Б.Л. ван дер Варден Математическая статистика (1960) (1186203), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Сме!пь первого пациента является событием Л,, смерть второго — событием Ла и г. д. до Л„. Предполагается, ч>о !. Все опьпы Ж= Л, Аа Ю= Аа+ Аа ° ' .Е= -'!л+ Ап независимы, 2. Все вероятное>и !>(А,), Р(А,),..., Р(А„) имеютодно кто же значение р.
.Может показаться, по в приложениях к конкретным практическим задачам условие 2 выполняется редко. Пациенты данного хирурга имеют неодинаковую консти>унию: у одних сердце лучше, у других хуже; бо.а~шое значение име1от возраст и пол н т, д. Однако все это пе мешает применимости теории, поскольку еыбор >щцнснтоп пе сне>сма>нчсский, а случайный.
Если наш лнрург нрпннм»ет пацисн>ов независимо друг от друга н в том порядке, в каком они к нему поступают, то условие 2 можно счн~ать выполненным. Прн этом не исключается, конечно, опрсделен- за /'л. 11. Веромнноыаи и чаыаоты пый отбор для выявления тех пациентов, козорым операция це нужна или для которых опа слишком опасна, Недопустим лишь такой порядок операций, когда, например, сначала опсрируют только муж пш, а затем — только женщин; мужчииы и женщины должны следовать друг за другом в случайном порядке.
Если Р(Ж) — вероятность того, что па операциоппоМ сголе паходится женщина, и Р(С~Ж) — — вероятность смсрзи женщины, а Р(М) и Р(С1М) — соответствующие вероятности для мужчин, то по формуле полной вероятности (~ 1) вероятность смерти случайно выбрашюго пациента равна Р(С) = — Р(ж) Р(С1,1)1') 1 Р(М) Р(С1М). (1) Таким образом, вероятность Р(С) остаезся постоянной, и поэтому условие 2 выполняется даже в том случае, когда условные вероятности смерти мужчин и женщин различны.
Это заключение остается также справедливым, если пацисптов классифицируют вместо пола по какому-нибудь другому признаку, и вероятпосзи смерти для различных классов различны. При фармакологических опытах, в которых подопытных животных подвергают действию определенного яда или какого- либо другого вещества, стремятся к тому, чтобы все животные находились в наиболее сходных условиях. Поэтому дозы вещества выбирают не равными, а пропорциональными весу животных.
Однако для применимости общей теории это не является пеобходимым, так как если животные выбираются случашю и независимо (без учета их веса), то можно спокойно подвергать их воздействию одинаковых доз и, несмотря на это, считать, что вероятность реагирования одинакова для нссх животпых.
Обосновать это можно точно так же, как в разобранном вьппе случае пациентов мужского и женского пола. Кроме того, следует отметить, что индивидуальное различие подопытных живо~ пых по их чувсзвительпости к яду столь значительнее различия в весе, что последним без колебаний можно препебречь.
В теории вероятностей обычно полагают Р(А) =р и Р(А) = д (р+ 2=1). Вероя~нос~ь того, что в послсдоватслык с~и из п опытов й раз произойдет событие А и оставшиеся 1 раз — событие А, согласно Бернулли. равна )т а = ~Ь) Р Ч =' ~,1Ч Р д' (1 =- я — к). (2) Д о к а з а т е л ь с т в о. Вероятность того, что в й опрсделеппых случаях наступит событие А, а в остальных случаях --- собы- и Ьинплеииленпе риенледеление тне е4, равна редс. Количество различных комбинаций по сс слуСп ! чаев нз общего числа и равно ~„). Следовательно, вероятность того, гто в каких-либо й случаях насгупит событие А, а в остальСп1 ных — событие Л, равна ( )рейс (с) в снеднее знл'!ение и квАДРАтичнОГ ОтклонРние нсслх нлстт нлейнп согытня Вслн для каждого г определить случайную величину хс, принимающую значения + ! нли О, смотря по тому, осуществляется ли прн г-м опыте событие А; или нет, то сумма х=х,:, хе+...
+хп бу;гст случайной нелнчшюй, приннмаюшсй значение к, если событие Л наступит к раз. Величины х, независимы, так как опьпы Е= Л; -', А, предполагаются независимыми. Среднее значение величины х, равно 5 хс =- р 1 -с- д О = р. егналогнчно, средним значением величины хс яелясгся ,,*;=р )+ д О =р. Следователыю, дисперсия величины х, равна ,"- =- сс' х', — (6 ',)е = р — ре = р (! — р) = ра. Среднее значение н дисперсия величины х = х, +... + х„равны ,',х =яр, (3) о'е = 4 +... т сгпи = пру, Поэтому квадратичное отклонение величины х имеет внд (4) о.
