Б.Л. ван дер Варден Математическая статистика (1960) (1186203), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Орнгогоналонне нреобразоеанил $13. Ортогональные преобразования Как известно, преобразование переменных: у, = а„х, + а„х, +... + а,„хео у, = ае, х, + а„х, +... + а хен у„= а„, х, + а„х, +... + а „хео называется ортогональным, если оно сохраняет инвариантной форму хл +... + Хе: (2) Если (1) подставить н (2) и приравнять коэффициенты при хз и хг хт (рф !) с обеих сторон, то получатся условия ортогональногти а,-",.
+ а'„+ .. -, 'а„-'е = !, (3) апа,, + амает+... + Яма„! — — О. ~ В силу этих условий произведение матрицы ац ам ° ° аг Я„а„... а,,„ аелон,... аоо преобразования (!) на транспонированную матрицу А* является единичной матрнцей: 1 0...0 О 1...0 0 0...1 Отсюда следует, что опреоелптель ортогонп геного преобразовання равен ~ 1. Этот определитель одновременно является функциональным определителем о(У1 ° гян) (4) Если уравнения (1) умножить соответственно на ап, а„,..., Яеа и затем сложить, то, в силу условий ортсгональпости (3), все х, кроме х,, взаимно уничтожаю|ся, и мы получим (5) х~ — апуг+ае;де+... +агу. та Гл, И1„Матемаггги гескис вспомогательные средства Таким образом, лгатрица обрптного преобразования является гпранспонировпнной мптрггцей преобразования (1), В силу (2), обратное преобразование (5) будет снова ортогональным, следовательно, и для транспонировапной матрицы имсют моего условия ортогональности: аег .
1- а"-. +... 1- п'и =л 1 аг,а1,+а„а1,-1 ... +п,„а1„=0. ( (6) Точно так же доказывается обратное утверждение: условия (3) являются следствием условий (6). Мы будем очень часто применять следующую теорему: Любую нпчпльную строку у,=а„х,+а„хе-1 ... (-а,„х„, коэффициенты которой удовлетворягот условиго пп т а„1-... + а,„=- 1, 2 ' 2 2 можно догголнить до некоторого ортогонального преобразования (1).
До ка за тел ьс т в о. Для коэффициентов второй строки нмеются, согласно (6), одно линейное уравнение а„ае,+а„ае,+... +а,„ае„=О (7) и одно квадратное ае + а'„+... -1- а'„= ! . (8) Линейное уравнение (7) заведомо имест решение, отличное от нулевого.
Умножением этого решения на подходящии множитель й можно добиться, чтобы опо стало также и решением уравнения (8). После того как первая и вторая строки найдены, для третьей строки мы получаем два линейных и одно квадратное уравнения. Так как оба линейных уравнения однородны, а число неизвестных и больше числа уравнений, то зги уравнения заведомо имеют решение, отличное от нулевого. Умножением этого решения на соответствующий множггтсль 1 можно опять добигься того, чтсгбы найденное решение удовлетворяло соответсгвуюгцему квадратному уравнению. Продолжая этот процесс, в конце концов дойдем до последней строки. Здесь нмекгтся и — 1 однородных линейных уравнений с и неизвестными и одно квадратное уравнение, которому можно удовлетворить подбором соотвстствукицего множителя 1. Этггм и завершается все доказательство.
д И. двпдрптичные формы и пк инвпрппнты 79 9 14. Квадратичные формы и их иивариаиты А. ВК1<ТОРЫ И ТЕИЗОРЫ Вектором х пазывается упорядочспиая совокупность из и чисел (х',..., х"). Если индексы указаны сверху, то х будем называть верхним вектором. Линейная форма В = '~" и,.х' от перемеииых х'...
х" определяется заданием нижнего векпюри и с компоиеитами и,, „и„, Аналогично квадратичиая форма С = дмх'х» (дм — д») определяется заданием неко>орого (симметрического) тензора д>„. В этом параграфе будет молчаливо предполагаться, что если один и тот же индекс встрсчас>ся дважды (один раз наверху, а другой раз внизу), то по этому индексу производится суммирование. Квадратичная форма однозначно определяет билинейную форму от векторов х и у, поляриую по отношению к этой квадратичной форме С„= д;»х>д» (2) (3) Билинейную форму С„, =. д,»хчд» можно теперь записать как в;х'. Так как С„при преобразовании (1) сохраняет инвариант- Если векторпые компопе>пы х> и д' подвергаются некоторому абра>имаму линейному преобразованию у> = е,',у>', (1) го и> и д>» должны так преобразоваться, чтобы формы Ь = и>х' и О„= дп,х'у» остались иивариаитпыми: и,х' = и,.е',х>' = и.
