Б.Л. ван дер Варден Математическая статистика (1960) (1186203), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Ирн этом разность межлу приближенной и точной гран шщмн стремится к нулях Для практического построения точных ловсрктельных гранин с лонер>щельнымн уровнямн >У = 0,005 и Д =- 0,025 >лобио пользоваться тоблиигми, нмс>ощнмися в книге Дунина-Бор>совского И. В, и Смирнова Н. В., Теория вероятностей н математическая сто>пс>нко в технике 1общая часть), ГИТТЛ, »1., 1955. — 11рнаь перез. д а Пр~ алима гжнийного отбора, пыборочныи мгтод 51 с ".гм, что истинный доверительный уровень приближенных доверительны.. границ с изменением й колеблется около 2)8, в то время как урогепь значимости точных границ яе превышает 28 (как правило, он бывает меньше 28).
Какими же ~ раницами следует пользоваться, точными или приближенными." Мпе представляется, что если условились считать допустимым риск ошибки, вероятность которого равна 2)8, 1о, по-впдпмому, следует примириться и с колебаниями этой вероятности около 28. Если оценивается нс одна, а несколько вероятностей, и при этом каждый раз пользуются приближенными доверптельнымп границами, то отклонения доверительных уровней вверх н вниз будут компенсировать друг друга и поэтому в среднем довсритсльныс границы будут ошибочными лишь в 2р ° 100 случаях пз ста возможных.
Прн очень малых значениях й (например, 1г< 4) для большей уверенности приближенную нижнюю доверя гельную границу следует несколько понизить. $ 8. Проблема случайного отбора. Выборочный метод !1з урны, содержащей К бслых и г черных шаров ((г + г, = гг), извлекается наугад и шаров (без возвращения). Какова вероятность того, что среди извлеченных шаров будет ровно й белых н 1 черных (й -'г1= и)? ь!нсло возможных отборов я шаров из общего количестса Л' ~х~ равно ~ ~.
Если шары хорошо перемешаны, то все эти отборы одинаково вероязны; следовательно, каждый из них имеет ве- УЖ~ роятность ) )~' ). Число возможных отборов, содержащих й бега гь~ лых н 1 черных шаров, равно ~ ~~ ~. Таким образом, искомая вероя1нс,сть равна И) И) у) и (к — )г)! й (л — ))1 х! ('' Если теперь, так жс кик в Э 5, внес|и случайную величину х значения которой совпада|от с количеством извлеченных белых шаров, то окаъезся, что х равна сумме х, +... -1 х„, где х, зависит от цвета гтго извлеченного шара, а именно, если ".'-й шар белый. то х, =.— 1, если же этот шар черный, то х; =- О.
Всроягность того, что х примет значение йп выражается формулой (1). 4а Гя. КП Вероятности и часа>ота> ба Распределение вероятностей, соответс>вую>нее (1), называют гп- пергеомеп>)>ическим распределением. Вычислим теперь реднее значение и дисперсию случайной величины х. Согласно ч 1 (пример 3), вероятность того, что х, = 1, ранна К/>Л>. Л>галогично вероятность того, что х,х. = 1, равна Х(К вЂ” 1) либо -,—, — — (если г'ф 1), либо К/й>г (если г' = >). Л'(Л' — 1) Таким образом, 11 гоФ) = «х! = у К(Х вЂ” 1) Я(х! ху) =:,,;: — (г ф1), Ото>ода следует, что ск «сох = '~' () х! = а —, бхг = «,( ~' х!) г = «л(2; х', + 2 д х! х1) = > ~! К К(К вЂ” 1) = п — + п(п — 1) —, Лг гв(гр — 1) ' сг' = —,', хг — (я х)г = — а —.
+ я(п — !) †.. — яг ' — ' К К(К вЂ” 1), >К ' Л' л (л' — 1) ! >)г ! = Л'(К вЂ” 1) + Л'(и — 1) (К вЂ” 1) — п(Л' — 1) К = пК Зве(Л' — 1) пдйу — К)(У вЂ” и) 1«бп(Л' — и) :У (.У 1) = л'(ч — 1) Таким образом, значения Тс, с которыми практически приходится иметь дело, лежат вблизи от среднего значения яК(тУ, причем отклонение гс — я —, = 2 К Х является величшюй порядка 1 11)тТл>(Л' — и) К )( Л.— 1 (В) С помо>пью ф>рмулы Стирлппга для и 1, которую мы выведем в 5 12, мож >о найти аснмптотичсскую Формулу для вероятности (!) прн о:>линна К, Ь, и н гт — и. Опуская длинные выкладки, укажем г>ишь результат'. Тсорсяу о нормальном приб.>имении лля гипсргеопетр>тесного, распрелслепия сп. в книге Гй Н, Г>ерпштейиа, Теория вероятностей, пгл, 4.
