Б.Л. ван дер Варден Математическая статистика (1960) (1186203), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Введение Центральную часть книги образуют два болыних, взаимно связанных раздела: Теория оценок (гл. 1еП вЂ” 1Х) и Теория проверки гипотез (гл. Х1, ХП). Отправным пунктом ~сории сценок является способ наименьших квадратов, развитый Гауссом, Гаусс указал два обоснования этого способа. Первое из ннх формулируется так: наивсроятнейшнм значением неизвестного параметра является такое значение, для которого вероятность наблюденного события будет наибольшей.
Второе обоснование, которому сам Гаусс о1давал предпочтение, исходит из того требования, что оценки должны иметь возможно меньшие средние ошибки. Р. А. Фишер распространил оба этих обоснования па значительно более общие проблемы отыскапвя оценок. Требованве наибольшей вероятности наблюденных значений приводит к оценкам наибольшего правдоподобия, а требование паимсныпей средней ошибки — к понятию эффективных оценок.
В широком классе случаев принцип максимального правдоподобия приводит действительно к эффективным оценкам. Уточнение этого понятия и точные доказательства по Фреше, Рао, Леману и 1Пеффс будут даны в гл. Ч1П, а применения к наблюденным частотам — в гл. 1Х. Современная теория проверки гипотез берет свое начало от кри1ерия Х' Пирсона и критерия 1 Стьюдепта. Р. А.
Фишер расширил область применения этих методов. Он ввел понятие «степеней свободыэ и вскрыл взаимосвязь с теорией оценок, указав на то, что в критерии уе следует пользоваться только эффективными оценками, Точные доказательства его утверждений даны Нейгманом и Е. Пирсонам. Ими сформулированы также общие принципы, лежащие в основе современной теории критериев Все это будет изложено и пояснено на примерах в гл. Х1. В теории ранговых критериев (гл. ХП) также выявляется ценность этих принципов. Однако математические вспомогательные средства, необходимые для понимания этой главы, здесь много скромнее: они главным образом ограничиваются материалом гл. 1 и П и предельной теоремой нз гл. Ъ'.
Обработке результатов биологических испытаний посвящена гл, Х. И хотя здесь речь идет о задаче теории оценок в смысле гл. УП1, подготовительный материал также нсчерпывае1ся содержанием гл. 1 и П. Заключительная гл. Х1П посвящена коэффициентам корреляции и ранговой корреляции. Как видно из схемы логической структуры кпнгн, здесь предполагается известным лишь содержание гл. 1 — -У1. галиа 1 ОБЩИЕ ОСНОВЫ Изучение этой гланы безусловно необходимо.
й Е Основные понятия теории вероятностей а, ниедвхннтельное нлзъяснениа и пеимгеы В теории вероятностей рассматриваются события, наступление которых зависит от слу гая и вероятности, которые могут быть выражены числами. Понятие вероятности янлястся статистическим понятием, Для выяснения статистического смысла этого понятия следует многократно реализовать те условия, прн которых может осуществляться определенное собьпнс, и установить, с какой частотой это событие осуществляется. Если вероятность осущестплепия события равна р, то это означает, что н ряду из п таких повторений событие наступает и среднем пр раз. Конечно, число наступлений события совершает колебания около среднего значения пр, которые мы позже оценим точнее. События обозначаются большими буквами А, В,....
Введем следующие обозначения. АВ (читается: А и В) — событие, которос осуществляется тогда и только тогда, когда Л и В осуществляются одновременно. А (чнтастся: отрицание А) — событие, которое осуществляется тогда и только тогда, когда нс происходит событие А, Š— событие, которое осуществляется всегда. А -(- В (читастся: А или В) — событне, которое осунгествляется тогда и только тогда, когда осущестнляется либо А, либо В, либо оба эти события одновременно. Если А и В несовместны, т, е. пе могут осущестиляться одновременно, то вмесп А+ В пишут А + В (читается опять: А нли В).
Лналогичпо и случае любого конечного, а также н бесконечного числа попарно несовместных событий ч ~~А,= Л,+ ° ° +А„ 1 .,А,= Ах+ А,+ 1 Верс ятность события А обозначается Р(А). Следующие примеры поясняют употребление этих понятии. Рл.
