Б.Л. ван дер Варден Математическая статистика (1960) (1186203), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Можно ли благотворность действия зптикоагуляитов считать локазаяпой7 Вычисляя тх по формулам (6) или (7), получим тз = 30,2. 1",'„-иая граница равна 6,6, О,! ",о-иая граница равиа 10,8. Величина кз аиачительпо превышает обе зги гракицы. Следовательпо, о случайности ! 1 17 Ж ВЗ е)Б Е)ЕГ ВР г7 я,=не=5 ег =его=а 1 р юте-' Е7 Г(о аз Г)Е ВСГ 72 Г7 В-о =Гг о,=гге=з /7,=Ъ Лр Р и с. 8.
Зависимость уроки я значимости критерия ух от р (из работы: лешо(а(ег цпй тап бог )Уаегйец, Всг. айс)з. Айаб. )Ъщз., 93 ()943Ц. сиижеиия сиертпосш при питикоагуляи твой терапии ие может быть и речи. С методической точки зрения можио бы было возразить против того, что оба ряда опытоз относятся к различиыя периодам времеви. Статистпкфаиатнк, позможио, стал бы часть пациентов лечить копсервптивио и одновременно другую чисть — по новой терапии. Однако медик, стрезгящиися сделать все возможное длп спасения жизни пациентов, в случае грозящего смертщо тромбоза никогда ча к ис поступит.
Воти статистические даипыс о результатах лсчеиия получены из двух рядов зксиеримситов, проводившихся пс одиопремеиио, то вссгдо следует ставить вопрос, ое тюгут ли, помимо прихгеиеипой терапии, с течением времени оказывать влияние и другие факторы(колебания зпит ииологических условий, гигиенических условии, условий питания и т. д ) 7 В случае тромбоза, конечно, следует заключить, что решающим фокчороя оквза.тась новая терапия. 6 Р. право«ни« двух ввронтноотвй Е. ТОЧНЫЙ КРИТЕРИЙ ФИШЕРА 1!рименяя тот же самый ход рассуждений, которым мы воспользовались в 2 9 В для обоснования критерия т» в предельном случае больших математических ожиданий, можно, как показал Р, Л. Фишер, построить точный критерий, для которого односторонний уровень значимости всегда ие превосходит б. Конструкцию этого критерия можно уясн»пь на примере, заимствоиапиом из работы Точера (К.
АА 7ослег, В»он»е1г(7«в», во1. 37, 130). Пусть наблюдались следукицие числа; 7»,=2 1,=5 (п,=7) 7'в:=3 1,=2, (я.=5) (К = 5) (Л =. 7) ! (У = ! 2) Из этих чисел образуем так называемую «таблвцу 2 х 2» и рядом запишем все те таблипы 2 х 2, для которых суммы по строчкам и столбцам имеют те же самые значения, что и в первой таблице, а пеличины и, строго мепыпе соолветствующей наблюденной величины: Нвблюленнан Дополнительные тнблина таблицы 25'71670717 3254155015 5 7 ( 12 57,!2 57112 Затем вычислим и сложим условные вероятности, соответ. ствующпе всем этим таблицам, предполагая, по 7«, ч 7г» = 7».
р(73, й» К) =- (13) В,ТЕ1нюм случае получим в- = 0,265 + 0,044 + 0,001 =- 0,310. Кри»ерий гласит: Если сумма Р нс прсвосход»м )З, то гипотеза р, = рв отвергается в пользу коикурирующей гиполезы р, (р». Например, если ф =- 0,05 и из опыта получены указанные выше числа (2, 5, 3, 2), то пшотеза р, = р, пе отвергается. Одпако если оы осуществился олин из двух случаев, соответствующих дополпп1сльпым таблицам, то гипотезу следовало бы отвергнуть. Услош вя вероятность осуществления «дополнительных» случаев удовлетворяет перавсис1ву 0,044; 0,001 ( 0,05, следовательно, условная вероятность лого, что гипотеза р, = р буде1 ошибочно отвергнута, не превосходит 0,05.
