Б.Л. ван дер Варден Математическая статистика (1960) (1186203), страница 3
Текст из файла (страница 3)
ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ Предположим, что при некотором опыте могут осуществиться взаимно исключающие друг друга собьпия Л,,..., А„, сумма которых является достоверным событием; В = Л, -1 А, + ... + А,. Согласно (3) и (6), для любого такого разложения имеет место форму.га полной вероятности Р(В) =-~Р(А„) Р(В(Ая). (7) Е. НЕЗАВИСИМОСТЬ Г)ара или более таких разложений = А1 '12 1' ° ° ° " е!н.
а = В1 -1 Вз Р ° ° + Вн". называются незавасалгыми, если для всех Ь, 1',..., )е справедливы равенства р(л„в,... в,) = р(А„) р(ве)... р(ви). (8) Собьпия Л, В,..., Р в коне'щом числе называются независимыми, если независимы разложения .Е = А + Л, Х = В -)- В,..., Я вЂ” Д+ !) В этом случае справедливы равенства Р(АВ... В) = Р(А) Р(В)... Р(.О), Р(АВ .. В) = Р(А) Р(В) . Р(В) и т. д. В приложениях независимость обычно не определяется рапснством (8), а постулируется. Два опыта полагают независимыми, если исход одного практически исключает какое-либо влияние на исход другого.
2 в. л. зан дер вард !вьв Гв. 1. Оби«ие основы КС ВЕСКОНЕЧНЫЕ СУММЫ Бесконечная сумма Л, -!- А, +... несовместных событий не обязана являться событием и иметь вероятность. Однако методами лебегоеской теории меры можно расширить тело «событий» до тела «измеримых множеств», определив, таким образом, для этих множеств А* меру Ра(Л*), что в расширенной области снова буду~ иметь место аксиомы ! — 5 и для исходных событий А мера Р" будет совпадать с вероятностью Р: Р*(Л) = Р(Л). Если, кроме того, вероятность Р(А) зависит от неизвестного параметра й, то рассматривают лишь такие множества А*, которые измеримы при всех значениях й.
Каждая сумма счетного числа множеств А" является снова множеством типа Л*, причем имеет место теорема о полнои аддитиеносгпи: Р*(Л,*+ Лв +... ) = Р*(Л») + Р«(А«) +.... (9) ,г(оказательство этой теоремы см., например, в книге С. Сага!Ьеойогу, Ъ'ог!енппйеп йЬег геейе Гпп)г(!опеп (!9!8), р.
237 — 258'. В дальнейшем, если это потребуется, мы будем предполагать указанное расширение тела событий выполненным, не отмечая звездочками различие между новыми множествами и их мерами, с одной стороны, и исходными событиями и вероятностями — с другой. Таким образом, впредь будет предполагаться, что сумма событий А, + А, +... снова является событием и что для счетных сумм справедлива теорема сложения. З 2. Случайные величины. Функции распределения А. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Случайной величиной, или стохастической переменной, называют величину, значение которой зависит от случая. Точнее: пусть ш —— действительпая функция, определенная на множестве Е, такая, что для каждого элементарного события й значением(й) является действительным числом. Пусть, далее, эта функция измерима н том смысле, что для любо!о действительного числа ! Множество тех с, для которых ш( С является измеримым множеством.
Мы условились, однако, рассматриеать каждое измеримое множество как событие (в расширен!им смысле). Слсдовачельно, предположение измеримости означает, что для любого Г множество тех й, для которых ш< С представляет собой событие. ' О полной ааантнаностн меры см. также Х а л м о ш П., Теорнн меры, ИЛ, М., !953, — Лрилв. перев. й ц Сну гаиные величины, Функции распределения )9 Простейшим является случай, когда множество Ж представимо в виде конечной суммы частичных множеств Ю = л(г -1 А, +... -1 А„, причем на кахкдой части Ан функция х принимает постоянное значение хе.
Если А„являются событиямн, то требование измерпмости выполняется. В примере 1 Ц 1) общее число очков, выпавшее при троекратном бросании игральной кости, является случайной величиной, принимающей конечное число значений (от 3 до 18). В примере 2 обе координаты х,у точки попадания — случайные величины.
в. Фрикции распределения Если х — случайная величина, а г изменяется от — до + то вероятность события х< ( представляет собой неубывающую, непрерывную слева функцию от г, которую мы, следуя Колмогоровут, назовем функцией распределения й'(Г) величины х: й"(() = р(х < О. (1) Функция У(() стремится к пулю при (- — о и к единице прп г — —, . Это легко выводится из аксиомы непрерывности 5.
д ее с Р и с. (. График ступенчатой функции. Если (стремится к а слева, то с'(() стремится к с'(а), но если ( стремится к а справа, то Ь(() стремится к р(х-(). Разность вгих пределов АЬ'(а) = с'(а + О) — Ь'(а — О) является вероятностью того, что х в точности равна и, Далее для и < Ь имеем Ь'(Ь) — Г(а) = р(а ~ х < Ь). (2) другис авторы опрспеля1от е'(т) как вероятность события и В этом случае К(е) непрерывна справа. эв Гв. 1. Общие основа Для приложений особенно важны два случая. Если величина ,в принимает лишь конечное число значений 1,, 1,,, „1„с вероятностями р,, р,,..., р„, то Р(1) предсвав«тает собой ступенчатую функцию, график которой в точке 1 = 1; имеет скачок, равный по величиие рь В, плоыьость вееоитпостп В другом случае, когда с'(1) непрерывно дифферепцирусма, й"(1) = /(1). Согласно (2), тогда ь Р(а и < Ь) = с(Ь) — У(а) = ) /(1) с/1.
