Б.Л. ван дер Варден Математическая статистика (1960) (1186203), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Таким образом, для всех практических пелей можно ограничиться интервалом от — 4 до +4: вероятность того, что случайная величина (ж — сс)/е примет значение вне этого интервала, практически равна нулю. Все функции распределения, для которых плотности вероятности задаются формулой вида (5), называются функциями нормального распределения. Постоянная сс указывает абсциссу точки максимума функции 7(Г), а постоянная с — расстояние между проекциями точки максимума н точки перегиба на ось абсцисс.
Таким образом, с являетси мерой ссцшротыл кривой. Гм и Обжив основы 3 3. Среднее значение и квадратичное отклонение А. мхтемлтическоа ожидлниа Среднее значение пли математическое оэнидпние Яж случашюй величины х, принимающей лишь конечное число значений 1„, 1,, определяется как сумма этих значений, умноженных на нх ьероятности: и = ба'=аргер. Из определения ясно, что среднее значение ж заключено между наименьшим и наибольшим возможными значениями случаипой величины в. Среднее значение можно также определит.
как центр тяжести возможных значений Г„с весами р,. Если случайная величина в имеет плотность вероятности ~(1), 1о в определении среднего значения вместо суммы появляется ип1еграл: ода = ~ гг'(с) Ж. (2) В случае пронзволыюй функции распределения Е(1) интеграл (2) нужно заменить так называемым интегралом Стнльтьеса о~ ~ г (Е(() (3) Обгцее понятие интеграла Стильтьеса нам в дальнейшем пе понадобится, так как мы вполне обойдемся специальными случаями (1) и (2); поэтому, точности ради, укажем лишь определение интеграла (3) по Фреше: (;х =1пп .~', И [Е(И + Ь) — Е(ЬЬ)).
оа= —- (4) Среднее значение является специальным случаем интеграла Лебега. Л именно, если Ен представляет собой событие И~ ~ее ~ (Ь -1 1) Ь, то интеграл Лебега от а в области В по мере Р(А) определяется так: в Р(с(Е) =- Вп1 ~~' И р(ВЕв), (5) а-чь-- и Вслн, в частности, положить Е == Е, то (5) перейдет в (4). В теории интеграла Лсбега доказывается, что сумма ж 1 и двух измеримых функций ш и вг также измерима и что нн|еграл у 3, Среонее она«ение и нвоораоии«ное от«вонение этой суммы по л!обому измеримому множеству В равен сумме интегралов слагаемых: ~ (ж + у) Р(сгу) = ~ ж Р(«И) + ~ у РФВ). Прн этом предполагается, что оба интеграла в правой части равенства конечны. Доказательство можно найти в кинге С.
Оагаг)геологу, «Ъог1еяппяеп йЬег гее11е )тппк$1опеп», или в новой книге того же ав;ора «Л1вй пЫ 1пгеуга1». Если, в частности, выбрать В = В, то из последнего равенства будет следовать, что среднее значение суммы равно сумме средних значений слагаемых, если эти средние значения конечны: С(ж —.у) =Снж+ Сну (6) и аналогично для произвольного числа слагаемых с (жг +... -, 'ж„) = Я ж, +... + 5 х„. Если с — постоянная, то очевидно, что Йсж) = с «о ж. (8) Для краткости мы иногда будем обозначать г, ж = ж.
Б. и!!ЗАВИСИМЫЕ СЛУЧЛЙНЫЕ ВЕЛ»!ЧИПЫ Пара или более случайных величин ж, у,, нязывакмся независимыми, если для любых действительных чисел», а,... события ж <1, у са,... явля!отса независимыми. Из независимости событий ж <», у < а,... следует, что события а~ж сЬ, с у <И,... также будут независнмымн и поэтому, если речь ндст, например, о двух независимых величинах х и у, справедливо равенсгво р(а=-ж <Ь, с у<И) =Р(а=-ж <Ь)Р(с»ау <11).
В этом случае среднее значение произведения равно произведению средних значений; Рж гу) г ж . ~ у (9) и аналогично для произвольного числа независимых случайных величин ,с„(ж,ж» ж„) =ж,же..,жн. (10) Доказательство см., например, в книге Л. Ей )»олх!егорова «Основные понятия теории вероягностей», стр. 69, формула (6).
Гл. д Общие осмоем В квадеатичное Отклонение и дисперсия Квадрапшчкое отклонение о. = о случайной величины х определяется как положительный квадратный корень из дисперсии о'2 = Я(ж — ж)' = Я(Х' — 2ж ж + Ха). (11) Вычисляя правую часть (11) по формулам (7) и (8), получим о' = Я(Х2) — 2жа + ж' = Я(ж') — (Я Х)' Если с — постоянная, то очевидно, что (!8) сто = С ст„. Для дисперсии суммы имеет место равенство т*+т = Я(ж — ж + у — у)' = = Я(ж — ж)'+ 2Я[(ж — х) (у — у)] +,;(у — у)2.
Если ж и у независимы, то средний член обращается в нуль: Я [(ж — х) (у — уЦ = Я(ж — ж) Я(у — у) = О, и мы получаем стя — ств ! х2 (!4) а+т х т. Эта формула справедлива и для разност и двух независимых случайных величин: ~та = оа .!-, ., ! оа. (15) Для вычисления средних значений и дисперсий полезна следующая формула, являющаяся обоб1цением формулы (2): Я й(х) = ~ й(1) 7(!) й. (18) В 5 4 мы рассмотрим дальнейшее обобщение этой формулы п дадим ее доказательство. Теперь же мы рассмотрим пример применения этой формулы.
