) выбрать й, в найти элемент аа,а ! 3) выбрать йз и найти аз а и т. д. до а а а . Значение случайной величины (67), соответствующей (77), будет вычисляться по формуле ! г = Х йгг)а. где 1Г! — "'г — !л!"»! !а! В', =1.
!=в УПРАЖНЕНИЯ К гл в 207 Если матрицу а 3 заранее умножить на т,тона расчет одного значения! будет затрачпваться всего 3! умножений (т на у, таа г-а ! йтт-! "?А!на(г!). И если лля достижения требуемой точности придется вычислить А! цепей, то общее количество умножений прп таком способе расчета равно Зт?У+псе. Очевидно, расчет методом Монте-Карло будет экономичнее, чем расчет по формуле (?7), если (!-2) те+ т) ЗЙЧ. (78) Легко показать, что величина !У вЂ” колпчсстзо цепей, необходц. иое для достижения заданной вероятной ошпокп — ограничена прп )и- ьь н г-ьсь. В самом леле,какизвестио,й! пропорцпональиолнсперсии Оь.
Но О~(Мнт и так как [ь[ < с ~7~ д к.с(1 — д) го ю=а ' О((ст(! — 4) т. Послелння граница ни от т, ни от ! не зависит. Квадратному неравенству (78) удовлетворяют все т такие, что т) [ — 1+ )" 1+ !2! (! — 2)й![7[2(! — 2)). Так как 31~1, то это неравенство можно заменить более простыы т ) )Г!2! (! — 2) ?у?[2(! — 2)) = )l Зй(![(! — 2). Наконец, так как при !)3 отношение ![(! — 2) (3, то последнее не. равенство, а вместе с ним и (78), будет выполнено при любом !)3, если только т) 3 РтФ Например, если )У=900, то метод Моите-Карло выгоднее, чем расчет по формуле (77), для систем парадна тп)90. Упражнения к главе 5 1. Рассмотрим произвольную функцию ?!(Р, Р') из ьт(ОХО) и решение з(Р) уравнения (25), представимое в виде схолящегося ряда (28). Чтобы вычислить квадратичный функционал ()?з, х) метедом Монтечяарло, можно использовать пиры независимых случайньы траекторий (Л.
В. Майоров, А. Ы. Суховой [49)). а) Пусть две траектории типа Т (Яе ... ()! . ) и (; !?з ... м' ...)строятся по плотностям ! рж.),р((),, (),> ° р (Оо), р (()1,,О,') соответственно. Определим случайную величину сь заенсящу!о от пары таких траекторий: Ч=, ', . Я Рф(()!) У У',ф((),'). )т (Оь Оо) р('сь) р (г?з) .=.о ! — и 203 [Гл а РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ б) Пусть две траектории типа Тт(бз ... 6я]и (6в ...-~(), ] строятся по законам РЯе), р (61 1, Я), а [()1) и р'(Яа), р'(()) 1, Я;), а'[Я ) соответственно. Определим случайную величину 1),ч ЗаВИСЯЩУЮ От ПаРЫ таКИХ тРаЕКтОРИй: к[а„аз'] [[6,), [[а,) РЯе)р'(МЗ] 'а(Яч) ' а(М )' Доказать, что если выполнены условия теоремы 4, то МЧ = М,)„,.
= (Фг, г) . 2. Доказать, что если плотности р(Р) и р(Р„Р'), по которым строятся траектории Т , удовлетворяют условиям ') [ф(Р)[(Р)Р '(Р)] Р(Р)г(Р( ° с ] [К (Р, Р) [(Р) Р 1 (Р, Р) Г~ (Р)] Р(Р, Р) ИР' ( 4 С1 а (при любом Ртиб), то дисперсия Пь[ф] <оо. У к а з а н и е. Воспользоваться неравенством (44). 3, Предположим, что функции фз(Р) )з(Р), К'(Р, Р') фп(Р)= — „„, [п(Р) =.(„Р,), К„(Р, Р) =,(Р„(Р „ принадлежат соответственно ьз(6), ьз(6), йз(6Х6), и ряд Неймана для решения гп уравнения гп —— Кпгп+ /р сходится. Доказать, что дисиерсня оценки (39) конечна ц равна ()ьч [ф] = [ф, г ) — (ф, г)з (В. Г. Золотухин, С.М.
Ермаков [36]). 4. Интегральное уравнение 1 3 1х+х' г(х) = — ~ =, г(х') бх'+ 45х — 3 20 ] ~Гд имеет решение г 50х. а) Доказать, что последовательные приближения (26) сходятся, если только интеграл Кф(х) нонечен. б) Пустьй„ ..., Ь вЂ” заданные интервалы, расположенные ! внутри [О, (], и требуется вычислить методом Монте-Карло п. 2.2 упплжнып~я к гл 3 209 числа з,.
