Б.Л. ван дер Варден Математическая статистика (1960) (1186203), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Гл. тд Вероятности и настооии 46 значении р приближенно равна 1 — 2Р. Иными словами (при 2(3 = = 0,01), утверждая, что точка (д .е находится вис эллипса, мы в среднем ошибемся лишь в одном случае из ста. На практике обычно Р исизвеслио, а Ь известно, Прямая с уравнением Ь = совз1 пересекает эллипс в двух точках, ордииалы которых можно найти, решая квадратпсе уравнение (Ь вЂ” Р) = „Р(1 — Р) (3) 1(' Ьп 0- -. дс — д Ь(1 — Ь) и+ — до 4 Р| и+ до (Гц, „+ З ~ 4 в+ до Вычисления по этим формулам доволык> утсмительны. Более практичен следующий графический прием.
Если в (3) положить Ь вЂ” Р— — '- - .г, д (н (й) Отрезок, сседипяюший эти точки, расположен внутри эллипса. Следовательно, если высказывается утверждение, что пепзвестиая вероятность Р заключена между двумя корпями Р, и р, квадратного уравнения (3). то вероятпость сшибки равна 2Р, так как эзо утверждение эквивалентно утверждению: (д ие находится вие эллипса. Это нс означает, что в каждом отдельном случае при задаппых Ь и п можно утверждать с вероятностью 0,99, чло р лежит между р, и р,. В любом пз этих случаев р имеет определенное, хотя и неизвестное значение, и высказывание: р, = .Р~Р, — либо справедливо, либо ложно.
Если оно справедливо, ло ему с: пл еетствуст вероятиосгь 1, а если ложно, то — О. Однако если имев;ся несколько последовательностей наблюдепий, то, вычислив для каждой последовательности зиачепия Р, и р,, статистик может утверждать, что в любом случае р, траур,. При этом он ошибется лишь в одном случае из ста. Следуел подчеркнутго что нельзя производить отбор опытов с целью получения какой-то определсипой часгсмы: частоты Ь должны быть ~акими, какими оии получаются по воле случая. Решая квадратное уравнение (3), получим зпачеиия доверилельвых границ, между которыми предположительно заключепо истшпюе зпачспие Р: д т. Доверительные гранины длл неиавеетнаа веролтнпети ат то уравнение эллипса (3) перейдет в уравнение окруж>юсти хв = р(! — р).
(6) Если Ь извес>по, то в плоское>п хОр уравнение (5) задав~ прямую, пересекак>щую окружность (6). Эта прямая проходит через точку с координатами (О, Ь) и имеет угловой коэффициент — д1!>'и. Окружность (6) (диаметром около 1О см) можно заранее начертить на миллиметровой бумаге. Затем па оси Ор (рис. 6) следует отло- Р н с. В. Графическое построеннс аоаернтельных гранин. Р и с. ?. Вспомогательный чер- теж.
жить >очку В с координатами (О, Ь): через эту точку должна проходить прямая (5). 11аправлеиис этой прямои можно опргделить с помощью вспомогательного чертежа (рис. 7) в плоскости ХОе'> па осях координат откладывают отрсзки длины )1п и д нли, если желают иметь большук> точность, отрезки ОЛ = 2 1г> и ОВ = 2д. г)аправлепие ЛВ совпадает с направлеиием искомой прямой. Величину )ги можно найти пли по таблице квадратных корней или графически (если и ис очень велико); для этого па оси Ог в стрицатсльном направлении откладывается отрезок ОС .= = 2 см, а в положительном исправлении — отрезок О>е> = =.
(и — 1) гл>. Из точки М, как из псптра, проводят окружное>гн про: одящую через точку С. Эта о>.ружпссть пересечет ось ОХ в точке Л. Диаметр окружное>п равен 2МС =- 2 (и — '- 1) гм, поэтому (ОЛ)а = ОС (2г1тС вЂ” ОС) = 4п. Если тсперь через точку Н пронести прямук>, пнраллсльну>о ЛВ (см. рис, 6), то эта прямая псргсе >ст пашу перву>о окруж>>ос>ь в двух точках, ординаты которых равны р, и ре, 1.1спссрсдствеипо отеч>мьпьая эти ордипаты по миллиметровой б1магс, мы найдем искомые доверительные границы, Если всспользораться лишь верхней (илп лишь Гл. ГД Вероятности и частоты пижпсй) доверитслыюй ~ раиицей, то дьверительпый уровень будет равен Г). Указанные здесь приближенные формулы стаиовятси псиадеж~ыми, когда одно нз математических ожиданий пр пли тгд мало.
Поэтому формулы (4) или зквиаалептное им геометрическое построение я советую примепять лишь тогда, когда оба резул ьтаз а па блюдеаий Л = Лп и п — Л =. (1 — Л)п по вели пше пе менее четырех единиц. Прил<ер 7. С 1948 по 1952 г. в хирургической клииикс Цюрихского университета было произведено 79 легочных операций с целью ликвидации расширения бронхов. Из 79 оперцроваииьх пациентов в течение послеоперационной иелсли умерли трое'.
Следовательно, наблюденная смертность равна 3 й ' 100 = — ' 100 = 3,8 ос. 79 По формулаи (4) или посредством ноиструкцпи, указанной иа рис. (т, иайдсы следующие 5',о-пые грапппы' для истпппой смертности (и оч); рт = 1 38ч, р = 10,5оо. Так как каблюлсниое количество смертельных исходов мсиьшс чсты(ч х, то, осторожности ради, следует несколько расширить иптервал между .ювсрительтыми границами и сделать заключение: истинная смертность, по.видимому, более 1 ого и менее 1!ой.