Пример 4. Слзчайная величина а имеет гауссову плотность вероятно- сти УМ = —,е 1 1 )'й оя =ов+оа. .ч-т м В случае произвольного количества попарно независимых величин дисперсия суммы ж = ж, +... —, ж„равна сумме дисперсий слагаемых д 3. Среднее знамение и квадратичное оп<к!знание 27 Каковы среднее значение и среднее значение равно квадратичное отклонение му Согласно (2), 1 1 Г <и= — ге ' дг=о. )<2н Й = ~ г/(!) Лнсперсия оа равна среднему значению случайной величины (т — 0)в = ха. Гслн мы положим д(С) =- И и прил<еним формулу (16), то получим 1 1 ! — — !' о' =Я(ха) = ~ !ау(!) д! = — ! И е В <и. )< я! Интегрируя по частяч, найдем )(2 яг )<2 и следовательно,т = 1. В общем случае 1 В- 1 у(!) = — е в о)<2я Поступая так жс.
как и раньше, найдем, что <К м == а н гг —. г. Поэтому впредь мы всегда будем вместо о писать о"! 1 <! — аи 1 1(!) = — —. е о )2н Г. НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЕВА Для вычисления <д(ш — ш)з, согласно определению (1), нужно возможные значения случайной велнчниы у = (ж — ж)а умножить на соответству<ощпе вероятности и произведения сложить. Возможные значения распадаются на дее группы. К пер- Практическое значение квадратичного отклонения о заключается в том, что отклонения случайной величины ш от ее среднего значения ш, намного превьппающие квадратичное отклонение о., являются маловероятными.
Точный смысл этого утверждения формулируется с помощью неравенства Чебышева: Если д — произвольное положительное де<(ствиглельное число, то вероятность события (<и — к~ = до л<еныие, чел! д -. Доказательство весьма просто и основано на определении математического ожидания величины (ш — ш)з <га = ЯШ вЂ” Ш)з. Гл. д Обисие оенови вой группе принадлежат значения =; двое и ко второй — значения > део-'.
В соотвстствпн с этим сумма произведений разобьется на две частичные суммы. первая пз которых неотршсатсльна, так как неотрпсшгельпы все ее слагаемые. Вторая частичная сумма больше нроизгеденпя десгеР, где Р— вероятность ссбьпия (ж — ш)е > досгв. Предполагаезся, ио Р не равно пули (если Р =- О. то все становится тривиальным). Таким образом, для всей суммы получаем неравенство о'В > десгв Р, откуда следует утверждение: Р< в Точно так же проводится доказательство и для случая, когда математическое ожидание определяется интегралом (3), Пусть Р(г) — функция распределения случайной величины у.
1(птеграл '-' = сй гу = ) ( йР(В распадается на сумму двух инчегралов, из которых первый берется по области г- д'сг'-', а второп — по области г> десг', Первое слагаемс;е эчой суммы неотрицательно, а второе > дег'Р, Таким образом, .' > д'о-'Р и, следовательно, Р < д — -'.
В болыпинстве случаев Рероятпость Роказывастся значительно меньше, чем д -'. Например, для нормального распределения вероятность собьпия (ж — а)> Зсг равна 0,0027, т. е. она много меньше, чем '/в. Частным случаем псраненсчва Чебышева для случая сг = В является следугопсее утверждение: Если квадратичное отклонение равно нулю, то веролосность того, косо ж будет отличаться от постоянного значения ж, также равна нуло. 4 4.
Интегральные представления средним значений и вероятностей А. пРямОуГОльники и оз кРытые гчножестэь Под прнмоугольникогя в плоскости иОю мы понимаем множес ~во точек, координаты которых удовлетворягот неравенствам а ев и < Ь, с == в < д. д(~обое оз крытое множес|но Э1 и плоскости иОг представимо в виде суммы счетного числа таких прямоугольников, Л именно если эту плоскость разбить на прямоугольники с помопсыо верти- д й Люнееральные аредннаеленан среднан значений и верон~снастей 29 кальных н горизонтальных равноотстоягцих прямых н выделить те прямоугольники, которые целиком принадлежат множеству М, затем каждый нз оставншхся .пьннков такими же нрямымн разбить на четыре равных прямоугольника и сновавыделить прямоугольники, целиком прннадлежашие М и т. д., то каждая точка множества М в конце концов окажется в каком-либо из црнмоугольников Лн т, е, М=Л,+Ле- .....
(.слн ж ц у случайные величины, то и-ш < Ь н с-у < г( события, следовательно, одновременное выполнение этих неравенств также является событием. Наступление этого события происходит тогда н только зогда„когда точка Х с координатами х, у принадлежит прямоугольнику Л(а=-и ( Ь, с~ с < а). Это справедливо для любого прямоугольника, поэтому нринадле>кность Х множеству М =- Л, + Ле —, ... также является событием, Прн этом предполагается, что множество собьггнй расширено таким образом, что бесконечная сумма событии:1„— ' Ае +... также есть событие Ц 1Ж).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