Д Оби(ие основы 14 Пример 1. Игральная кость бросается трн раза. Событняни являются всс мыслимые результаты таких бросаний, как, например, (6, 1, 1), пли нсс комбинапии таких рез) льтатов, связанные словом «клик например, «(6, 1, 1) нли (4, 5, 6)» явлнется собьггисм, а именно суммой событии (6, 1, 1) и (4, 5, 6). Вероятность ныпадепия 6 очков прн первом бросании нс обязатсльпо равно 9„: кость может оказаться фальшивой и иметь случайные неправильности. 1:слн она приближенно симметрична и однородна, то разумно прел.
положить, что вероятность близка к «/м В противном случае эту вероятность можно приближенно определить лишь с помощью большого числа бросаний кости, устапонвв, ско.ть часто прп этом выпадают 6 очков. Пример сх Производится стрельба по мишени. Илсализнруя действительность, предположим, что пробоина в мишени является точкой и что мишень всегда поражается. Событием является попадание в какую-нибудь ограниченную часть мишени.
Кажлой частичной области мпшспн соответствует, таким образом, событие, в частности, всей вишен н — событие В. Веровтность любого такого события тем больше, чем больше площадь соответствующей области, а также чем ближе к середине лежит эта область: пслятся ведь в середину мишени. Попадание в отлельную точку также является событием, но вероятность этого события равна пулю, так как точка не имеет площади. Если события А н В соответствуют опрелсленныч областям мишени, то сумма А «В соответствует обьелнненню обеих областей, а произведение А — - их пересечению.
Б. совытия Если желательно математически уточнить употребление формальных операций АВ, А, А+ В и А + В, то имеются два пути: поле событий можно рассматривать либо как булевскую алгебру, либо ка к тело множеств. В первом понимании «события» являются неопределяемымн объектами, и указанные операции должны лишь удовлетгорять определенным аксиомам (см. С. СагаЬЬеодогу, Май ппс) 1п1едга1, Ваае1, 1956). Во втором понимании «события» являются подмножествами множества В, причем АВ является пересечением, А — дополнением, А +  — объединением.
Оба подхода эквивалентны, так как по известной теореме Стоуна' кам<дая булевская алгебра изоморфна некоторому телу множеств. Первый подход, может быть, естественнсе (см. Карроа В. Л., 2пг шаЬЬеша11зсЬеп Веягппг)ппд с)ег %аЬгвсЬе(п11сЬ- )дейв(Ьеог1е, 8(схцпязЬег. Вауег. А)гас). 31йпгЬеп, 1948), но гторой математически проще. Поэтому, следуя Колмогорову', мы будем гсе «события» трактовать как множества «элементарных событий». ' Си. В «о п о 51.
П., Тгнпз. Ашсг. шв«Ь. Воо., 40 (1936), 37, плп Ы е гш е а Н., Ештйьгппи ш б)в Усгьап«1в«ьсопе, Врппйег.ттс»1вя, 1955, 1 20. "- См Ко л м о г о р о н А. П., Основные понятия теории вероятностей, ОИТИ, М., 1936, а таьлге Ве)еьепЬвоЬ Н., %аьгасьеш)1«1«- 1«е1Ш(еьге. 4 !. Основные лоняягия теории вероятноссяеи 1б В этом понимании В является множеством всех элементарных событий, которые в данной сгиуацни можно рассматривать как возможные события. В. ВЕРОЯТНОСТЬ В основу теории вероятностей по Колмогорову можно поло>кить следующие аксиомы': 1.
Если А и  — события, то Л, АВ и А-1- В тоже события. 2. Каждому событию Л можно поставить в соответствие действительное число Р(А) ~ О, 3. Х является событием с Р(Ж) = 1 4. Если А и В несовместны, то Р(А + В) = Р(А) + Р(В) 5. Если все события последовательности А,, А,,... Не могут осуществиться одновременно, то 1пп Р(А, Л, Л„) = О.
