Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло (1973) (1186217), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Искомая вероятность поглощения Рл в области Оа может быть запвсана в фоРме скалЯРного пРопзвеДепнЯ Рл —— (з, ф), глв ф(Р) = (~а (г)(~~(г)) Ха,(г) (39) а )(о (г) — андикатор области Оо (т. е. )(и — — 1 при гсвба, )(о,=б при гшСгз). В самом деле, (Р) Р (Р) кР = ) (2, !~) йг т з(г, а) оа! ' и. виутрешшй интеграл представляет собой плотность полного количества столкновений в точке г за единнпу времени, или, что в нашем случае одно и то же, в расчете на один нейтрон источника; умнозкив это количество на (~л/Х) г(г, получим количество поглощений в элементе с(г около точки г, а проинтегрировав по Оь, получим количество поглощений в области О, — также в расчете на один нейтрон источника. 4.2.
Плотность первых столкновений. Обозначим ы= (г — го)!1, 1= (г — гю(. Вероятность того, что направление скорости нейтрона, испущенного источником, окажется в конусе пм около направления ы, равна с(м/(4п). Далее, рассуждая в точности так же, как в п. 2.1.1, получим, что вероятность первого столкновения в элементе г!Р около точки Р равна — (Хгз лы а' ((Р) 3Р = — ~Ч~Р(г) е и!8(Π— ы)ЛП, откуда следует формула ! ! (Р) = —,, ~~р (г) ехр — ) ~ч„' (г, + соз) лз~ б (и — ы). (40) в 243 модглнповлнни иствствкнных процвссов 1гл а Важно подчеркнуть, что приведенный в п.
!.1 алгоритм расчета П ~ и первой точки столкновения г, представляет собой способ мо. делирозания случайной точки Яд= (гь бд) фазового пространствз с плотностью (40). Плотность оказывается нормированной из-за того, что пстачинк наш единичной мощности: — ~ Хдз )(Р)ЫР=~) — ) ~н(г)е 31~5(Я вЂ” ю)ЫЯ= гдыг о '3) 4п,) 0 -1Х" ~'~" ~ ~(,) о о Рассмотрим теперь случайные точки столкновения (гг+!. Й;) в фазовом пространстве и выясним, какие траектории с!д-~- б~ Яз .. соответствуют рассмотренным выше алгоритмам расчета рд. 4.3.
Имитация прохождения нейтронов каи метод решения интегрального уравнения. Из п, 4.2 следует, что при реализации алгоитма п. 1.1 плотность начальной точки (р(Р) нз гл. 5) рвана ((Р). лотность вероятностей перехода (р(Р, Р') из гл. 5) при .равна р(б,, Р) р (г,, б,,, оэ)1 Р (1)5(б ю), где ! = )г — г;), ю (г — гг)/1, Если г! фбз, то можно считать, что траектория останавливается в точке 1)! з, т.
е. р (Я! !, Р) ~ 5 (Р— б,. !) и бг — — бг !. Таким образом, р(Р, Р') = К (Р, Р )1з(Р) при гбб„ 5 (Р' — Р) при г(1 бз, (4!) причем з(Р) = ~', (г)/~'(г). Очевидно, тРаектоРии Яд-ь Я,-ь ..;ь бч пРи таком методе Рас- чета представляют собой траектории с поглощением типа Т» во всеи пространстве. Поглощение (а(Р) из гл. 5) равно а (Р) = ~д (г)(,~~ (г) . (42) При гаиба можно считать, что ~ — ~ так что а(Р) =1. Согласно гл, 5, п. 3.2 оценкой функционала (ф, г) служит ве- личина ьт (г) = () (бд))р (бз)) [ф(б )га (б )), которая в нашем случае, когда р(Р) =1(Р), а ф(Р) определена формулой (39), равна (1, если г +, шб„ с,'(л- ~ ~(0, если г +1Фбы стАть!стическ!!г ВесА Таким образо!!, случайная величина з1, !ш п.