Гя. 11. Вероятнас~аа и яаеепоооя Оя Вообще, пусть Л вЂ” событие, которое паступает тогда и только тогда, когда .а основе указанного выше критерия гипотеза р, = р, отвергается в пользу конкурирующей гипотезы р, ( р,. Обозначим р(Л(К) условную вероятность этого события при заданных значениях сумм по сзолбцам К = й, -~- йе и Ь = 1, + 1, и в предположении, что гипотеза р, = р, справедлива. Тогда, в силу самой конструкции кризерия, всегда имеет место неравенство Р(Л~К) «б (14) Безусловиая вероятность события А равна Р(А) ~2; Р(К) Р(Л~К), (15) где суммирование распрос1раняется на все возможные значения К, Так как, согласпо (14), Р(Л1К) =- р для всех К, то сумма (!5) це превосходит б: Р(Л) ~)о ~ Р(К) = ф. Следовательно, вероятность ошибки одиосторонпего критерия Фишера всегда не превосходит 5.
В случае двустороннего критерия эта вероятность пс превосходит, копечпо, 21У. В действительпости при малых или не очень больших я, и и, вероятность ошибки кризерия Фишера оказывается, как правило, существенно меньше 2р. Этот критерий излишне осторожен и требует значительно больше вычислений, чем кризсрий у'. $ 1О.
Частота редких событий л. ФОРмулл пулссонх Бслп в задаче Бернулли я велико, а вероятность р очень мала, так что яр являе|ся пебольшим числом, то формулы (2), (3) и (4) из й 5 и связаппые с ними следствия остакпся, конечно, справед- ливыми, однако указашк е там асимптотическое разложение уже пе будет иметь места. Для этого крайнего случая Пуассоном пайдена другая асимптотическая формула, а имеппо хя И' — е-~, И Здесь 1т» — вороятнсс1ь того, что в последовательности из и пезависимых испьпаций редкое собьггие Л осуществится ровно У. раз, Л = яр — ма1сма1ичсскос ожидание х.
Выражение () ) от и зависит неявное Э1а формула применима ко всем редким собыяиям, таким, как несчастные случаи, случаи разрушения атомного ядра и т. д. Гт П. Вероятности и частота а4 поэтому с =)ГЛ То жс самое получим и из выведенной ранее формулы о = ~ярд предельпым переходом прп яр Л и д 1, Следовазельпо, значения случайной величины ж, с которыми приходится имсзь дело при практических расчесах, заключены между Л вЂ” дУЛ и Л -' д)Л, прп этом практически достаточно гг 7 е,у 4 5 а' г сг Р 1О Р и с.
9, то'тос н асимптотическое распределение Пуассона (Л = 41. выбрать значение д, пе превышающее 3 илп 4. Возможны ли дальнейшие уточпепия? Для большцх Л и соответственно больших 1 = Л -ь з сущее;вуст асимптотическое разложспис 5'а: — ез 1 З Л а Л') (4) Это разложение получаезся из (1) З б при д = 1. Рис. 9 показы- гает, что уже для Л -= 4 соответствующее приближение оказывается очень хороним. Число 4 снова выступает в качесзвс большого числа. Оказывается, 'по даже прп не очень больших Л фупкцпю распределения Пуассона (2) можпо очень хорошо приблизить функцией нормального распределения с поправкой па аспммеы рпю. Поэтому вероятность того, что ш заключена в пределах Л вЂ” д~/Л и Л вЂ”,— д)ГЛ, приближенно равна Г 2~(~) — 1 = - с 1~ п о Осповываясь па этом, как и в з 7, по паблюдсппому значении| д 10.
Частота редких событий 66 ?э можно построить доверительные границы для Л, решая квадратное уравнение ~ ?г — Л~ = ~ д)гЛ или ()т Л)г дгй (5) Значение дз снова следует взять из табл. 3. Обе доверительные границы являются решением (5): +' д д() +4 д ' ' ~идт+ду +4д . (5) Если используется лишь одна из згих двух границ, то соответствующий доверительный уровень уменьшится приблизительно вдвое против прежнего. О вычислении точных доверительных границ см. стагилоЫ Р„ ВгоплеггЫа, 28, (1935) 437.
Пример 10. В течение а юс. некоторым счетчиком космического излучения было зарегистрировано 80 космических частиц. Процесс регистрации, конечно, подвержен влиянию случая: сслн бы рядом с действовавшим был поставлен другой аналогичный с ~стяни, то вполне возможно, что он при той же интенсивности космического излучения зарегистрировал бы, скажем, 70 нли 90 частиц. Целью наблюдений является нс регнстраппя случайного числа частиц Е а оценка среднего значения Л числа частиц для всех аналогичных счетчиков в данной области в течение определенного отрезка времени.