« (3) Из (3) предельным переходом при а — — получаем ь Р(~ < Ь) = л'(Ь) = )1(1) "1 откуда предельным переходом при Ь- о паходпм ) /(1) с/1 = — Е (4) г. ногмлльнок Рлспведеленис Известным примером плотности вероятности является гауссова функция ошибок <с .«я /(1) = =- е с71 Рассматривая вместо в велпшшсу (Ь вЂ” а)/с, можно для этой величины получить плотность вероятности более простого вида 1 1(1) =-,= е ' )гв Функция /(1) называется плотностью вероятности величины ж. Выражаясь популярно, но неточно, можно сказать, что /(1)~й есть вероятность того, что ж заключена в пределах между 1 и 1 + в)1.
д -' Слачанные величннкс Финикии распределения 21 11а рнс. 2 сверху изображен график этой функции. В 2 12 будет доказано, что 1 — — о е - 'А=)г2я, поэтому функция (6) удовлетворяет условию (4). Соответс1вуюшая функция распределения имеет внд (8) вр(1) = -,- .
е '- г(т (см. рпс. 2 снизу, а также табл, 1 в конце книги), т Р и с. 2. График гауссовой функции ошибок. Название чгауссова функция ошибок» ссновано на том, что, по Гауссу, плотность вероятности для случайных ошибок астрономических наблюдений выражается формулой (5). Однако имеется ьшого других случайных величин, пло|нссзи вероятности которых точно или приближенно выражаются этой формулой.
Поэтому функции (6) и (8) заслуживают более подробного изучения. Для вычисления интеграла ошибок при не слишком больших значениях Г плотность У(1) разлагают в бесконечный ряд Гв. 1. Обе!ав авнови 1 У М И вв !(!) — 1 +., т ..) )гр ~ 2 Гпг З!2' и интегрируют: 1 ~ 1 1 и и Е(!) =,— + ~" ((1) (1 = —, + = !(1 — — -+ —,, †. —...) . г )г2 ~ 2з г!г й о Для больших 1 имеется асимптотическое разложение, которое получается следующим образом. Имеем (9) ) 1 ! — н ! — Ф(1) ==) е з йт, )/2вв Если положить т"-/2 = х и гв/2 = и, то интеграл примет вид Š— е х з зх. 2 Увг./ в (10) Интегрируя по частям, найдем 1 е х еатх= в е и ' — -, )е х 'г(х==е и ~--й',, г) Я (1!) где — В, — отрицательный остаточный член.
Для зого чтобы оценить Я, сверху, интегрируем по частям еще раз: а з в 1 — — — 1-" 3 13 — *-2 — в Л,=- —,г!е х ейх= — е и з — —, —,)е х зггх< — е и г'г~ и Н 1 Фв) =- 1' —,— (; — в ), (12) 0 <8,<и 1 Если желателы<о сделать остаток величиной порядка |о нужно с|шва один раз нроинзегрировать по частям и тогда получится Если (11) подставить в (10), то получится искомая асимптотическая формула й 2.
Случаанссв величина. Функции распределении 23 1 Ф(С)=1 — = — е зи; — —;+яс, )Гас (!з) 0<8л< 1 З,-'г. Путь дальнейших уточнений ясен. В качестве множителя при ехр ~ —,— С ~ будет получаться частная сумма знакочере- 1 2 дующегося ряда 1 1 1 3 1 3 3 — —. + — — — — +... С Р' Сл С7 (14) с Чав ЧГ Г ! и я наго оп Л., А СгапвГоппамоп оГ Гоппа1 вспсв, Рго~.
Боп. твсп. Л!с!1~!. Лп!Б!(ч(!осп. исса!оп ОГ Ьси и< с, А 36 С!ГЗЗ), Оэт. н остаточный член всегда будет меньше первого из отброшенных членов. Асимптотический ряд (14) мало пригоден для численных расчетов со многими десятичными знаками, потому что, хотя вначале члены ряда и убывают, однако в дальнейшем они начинают возрастать. Однако ван Вейнгарден' указал преобразование, которое превращает (14) в сходящийся ряд, с успехом используемый в численных расчетах для средних и больших значений С.
В табл. 1 в конце книги табулирована функция сс = Ф(С), в табл. 2 — обратная функция 1 = йл(м). В этой книге указанные функции будут неизменно обозначаться буквами Ф и 'Р, Точки перегиба кривой с уравнением у = Г(С) имеют абсциссы Г = +1, так как вторая производная 1 С' — 1 у" — е 2 'Г' 2н в интервале ( — 1, +1) отрицательна, а вне этого интервала не- отрицательна, С ростом С функция Г(С) очень быстро убывает. 11а интервал от — 2 до +2 приходится более 95;~ общей площади, расположенной между кривой и осью абсцисс, на интервал от — 3 до -~-5 около 99,7"..;, а на интервал от — 4 до +4 — только немногим менее 100о,',.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
