Б.Л. ван дер Варден Математическая статистика (1960) (1186203), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Вслн принадлежность точки Х мнонгес~ву М в плоскости иОс является событием и поэзому имеет вероятность, то множесгво М называется измеримым, а вероятность события, соответствующего множеству М, называется мерой э~ого множества. В силу аксиом теории вероятностей эта мера обладает обычными свойствами вполне аддитивных мер, Согласно вышесказанному, каждое открытое множество измеримо. Отсюда следует, что любое замкнутое множество также измеримо, так как его дополнение открыто. Пусть ж н у — случайные величины и нусть д[и.
с) — ~спрерывная функция действительных переменных и н с. Тогда д(ж,гг) снова является случайной величиной Для доказательства этого нужно лишь показать, что прн любом действнзсльном е д(ш,у) < г непременно является событием. После всего сказанного выше это очевидно, так как, в силу непрерывности функции д, множество тех точек (и, с), для которых снраведлнво неравенство д(и, и) ( г, является открытым множеством Легко доказать, что то жс самое остается в силе, если функция д(и, с) кусочно- непрерывна; функция д(и, с) называется кусочно-непрерывной. если плоскость Ж можно разбн ~ ь на сумму конечного числа измеримых множеств М, +. + М„, на каждом из которых д(и, и) непрерывна. Впрочем, далее будут упозрсоляться лишь простейшие случаи этой теоремы, в которых функция д(и. с) нли кусочно постоянна, нли на каком-лнбо множестве М, непрерывна, а на дополнении Š— М, равна нулю. Гл.
д Общие основы Б. ДВУМЕРНЫЕ ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ Говорят, что пара случайных величин (х,гг) обладает плотностью верояпгнос>пи Т(и, о), если для любых действительных а < Ь и с < д вероятность события а=-х < Ъ и с-гу <Ы равна интегралу функции Т(и, о) но прямоугольнику а«и <Ь, с~ о <й в плоскости иОо ь в р(а - х < Ь, с — и < й) = ~ )! Т(и, о) йи а>о а с Интеграл в правой части должен быть обычным рнмаповым интегралом; предполагается, что функция ~(и, о) интегрирусма по Риману.
Теперь мы можем распространить формулу ((б) из $ 3 на функции двух переменных: Т е о р е м а Е Если пара случайных величин (х,у) обладает плотноспгью вероятности Г(и, с), а функция д(и, о) интегрируел!а по Риману, >по С, д(х, у) = ~ ~ д(и, о) ~(и, о) йи до с д,(х, г!) = Д д,(и, о) Т(и, о) йи до, ~'„дг(х, гг) = ~~ д,(и, о) ~(и, о)йи Ыо. (2) Левая часть (2) предо~валяет собой сумму возможных зна >еннй д>(х, у), умноженных на соответсгвующие вероятности, а правая часть — — сумму интегралов по частичным квадратам, Если в причем предполагается, что (риманов) интеграл справа сходится. г>налогичное утверждение справедливо для произвольного количества случайных величин х, у,.... До каза тел ьств о. Сначала в плоскости и(>о рассмот-, рим большой квадрат — и *- и < и, — и ~ о < и и предположим, что функция д(и, о) вне этого квадрата равна нулю. Иащ квадрат можно разбить на т' одинаковых частей, являющихся также квадратами, Если теперь па каждом частичном квадрате заменить функцию д(и, о) ее верхней и нижней гранями; то получатся кусочно-постоянные нижняя функция д,(и, о) и верхняя функция д,(и, о), Для случайных величин д,(х, гг) и д,(х,у), принимающих лишь конечное число значений, справедливость формулы (!) очевидна: д 4.
Иня<ееральнь<е оредс<аавления средних эначении и вероятностей Зг каждом таком интеграле вынести постоянный множитель д,(и, Р) за знак интеграла, то справа получим ту же сумму, что н слева. Доказательстьс справедливости формулы (3) будет аналоги шым. Для произвольной пары значений я, д случайных величии ж, гг имеем, очевид<ю, д<(х, у) а д(л, д) ° дг(л, д), откуда следует с", д,(х, и) ~ с", д(ж, гг) — сз дг(х, гг). Если теперь стороны частичных квадратов устремить к нулю, то правые части (2) и (3), между которыми заключено Я д(м, и), будут стремиться к правой части (1).
Отсюда следует справедлив<.сть формулы (1) для видоизмененных функций д<"!(и, Р), приннмакнцих нулевое значение вне большого квадрата. Теперь остается совершить предельный переход при и- который просто осуществляется применением теоремы из лебегоной теории интегрирования. Согласно этой теореме, интеграл по сумме множеств Л, + Лг+... равен сумме интегралов по А„А,,....
В нашем случае Л, является событием, которое наступает, если точка (м, и) попадает в квадрат — ! ~ и < 1, — 1 =- р < 1. Аналогично, наступление события А, -<- Аг связанс с попаданием этой точки в квадрат — 2 — и < 2, — - 2 — Р < 2 н т.
д. Интеграл Лсбега от случайной величины д(<в, гг) по множеству А, + А, +... + А„, согласно доказанному, равен интегралу Римана от произведения д(и, а) ~(и, в) по квадрату — и~ и < и, — и~ а < я. О~сюда непосредственным предельным переходом при и — получаем формулу (!). В. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПОСРЕДСТВОМ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Важнейшее применение теоремы Т закан<чается в следу<ощем.