Из этого примера ввдио, сколь пала точпость определения иероятиости по уисреипому чисоу поил|олго ил. и, точпос решение злдтчи Только что указанное приближенное решение задачи отыска~я1я доверительных границ было основано на замене точного бииомиального распределения (2) из 9 5 некоторым непрерывным распределением (() из 9 6. Как показывает рис. 4, ацпроксимирукпцая кривая иногда расположена нии(е, а шкжда выше точной ст упецчатой линии. Вследпгис этого точное значение доверительного уровпя для п(ибли'кгцных доверительиых границ в зависимости от истинного значения иероятпостиа )7 иногда оказывается несколько болипе, а ицогда несколько мепьшс, чем 28.
тм е я пт а и и 1'., ту(о орегат(ъе Всьаиб1иии г1сг ВтоисЬск(аюои, 11(вз. оигтсь, 1955, /цвмпгпси(вааигд. Я. 39. ' 59о-иой границей иазыпоется такая довсрительиая грац яка. которой соответствует даверитсльиый уровспь 0.05. — Прим. перев. ' В заметке и а и г1 и г 11 пег ~!си В. 1., цсгзгаисигпспхси гиг ци(юйаиите 1Чаьтвсьеигцсьиегеси, 8(ьхнггявьсг. аасЬз. Лйаб. 1уим., 91 (1939), 913, имеется график лоисритгльпого уроипя как функции и, для прелельиого случая редких событии. нч 7. Доверитеянние гранина дяя неновое~инеи вероятности 49 д (р) ..
( )рягн — я (7) Если р не слишком близка к 0 или к 1, то )))г„с ростом й" сначала монотонно возрастает, в некоторой точке )е, близкой к пр, она принимает наибольшее значение и затем монотонно убывает (см, рнс. 3). Сумма всех ген равна едиш!це: н ~ г)г„(р) = 1. о (8) Односторонняя доверительная граница сдоверительным уровнем т)о определяешься следующим образом. Пусть К вЂ” целое !нсло (Π— К < п) Образуем из (8) частичную сумму от 0 до К: 8»()г) 2 ))(гн(Р).
о 8»(р) равна вероятности того, что е! примет какое-либо нз значенй!1 от 0 до К. Если 8» продифференцнровать по р и затем привести подобные члены, то мы получим следующую отрицательную функцию: к и к-г Ь'! (и — Ь" — 1)! (1О) Понузно заме!им, !то из (10) слсдус! интересное интегральное представление Кк(р) в виде внсполной бета-функциик 1 и! 8 ()г) (»к (1 . ) -к-г ггл Л К! (и — К вЂ” 1)! р 1-ф и! — — — — (1 — р)ку "-'-' Ф. К! (а — 11 — 1)! о Однако теперь мы воспользуемся лишь тем обстоятельством, что, в силу (10).
Ь» является непрерывной убыла!ошей функцией ' 01о р рог 0. д. аад 1'о а гв оп В. 3., В1опгеьгз)еа, 29 (1934), 404. 4 Б. л. ееп яер вагягн - !оо" Однако, следуя Клопперу и Е. Пирсону', можно указать ~акис доверительные границы, для которых доверительный уровень ~ 2)о, причем вероятность выхода за каждую из обеих доверительных границ не превышает )г. Рассмотрим точную формулу биномиальных вероятностей об Вл. 11. Вероятности и частоты от р, которая при р = О принимает значение 1, а при р =- 1 — значение О. Отсюда следует, ч гс> о» один и только один раз принимает любое промежуточнос значение. Следовательно, для каждого К с и можно определить р, так, чтобы прп р = р» функция Я»(р) принимала значение Р: 8»(Р») = Ф.
Клоппер и Ппрсоп сформулировали следуюшсе правило: Если в некотором эксггерилгенте получена частота м>>п, тор„следует принять в качестве верхней доверительной границы, т. е. Отбросить все те значения р, которые болыие, чем рао В этом случае можно утверждать, по вероятность ошибочно отброситз истинное значение р меныие Д. До к а за те л ь с т во. Бели не~нинов р отброшено, то это значит, что р > р„.
Так как 8„является убываюшсй функцией р, то Отс>ода следует, что 8а(Р) с 8а(ра) = Ф. Пусть К вЂ” панбольшее пз тех значений индексов г, для которых Ю,(р) <,В, тогда й - К, т. е. Й совпадает с одним из значений О, 1,..., К. Но вероятность того, что й примет одно из значений от О до К, в точности равна 8»(р) и, следовательно, онз меньше Р, что и требовалось доказать, Таким образом, для )с( п верхняя доверительная гранина р„совпадает с решением уравнения ~'о(р) + ~' (р) + ..
+ 1(га(р) = Р. Лналогично если м) О, то соответствующая нижняя доверительная граница является решением уравнения )Рл(Р) †, И'а+ (Р) + л И'.(Р) Р Прн (с = О ним<нсй доверительной границей является, копеч>ю, нуль и точно так же при й = п верхней доверительной границей является единица. Точные доверительные границы, определенные по Клопперу н Пирсону, значительно шире, чем приближенные границы р, н р,, описанные выше в разделе Б этого параграфа'. Это связано х Если и оо, то можно показать, что отношение длин приближенного и точного доверительных интервалов стремится к ехнн иве, слеловатольно, зти интервалы асими >отн >вски эквнпалснтны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