1.1 равна чт Щ н Мз!А [ф' х) Рл 4.4. Веса, заменяющие розыгрыш поглощения, как метод решения интегрального уравнения. Легко видеть, что алгоритму п. 3 ! соответствуют траектории без поглощения (тнпа Т ) во всем пространстве, которые строятся по той эке начальнои плотности р[Р! = =[(Р) и плотности вероятностей перехода (41) Согласно п. 3.3 (гл. 5), в качестве опенки (ф, х) можно выбрать величину ь*Щ, ко. торая в рассматриваемом случае запишется как ь* [[1 ~" 11'; ф (!)!) (=о прп !еч [р! =-зя,)з((г!) ... з Я! !). Если г +! — первая точка траектории, оказавшаяся вне б„то ф(Я!) ==-0 при всех /=-с, «+1, ... Г(оэтому сумму мозкио закончить членом с ! ч — 1: ч — ! 1е щ .= ~ ц!.
[~~ (г. ),~У (г + )]. )=о Сопоставив формулы для [Р; н ('.[[] с формулами (20) н (16), нетрудно заметить, что в этом случае ю; = 1рг, В!4!! = е* Щ, следовательно, Мт)л = (ф, х) = Рл. О! 4хй Веса, учитывающие вылет, как метод решения интегрального уравнения. Обозначим через Сг область фазового пространства, состоящую пз таких точек Р= (г, Р), что гщбз Так кач при Р'ЕС! ядро столкновений Кет(Р', Р) =О, то (п.
35 !л. 5) уравнение (33) можно заменить уравнением х (Р) = ] К„(Р', Р) х (Р') !(Р'+ [ (Р). (43) Алгоритму п. 3.2 отвечает начальная плотность р(Р) точки !Оз= .= (гь Г)а) в й такая, что [Ро (!)'"е [!ь)1 5 (() — е!) где !е — расстояние от источника ге до границы области Сг, по направлению Ие, (= [г — го[, ы= (г — го)l!. Сравнивая это выражение с (40), видим, что Р[Р) =[(Р)IРо(!о). (44) Нетрудно также записать плотность вероятностей перехода, со.
ответствующую алгоритму п. 3.2: Р,'., Н) 5(Н Р(!е! — ! Р) =Рз(г! ()г-!! ы) у.-. (! ) Н Сравнивая эту формулу с (7), получим, что р(Р, Р) = К„(Р, Р)[ь(Р, Р'), 17 И, М. Сабель 250 МОДЕЛИ РОВЛННЕ ЕСТЕСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ (ГЛ В где, как нетрудно вычислить, /(г, м') — расстояние от точки г до ~ренины Оо по направлению вектора ю'= (г' — г)/[г' — г[ В качестве поглощения в п. 3.2 выбираетсв истинное поглоше. ние; а(Р) = лм(г)/лз(г), Таким образом, рассматриваемому алгориг. му соответствуют траектории с поглощением типа Т„ви>тря О. Согласно п. 3.5 гл. 5 в качестве оценки для (ф а) можно выбрать величину ~, [/! = [/(О )/Р ('4Н 1Р, [ф (От)' (С! )) где (см. 116) гл. 5) /<- [фг-1 Оз) л ( '/--1' О') е г(Р) =1 — а(Р). Здесь т — номер точки Я = [г„+и ьтт), в которой траектория закончилась поглощением С учетом выражения для й(Р, Р') можем записать )Р, в виде 1Р; = Р, (/,) ...
Р,. [/г). Приняв во внимание формулы (39) и (44), получим, что ~т [/[ = Ро (/е) Рт (/з) . " "т ('ъ). Ф * Наконсц, сравнив формулы для Ет,. и ьт [/) с формулами (28) и (29), увидим, что ш; = Ра(/,) Уз 1 и т1л11 — — ь [/), Следовательно, ййз1дл ~ = (ф, г) = р, . 4.8. Веса, заменяющие розыгрыш поглощения и учитывающие вылет, как метод решения интегрального уравнения. Снова рассмот.
рим уравнение (43) внутри О. Алгоритму п. 3.3 отвечает та же начальная плотность (44) и та же плотность вероятностей перехода (45). Однако соответствующие траектории в фазовом пространстве представляют собой траектории типа Т без поглощения. Для оцен. ки скалярного произведения (ф, я) используем оценку ~"[/[ из гл.5: С С' И = Ра [/а) ~„ " с 'Р Д) = ~ Ро (/е) )Рз ~~ (, 1=В з=о 252 модплировднип пствствпнных процессов !гл а пропорцповальяой 1 — (г1)1)з! предполагать, что т=25, а й„ьь блпвок к ! '). 3, Записать формулу для расчета Ф.ч,е одяородяого шара яз упрагкпекия 2 методом поколении с помощью весов и 3.3. 4 доказать, что плотности (44) я (45) нормированы.