1!усть 0 — произвольное открьпое множество в плоскости иОР н пусть Х вЂ” случайная точка с координатами (ж, гг). Спрашивается, какова вероятность события «Х принадлежит 0»У Для тото чтобы осуществить возможность применения теоремы Т, л<ь< введем функцию 1, если (и, а) принадлежит ге, д(и, а) = 1 О, если (и, Р) не принадлежит <г. Среднее значение случайной величины д(х, у) равно вероятности того, что Х принадлежит б, Формула (!) в этом случае получает вид Р(ХЕ <г) =~ 1(и, о) <<и <1Р. Гл.
д Общие оснюеи Результат может быть без труда обобщен для произвольного количества случайных величин: Т с о р е м а и. Если совокупность слу«ссссньст величин а', ту,... обладаепс плотностью вероятноссшс С(т, д....), спо вероятность попадания случайной точки Х с коордсснапсалссс и, ту,... в произвольную область 6 равна сснтегралу от сйункцисс с' по этой областпи: Р(Х е су) = ~ ((и, о....) сси дв ..
(д) а Г. ФУНКЦНЯ РАСПРЕДЕЛЕННЯ СУММЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИ 1ИН Применим теорему П к решсписо следующей задачи; Две независимые случайные величины ж н су имеют плотности вероят- НОСТИ С(и) И д(О), КаКОВа ФУНКЦИЯ РаСПРЕДЕЛЕНИЯ СУММЫ 1И ч УУ В силу независимости ж и ту, вероятность того, что т лежит в пределах и н Ь, а ту — в пределах с и д, равна произведенисо ь в ьв ~~(и) ди~ д(о) до =-~ ~ ~(и) д(о) дис(ц Следовательпо, пара случайных величин (ж, ту) имеет плотность вероятности ~(и, о) = 1(и) д(о). Значение функции распределения Н(~) случайной величины Х -~- У В ТОЧКЕ с Ращса ВЕРОЯтНОСтИ ТОГО, Чта ж + тУ ( С: Н(с).
р(м -,-ту (с), (!о теореме 11 зта вероятность равна двойному нигсгралу Н(С) = ~~ Г(и) д(о) да с(ц и+еиС Этос интеграл можно записать в виде повторного интеграла; С вЂ” и П(с) =- ~ Йи~1~(и) д(в) дв Если во внутреннем испеграле ввести новую переменнусо интегрированна и = и + в, то получим + с Н(С) = ~ с(и~1(и1 д(и — и) дссь й 4.
Иищегрольные лредстпвленил средни.г значений и веррлличос!пей ЗЗ Мепяя порядок иптегрироваиия (для неотрицательных функций такая замена всегда возможна), найдем Н(1) -.= ~ Юм!~ '1(и) д(гв — и) Ни. (6) Эта функция распределепия обладает плотностью вероят- ности Я(1) = ~ 7(т!) д(1 — и) с!и (7) Прил!ер 5. Случайные величииы !е и у иезависимы и подчипяются иормальиым распрсдслеииям. Какова функция распределения суммы л+ уу Пусть плотности вероятиосы! л и у имеют ви,! 1 /(!) . е я ' ч 18) гг )г2я 1 т!' — ьр Е(!).- ..
е е( 19] т )'2л Вез ограничения общности можио предполагать, что о = — Ь =: О, так как заиеиой а! и у иа л — и и у — Ь соотвстствеиио вы всегда можем прийти к этому случаю. По теореме П1 суитю " .-- а -!- у пиест плотность всроятпос1и Ь(!) +(и) В(! — и) ди =- ) с 2 ло-т 1 1 à — — !. - — э!!+и! 2лот ~ 110) глс 'у = те 1 1 и= — + — „, 13= —, 02 те' тт' Вводя новую псрсмеииую иитегрироваиия Р е =и— получим ! 2 по-т ~ ! з дс, Ь(!) =- (121 г л, ван дер верлен - !Оат Такам образом, имеет место Т ео р е ма 1П. 77 готность вероятноспги суммы независилгые случайныя величин с плотностями 1(1) и д(1) дается форд!улой (7).
Гг), 1, Оощие основы где а у — ф 1)г э Ч т г) са т г — Ех т г 1а б— ат -1. те или 1 йГ1)=. е В ~е ))а= е З 2)нгт 2 нот ')) а 1 е з )твн - ° ) <1З Таким образом, х подчиняется нормальному распределению со средним значением 0 и дисперсией о' лн т'. Слеловательно, исходная сумма х+ у также распределена нормально со средним значением о. + 6 и дисперсиси оа-Г тт. Это жс самос справедливо и для разности м — 1г с той, конечно, поправкой, что среднее значение в этом случае будет равно о — Ь. 11овториым применением найденного результата устанавливается, что сумма произвольно~о количества независимых нормальных счучайных величин снова распределена нормально.
ГЛАВА 11 ВЕРОЯТНОСТИ И ЧАСТОТЫ В этой главе осповнымн являются первые трнпараграфа (З 5, 6, 7). Последу1ощие трн параграфа (~ 8, 9, !О) посвящены прило. женням к демографической статистике, медицине, биологии и физике. Тот, кто желает быстрее познакомрться с важными понягнямп «эмпирического среднего» и аэмпнрнческого квадратичного отклонения>, може~ от ~ 7 сразу перейти к 9 !8. ьч 5. Биномиальиое распределение А. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ Предположим, что опыт, результат которого зависит от случая, многократно реализуется при одинаковых условиях.
Например, ботаник путем скрещивания определенного родительского материала выводит потомство н классифицирует его по окраске цветов или по другим признакам. Каждый потомок является продуктом случая, а различные окраски цветов — возмо>кными результатами опыта. Илн хирург производит одну и ту же операцию над рядом пациентов и подсчитывает, сколько пациентов выздоравливает и сколько умирает. Просто>ы ради предположим, что в каждом опыте имеется лишь две возмо>кности А и А, например, либо пациент умирает, либо не умирает.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