ГТТИ, М., )946. — !грим. персе. д 8. Проблена случайного отбора. Выборочный метод 1 — .,—,. ), (Х вЂ” В) (>С вЂ” 2п) ( с е' ) Следовательно, как н в и 6, вероятность того, что )г будет заключено в пределах (пК(У) . до. н (пК/лт) .'- дсг, прнблн>кон>ю равна 1 —,-..= ~ и в г)( =-2Ф(д) —,1. ~,м, о (5) Величину д по-прежнему можно выбрать таким образом, чтобы интеграл (5) принимал заданное значение 1 — 2)У (см. табл. 3).
11еравснство К' 1г — и — ~ дсг, вг (6) вероятность когорого выражается формулой (5), можно переписать так: ()ату — пК)' —, дэМх!ге нли, если воспользоваться для сг формулой (3), (ктт' — пК) з (7! — Ц Кйп(Х вЂ” и) (7) I)ример 8. (:ущность выборочного метода, ирннениеиого в статистике народонаселении и в экоиоиичсской статистике, заклкжаетси и тон, что статистическоиу обслеловаии!о подвергают лишь некоторую часть всего населения, Эта часть в тоы или ииои смысле должна ирелсы!влить нсе население (как говорит, выборка должна быть репрезентативной, т. с.
ирслставитсльной), иаирииер население больших городов, малых горолов и лоренса!, северныт и южных областей н т. л. должно встречаться в выборке ириисрио в тех же соотиошсн них, которые характерны дли всего населении страгы. Тогда часточы, вычисленные ио выборке (наврал!ер, смертность ио ркзличиыи причинам), будут инлатьса ириближсниыии зиачениини соотвстстну!ащих шстот д:!и всего населении. Какие ири зтои следует ожидать отк.!онсиив выборо !иых частот Ь от соотвстству нацих частот Н дли нссго насслсниау Если выборка из всего населении ироизислсна случайно, то эта залечи, о !енидно, илеипшна наи!сй задаче с урной.
Чистогана, о которьж шла речь, ивлаютса й Х Ь=' и Н= лт (в) Следовательно. вероятность неравенства (7) приближенно равна 1 — 2)>. Это приближение являешься равномерным в следующем смысле: лля всякого е~ О существует такое М(е), что коль скоро все математические ожидания четырех случайных величин )а, 1, К вЂ” )с и Л вЂ” 1 будут больше М, то вероятность неравенства (7) Оутст отличаться от 1 — 26 менее чем на е. Этим обстоятельством мы воспользуемся в сле)(ующем разделе.
Гл. П. Вероятности и чигтоти Среднее значение Ь равно Н, квадратичиое отклоисиие Ь дается йюр- мулой гг ! 1 )гКВ!Л' — и) ),ГН(1 — Х) Л вЂ” и ои = — =— И Х )) И(те — 1) )! И У вЂ” ! (9) Следует ожидать, что отклонения )Ь вЂ” Х! в 99ео всех случаев окажутся меньше, чем 2,58 о.>,.
Обстоятельное изложение задач, связанных с выборочным методом, можно найти в недавно появившейся кингс'. 8сЬ>иемегвг Ь„лл>тг)й)!равд Ьп с)уе та!Ьета)ъвеЬе >)а)тар>Ь, $рг>пдег-!'ет)ад, Ттееп, )956, Кар, 2,, 8 9. Сравнение двух вероятностей А. постАИОвкА 3АдАчи Еще более важной задачей, чем задача оценки отдельной вероятности (особенно в медицине и биологии), является задача сравнения двух вероятностей. Например, если хирург нспыта.! новый метод операции на ряде пациентов и прн этом частота смертельных исходов оказалась меньшс, чем прн прежнем методе операции, то свидетельствует лн это об умсньшении смертности? Или, например, найдено новое лечебное средство против некоторой болезни; раньшс из 400 пациентов умирали 40, т. е. !О",,ю а после применения нового средства из 50 пациентов умер лишь один, т.
е, 2от Свидетельствует ли это о действенности лекарства или же различие частот следует приписат! влиянии> случая? Пусть найденные частоты равны (!) тСм.также Дунин-Барковскии !!. В.и Смирнов И. В., Теория вероятностей и математическая стач истина в технике)обедая щсть), ГИТТЛ, М., !955; Х а л ь л А., Матечатичсская статистика с чехиическиии ириложеииями !исрсвол с англ.), ИЛ, М., !955.
— прим. перев. а соответствующие вероятности равны р, и р,. Предположим, что оказалось Ь, > Ь; как велика должна быть разность Ь, — Ье чтобы с достаточной уверенностью можно было утверждать, что Рл > Рл? Как мы уже видели в 9 5, случайная величина Ь, имеет среднее значение р, и квадратичное отклонение с, = )гртдт>гпи График функции распределения Ь, близок к гауссовой кривон Ошибок с дополнительной асимметрией, влияние которой хорошо аппроксимирустся дополнительными членами в формуле )!), 9 6. гтналги д 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