= ) х"'(х)дх, й=1,2,...,1, аа в случае, когда начальное приблизкение зге)(х)=1 Выписать все расчетные формулы, если начальная плотность р(х) =1, а плотность вероятностей перехода из х в х' пропорциональна (х + х )/у х'. 5. Доказать, что в условиях п. 3.2 (расчет по истинным траек- ториям) можно для оценки (ф, х) вместо случайной величины ь, !Л=(/(. 'Р(Ю!(ф(ге,)/ (О,)! называемой оценкой но иаглои,ениям, использовать случайную велит чину ит (/! = (/(!'ге)/Р(И! ~ ф (О/), пазываемуго оценкой ло /=о столкновениям. У к а з а и и е, Получив выражение СО )/"„=~,~...~/(Р.)~ )( /) и К„(Р,, Р.).(Р,) . г=о /=о $=! попользовать тождество а (Р,) =1 — ) К,т'1 Ры Ргч !') йргц.!.
6, Рассмотрим квадратную матрицуВ = (Ьие), 1<а, ()~(гп, исе собственные значения ри которой удовлетворягот условию (р„-й)<й, й>0. (79) Построить метод Монте-Карло для обращения матрицы В при по- мощи итераций матрицы А=Š— /г ' В. (Если все собственные зна- чения рю ..., р„, ма~рицы В лействнтсльны в положительны, то условие (79) всегда выполнено при й = шах (р,; ...; Рж) .) 7. В области 6=(0я=х(1, /)О) рассмотрим дифференциаль- ное уравнение теплопроводности ди/д/=дти/дхт+Р(х, 1). Требуется найти решение и=и(х, С) этого уравнения, удовлетворяю- щее граничным условиям и(х, О) =й(х), и(0, 1) =й,(/), и(1, !) и,(/), Выберем прямоугольную сетку с шагом Ь по х и й/ по й Коор- динаты узлов этой сетки х/ — — //г, / = ИГ, а значения и (х/, Г ) и Р(х., /1) обозначим и г и Р; р Во всех внУтРенних Узлах замет иим дифференциальное уравнение разиостным и/,г и/д — ! и/+К 1 — ! 2и/д — з+ и/-г, 1-1 которое, введя параметр и=й//йз, можно переписать в форме и/!~ми/+гг, +(1 — 2и) и/г, +ми 11 1+ й/Р/1 Условие устойчивости этого уравнения и~!/2.
Определить случайную цепь, аналогичную цепи из п. 5,5, для рас: чета и; !методом Монте-Карло. !4 И. м. сопель ГЛАВА 6 МОДЕЛИРОВАНИЕ ЕСТЕСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ Рассмотрим какой-нибудь естественный процесс, на протекание которого влияют различные случайные факторы. Законы распределения этих факторов будем считать известными: иногда эти законы можно вычислить теоретически, чаше — экспериментально. Так как мы умеем находить значения случайных величин с любыми законами распределения (гл.
! и 2), то, разыграв конкретные значения случайных факторов, мы сможем рассчитать конкретную случайную реализацию процесса. Такой расчет называют имитацией (з(- пш!аПоп). Большинство приложений метода Монте-Карло связано именно с имитацией. Технические приемы имитации в различных областях науки, техники, экономики подробно рассматриваются в специальных книгах. Поэтому мы ограничимся лишь очень кратким изложением нескольких простых примеров Я !). С точки зрения математики гораздо интереснее то, что для многих задач можно построить более выгодные алгоритмы расчета, если отказаться от имитации есте. ственного процесса и воспользоваться некоторыми искусственными моделями.
Именно таким спобобагн расчета — моделированию с использованием статистических весов — посвяшена настояшая глава. Основная область применения этих методов (пока) — нейтронная физика. Однако материалы конференции [55! показывают, что такие методы начинают проникать и в другие области. 211 ф и МОДЕЛИРОВАНИЕ ПУТЕМ ИМИТАЦИИ 5 1. Моделирование путем имитации 1.1. Задача о поглощении нейтронов. Рассмотрим ,ограниченную выпуклую (для простоты) область 6е в пространстве, не содержащую делящихся ядер. Считаем известными сечения рассеяния н поглощения Х(г, Е) = =Х,(г, Е)+Х,(г, Е) и индикатрису рассеяния р,(г', (г1 11), которая представляет собой условную плотность распределения направлений рассеяния 11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