я-» Из аксиом 3 и 4 следует, что Р(А) = 1 — Р(А) и поэтому Р(А) не превосходит единицы: Π— Р(А) ~ 1. Далее, если А„..., А„взаимно несовместны, то имеет место теорема слоясения; (3) Р(Л, 1 ... т Л„) =- Р(Л>) + ... + Р(4„), Из аксиомы непрерывности 5 следует, что теорема сложения также справедлива для бесконечного количества событий; если А = А, -'- Ае + является событием, то Р(1) = Р(Лг) 1 Р(.4е) 1 (4) Очень простые доказательства этих теорем имеются в цитированной монографии Колмогорова «Основные понятия теории вероятностей». Формулировка аксиолг у автора несколько отличается от форлгулировки, данной в укаааввой выше работе Л.
1К Колмогорова. — !!рия, ред. 16 Гл. Д Общие основы !'. УС'гОВИЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ Пусть Р(А) ф О. Условном вероятность события В в предположении, что событие А произошло, определяется равенс!вом р(в(А) =- Р<АВ) Р(А) (5) Отсюда следует, что р(Ав) = р(в(А) р(л), (6) Последняя формула справедлива также. и для Р( 4) = О; множитель Р(В~ Л) в этом случае может быть любым числом.
В приложениях, как правильно заметил Рихтер', условная вероятность Р(в)А) почти никогда не вычисляется по определению (5), а делаются какие-либо предположения о Р(В(А). па основе которых по формуле (6) вычисляется р(АВ) (как в случае, изложенном в примере 3). Собственно говоря, следовало бы отказаться от определения условной вероятности Р(в! А) равснс!Вом (5) и включить ее в число нсопрсделяемых понятий аксиоматпьн. В этом случае (6) можно бы было принять за аксиому. Однако в этой книге мы не будем заниматься вонросамн аксиоматнкн и. следуя Колмогорову, примем (5) в качест ге определения.
Пример 3. Мз урны, содержащей г белых н Ьс — т чарных шаров, ноочсрс.<но нзалскаютсн 2 шара <без ноззращенна). Кякозд нсроятность а) при псрнон нззлсчснни получить белый шар, б] при первом и втором износ кннях получить белые шары, и) при нтором изнлсчснни иолу нпь белый шнрр Прн этом предполагается, что шары з урна хорошо перемешаны, тнь ч~о исроятность нззлсчь определанный шар олннакона лля ассх шаров. Прсднолагаетси также, что условная нсроитность извлечь но второй рлз какой- либо шар, соли прн первом извлечении уже получен нскоторый опрсдс.тапный шар, одннакояа лля всех оставшихся тг — ! и:ароа. Обозначим А) событие, которое заключастся и том, что прн нсрзом изялсченнн поязится шар с номером )', н Ьа — событие, которос заклкгчастся з том, что прн втором изнлсчсннн появится шнр с номером Е !)з указанных предположений следует, что Р<А,) = —,.
1 1 Р<Ва~ Ат) =, О:.''- 1.). ТС вЂ” 1 Оогласно празилу умножснни (б), нсроятность поннлспна при парном пзилсченин шара с номером ! и арп ягором назло ~енин шара с номсром Ь одннакоаа для всех пар <1, 1) с ) т г 1, н именно 1 1 Р<А, 1!з) = Д Д' — 1 ' хт т с Ь Ь о г Н., Сгппгпеанпэ г)ог тмаьдясьс!п)!сЬЬс!Ьзгсоьпнпт Згат)т.
Лппа!сп, 125 н 120. Сн, тшокс К ! и з! с г 1'., ГА!сгпспьс г<сг дга1Ь., 2 <1047), 112. и' 1. Основные понятия теории вероянтоетеи 17 Количество пар, у которых первый шар белый, равно г (1Ч вЂ” !). Следовательно, вероятность появления белого шпра при первом изнлечсннн равна е(А' — 1) г Х(А. — !) й.' Аналогично количество пар, у которых второй шар белый, равно г (л' — !), поэтому вероятность появления белого шарп при втором извлечении равна 1/Х Наконеп, число нар (1, й) шаров белого цвета равно 1 (1 — !), следовательно, нсроятнос1ь того, ~то оба раза появятся бслыс шары, равна г(1 — !) Аг(ТУ вЂ” 1) Д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