Среднее значение Л является мерой интенсивности космического излучения. Каковы границы, в которых может быть заключено Л? Так как совокупность космических часюгц, попадающих в счетчик, составляет лишь крохотную долю совокупности всех частиц, пролетающих в данной части пространства, то можно применить формулу Пуассона для редких событий. Согласно этой формуле, квадратичное отклонение величины й равно а. = УЛ. Так кзк й близко к Л, то а = )гй=) 80 яэ 9 при~одно ( для оценки а. Поэтому результат измерения в обычных обозначениях записывается так: число частиц за 5 часл 80 -' 9 илн число частиц за 1 час.: 16 ~ 1,8.
По правилу утроенного квадратичного отклонения отсюда следует, что среднее значение Л числа частиц за 5 час. предположительно заключено в границах й — За = 80 — 27 =- 53 и й + За = 80 + 27 = 10?. По более правильной формуле(6) с д = 3 находим несколько более высокие значения границ Лл = 84,5 — 3)г82 = 57 н Лг = 84,5 + 3 )'82 = 112. Доверительный уровень, соответствующий величине д= 3, близок к 0,2?эгэ. в. сравнение дврх частот При сравнении двух частот редких событий можно поступать подобно тому, как было указано в 9 9.
Пусть, например, в течение отрезков времени 1, и 1, произошло ?сл и )гг успехов соответствелшо. Если срсднис количества успехов за единицу времени 5 в. л. чан дер Вардлн - ! аег Гл. 11. Веролтоооот и чаототое 66 уп,= и гл,= Ач с., се (7) различны, то возникает вопрос, можно ли это различие считать чисто случайным? Предположим, что это различие было чис~о случайным, т. е. что истинные средние значения количеств успехов за единицу времени были равны друг другу.
Если мы это среднее значение обозначим буквой сс, то вели псны д,=.сс, н й,=рс, будут матемасиесескими ожиданиями количеств успехов хс и жс за С, и С, секунд соответственно. Квадратичные отклонения будут Равны )сРСс и )сР~,. РаспРедслениЯ свс и вс пРиближенно ноР- мальны. Следовательно, разность жс сее се (8) будет также иметь приближенно нормальное распределение с нулевым средним значением и дисперсией ,„с,с,с, (С се и с, с, с, (9) )-1 —.
'1> да. нлп ) ~сс (1+сс) (1О) то гипотезу о чиссой случайности различия час~от следует отвергнуть. Величина сс, однако, нам не известна. Как и в $ 9, для преодоления этого затруднения постараемся заменить Сс возможно наилучшей оцснксй, использующей весь материал наблюдений. Так как за врсмя с, + С, произошло Йс + йс успехов, то в качестве оценки для сс выберем величину ссс се, + с.с (! 1) с, + с, ' Если н неравенстве (10) заменить Сс агой оценкой, то получится следующий практический критерий: наблюдаемое различие коли- Если в результате эксперимента окажется, что абсолютная величина разности (8) превышает д-кратное квадрасссесное откло- пение Д 70.
Часв2тва редкин событий 67 честв успехов за единицу времени следует считать неслучайным, коль скоро выполнлетсл неравенство: > (г'1 т й1). 2'1 В 12 д2 21 ~2 Г1 22 (12) У:, <2 и Г, (~-, С, — 1аб12 22) т.,+л, с,к,(а,+ь,> (13) Обоснование критерия 72 дос1игается ровно зак же. как это было сделано в $9 В. Здесь мы можем отказаться от проведения обоснования, так как позднее мы снова вернемся к этому критерию н рассмотрим его с более общей точки зрения Я ббпр). Величина да определяется по табл. 3 в конце книги.
Если применяется односторонний критерий, т, е, если заключение делается либо лишь в случае положительной разности, либо лишь в случае отрицательной разности в скобках левой части (12), то соответствующий уровень значимости составляет лишь половину прежнего. Этот критерий можно записать так же, как крвтерий уе, положив ГЛАВА ГП МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВСПОМОГАТЕЛЪНЫЕ СРЕДСТВА В первом чтении этч главу можно пропустить с тем, чтобы позднее, по мере надобности, обращаться к ней, з 11. Кратные интегралы. Переход к полярным координатам Мы будем называть областью любое открытое множество в пространстве действительных переменных х, у,.... Как известно, двойной интеграл по плоской области 6 Е = Ц Е(л, у) <Ех <Еу можно вычислять двумя последовательными однократными инте- грированиями Е = ~<ЕУ ~1(л, у) <Ез<.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