= )спрд, и, ЗАКОН НОЛЬШИХ ЧИСЕЛ Согласно неравенсгву Чебышева, вероятность того, гго случайная величина х — пр примет значения, по абсолютной величине намного превышающие о., чрезвычайно маля. События, ссмеюисгсе очень лсаленькую верояпгность, следует расслсатривать как понти невозможные; лри однократной реалссзацгссс условий, для кгсторьсх зти собыпгия теоретически возможньс, не.гьзя рассчитьсвать на их осуществление. На этом пригшнпе основано вообще Гл, 11, Вероятности и час~носок 38 каждое практическое применение теории вероямюстсй.
Поэ1ому те зпачеиия й — пр, с которыми практически приходится считаться, являются величинами порядка це выше ~ярд. Множитель в можно отбросить и говорить: Ь вЂ” яр практически являетея величиной порядка гпр. Преимущество последней формулировки особепио обнаруживается тогда, когда речь идет о редком событии и, следовательно, р близка к О, а д — к 1. Час~ага положительных исходов или частота цаступлеиия события А определяется отношением числа Ь к числу хс Ь= —. х Если теперь мы построим случайную величину й= — „, х значения которой равны Ь = — Ь/и, то, согласно ~3) и (4), мазематическое ожидание и квадратичиое отклонение Й будут даваться формулами ЯЬ = р, оь —— ~/~я~ Постоянное подчеркивание различия между случайпой величицой й и теми значениями Ь, которые эта вели чина может припимать, делает язык изложения излишне утомительиым и поэтому в дальнейшем от него следует отказаться.
Мы будем просто говорить о частоте Ь, молчаливо подразумевая при этом, что эта частота зависит от случая и, следовательно, обладает средпим зпачепием и квадратичным отклонением. Точно так же станем мы поступать и во всех подобных случаях. Буквы жирного шрифта будут встречаться в тексте все реже и реже и лишь там, где возникнет принципиальная иеобходимость вспомнить общие основы из гл. 1. Средпее значение Ь равно р. Следовательно, значения ~Ь вЂ” рп с которыми приходится встречаться при практических расчетах, являются величинами порядка ие ниже, чем Так как О ( рдтт/, то можно также сказатск лрактинески ! Ь вЂ” р~ является величиной порядка не ниже, чем и — и, Смысл этого утверждения заключается в следующем; те зпачепия ~Ь вЂ” р~, которые велики сравнительно с п-ч, имеют все вместе лишь исчезающе малую вероятность.
Если количество опытов и возрасзает, то я — Ч стремится к пулю. Таким образом, частота все более и более приближается к ,~ 6. Отклонение частое!и Д ои! вероятности р 39 значению вероятности р. 11а этом законе больишх чисел основана принципиальная возможность статистического истолкования теории вероятностей. $6. Как велико может быть отклонение частоты И от вероятности рр А. привлижение виномнлльного Распределения НОРМАЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ Муапр и Лаплас исследовали биномиальное распределение прп болыпих значениях п и аппроксимировали его некоторым значительно более удобным непрерывным распределением. Этн результаты хорошо известны, и поэтому мы ограничимся здесь лишь нх кратким изложением'.
Сначала введем приближенное выражение вероятности И"„для больших нр и нд, а именно И'„=е а ' 1+-(р — д) - — (р — д) —, (1) гг» ага~ ' где г = й — пр. При выводе этой формулы предполагается, что а являются величинами порядка о =)~прц. Однако формулу (1) можно применять, пс задумываясь, и тогда, когда г велики по сравнению с о., так как в этом случае правая и левая части (1) исчезающе малы'. Рис. 3 показывает, насколько хорошим является приближение (1) даже при не очень больших и, Здесь для и = 8, Р = (7 = дега точные значениЯ И' изобРажены высотами пРЯмоугольников, а приближенные значения — ординатамн непрерывной кривой. Так как и этом случае р — д = О, то непрерывная кривая является гауссовой кривой ошибок; если р — д~ (), !о влияние дополнительного множителя в (1) сделает соответствующую кривую асимметричной.
В пределе при н эта аснммет рия исчезает. Из приближенной формулы (1) следует, что функция распределения случайной величины х может быть достаточно хорошо ' Вывоз этих результатов, основан!!ый на формуле Етирлинга ан и! = пн е а )(2нн (! -г- —" ° ) (О ( бл ( !), 12п ! можно найти н учебниках по теории вероятностей, нз которых особо~о предпочтения заслуживает учебник: М а р к о а Л. А., Исчисление нероятностей, 4-е нзд., ГИЗ, 1924. ' Можно показать, что (!) остается справсллпвон, если аа/а. О при и — ~ а . Если это условие не соблюдается, Формулу (1) можно видоизменить так, чтобы и относительная погрешность приближения ио-прсжнел!у была бы мала при больших и (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