5 Из уравкеппя (43) вывести уравяекпе Пайерлса лля плот. костя нейтронов п(г) в крятяческой области бч л(г) = ~ ехр — ) у (г+ ыз)гЬ лгг )пг ° где 1= (»' — г). Ука звяке. В крптяческом случае 1(Р) выражается через з(Р) прв помощп интегрального преобразования с ядром [т'(г') У1(г')/~' (г')~ К,,(Р, Р). Плотность п(г) также выражается через з(Р), так как Х (г) и(г) = фз(Р)ПО.
") Если й,аа сильно отличается от едкппцы, то л; либо быстро обращается в нуль, либо переполняет яакопатсль ЭВ55 Пряходптся вскусствеяпо пополнять п.ш разрежцвать пекоторые поколевав, плп пспользояать нормировку числа нейтронов. ГЛАВА 7 НЕСЛУЧАИНЫЕ ТОЧКИ В АЛГОРИТМАХ МОИТЕ-КАРЛО В этой главе рассматриваются только такие методы Монте-Карло, в которых выборочные средние используются для оценки математических ожиданий. Сюда относятся как методы вычисления интегралов, так и методы расчета величин, вырабатываемых в ходе моделирования естественных процессов: например, формула (8) гл. 5 и (ф, К1(р) ж — ~~ 9;111"), 111 5 =о или формула (1) гл, 6 1 Рл — Х (Чл)~ Я=1 (2) Для этих методов"можно указать бесконечные множества заведомо не случайных чисел, которые гарантируют сходимость соответствующих алгоритмов МоптеКарло пе по вероятности, а в обычном смысле,— если использовать эти числа вместо случайных. Такие числа часто называют квазислучадны,ни.
Очевидно, достаточно большие группы квазислучайных чисел в каком-то смысле удовлетворяют определению псевдослучайных чисел, приведенному на стр. 17. (Если проверять такие числа с помощью тестов 5 3 ~л. 1, то часто результаты оказываются слишком хорошими, например Р)0,9999). Использование таких чисел в расчетах имеет своа минусы и свои плюсы.
С одной стороны, вероятнач ошибка перестает быть характеристикой порядка ошибки, числа пригодны лишь для определенных классов НЕСЛУЧАПНЫЕ ТОЧКИ В АЛГОРИТМАХ (гл г й 1. Конструктивная размерность алгоритмов Монте-Карло Так же как в гл. 3, п. 2.4, условимся говорить, что задан метод Монте-Карло для расчета некоторой скаляпной величины а, если указана такая случайная величпт нз т), что ее математическое ожидание равно а: Мг(=а, (3) и оценкой для а служит среднее арифметическое 1 аж — ~а т)„.
г=! (4) здесь т)г,..., Т) — независимые значения т). Однако формула (4) не определяет алгоритма расчет та, так как значения одной и той же случайной всличп. иы т) можно вычислить различными способами (гл. 2). Так же как в п. 2.4 гл. 3, условимся говорить, что задан алгоритм Монте-Карло для расчета величины а, если, кроче формулы (4), задана формула т)=ф(Т ~ ° ° Т ° ° ) (3) выражающая нужную нам величину т) через независи- мые случайные чц ла. задач и должны использоваться в определенном порядке.
С другой — гарантирована сходимость вычислений, не нужны статистические тесты и, самое главное,— во многих задачах удается добиться более быстрой сходлмости: вместо17]' й(порядок ошибки оггазывается равныч 1/Фг-а (где е)0 как угодно мало). Пренебрегать таким выигрышем нельзя! Отношение специалистов к нвазпслучайным числам различное: одни считают, что только нв таком пути можно строго обосновать методы Монте-Карло; другие считиот, что такой подход тппчтожает методы Монте-Карло... (170, 130, 183]). Однако все алгоритмы, изложенные в гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