х>', д»х'д» = д;„е,',е,',х>'у' = д>т х>'и>2 При это»1, резумеется, вместе с С„остаиется иивариаитиой также и О„„= С. Таким образом, для нйжиих векторов и теизоров при преобразовании (1) имею> мссзо соотношения и, = и>е,'„ д и = д>.е,',е,", Преобразование (2) пазывак>т контрагредиентным(или контр- авараантныз>) преобразованию (! ). Если квадратичная форма О задана, то для каждого верхнего вектора у можш> определить некоторый нижний вектор гт , =д»Ф (4) 80 Гл.
П1. Математические вспомогательные средства ность, то е,х' будет также инвариантной, т. е. е преобразуется в действительности как нижний вектор. в. овплтные матрицы Если предположить, что форма 6 невырожденная, т. е. ее определитель д отличен от нуля, то систему уравнений (4) можно разрешить относительно у"; у~ = дде1. (5) Элемснзы матрицы (дд) равны соответствующим минорам матрицы (д;,), деленным ~а определитель д. Величины юг назыгают елел~ентами обратной матрацы. Если (4) подставить в (5), то получится тождество относителыю у'.
д'дтвуь = у'. В силу этого можно таки е написать )1, 4=у, д д1в ь )О (6) В (5) величины еу произвольны. Если и — какой-либо второй нижний вектор, то форма а,у' инвариантна, следовательно, (ие) = двирявляется ннвариантом. Таким образом, для дб при преобразовании (1) имеют место соотношения, аналогичные (3). Три ннварианта (ху) = дм х'у", (их) = и,х', (ие) = дгуар1 называют скалярными произведениями. Как известно, любую квадратичную форму линейным преобразованием переменных можно представить как сумму и разность квадратов: 0 = х,' + хса +... + х„'д — х„".„—... — х,'а+, (собственно говоря, индексы новых переменных х,' следовало бы ставить сверху, однако от этого пришлось отказаться, так как квадраты символов с верхними индексами неудобны с полиграфической точки зрения).
Если й = п и 1 = О, то форма 0 принимает лишь положительные значения (случаи, когда все переменные равны нулю, исключается) и называется положсстельно определенной; точно так же, если перед всеми квадратамн стон~ знак минус, то форма О назы- д л4. Квадратинныв фарвевл и ин иивариаиаеы 81 или где Л вЂ” определитель преобразования (!). В частности, если преобразуемая форма является единичной формой, то д' = 1, следовательно, 1=+ )гд. В. Вычисление ОднОГО интегрллл Воспользуемся этими алгебраическими вспомогательными средствами для вычисления интеграла и 1 ~ Г 1 Г = — (Оя) а да ~ ...~ Е а НХ' ВХВ... Нтн, в (10) ГдЕ 6 =:. динХ2Хи — НОЛО>КНтЕЛЬНО Онредепеиная Каадра1Н Шая форма и область интегрирования В задается двумя линейными неравенствами (их) > О, (их) > О.
(11) Если введением новых переменных х',,..., х,', преобразовать 6 в единичную форму (8), то (10) преобразуется в интеграл "г г в (18) где область В определяется неравенствами (и'х') > О, (о'х') > О. Теперь с помощью ортогонально1О преобразования введем новые нсременныс у,, „у„, полагая (см. З 13) (итрч ил ал+ ° ° ° + и„х„ Уе = и и 6 5.
Л. нлн Лер Верден -!062 Вается отрицптельно определенной. Таким образом, положительно определенную форму можно преобразовать в едннпчнуво формд ее = х1 + х2 + ° ° ° + 2, (8) В случае такой единичной формы все скалярные произведения записываются особенно прсс1о: (ху) =- ~ х,'у,', (их) =- Ь и,'.х,', (ии) = ~ и,и,. По теореме о произведении определителей из (3) следует, что д' = ! дв„и ! = ) дм е,', ! °, ви ! = ) дм ! ) в;, ~ ( ви ) Гт 111.
Мстел~стиессксе всислвссителсные средства Где и =- ) и', +... -; и,', . у,в При этом (их) перейдет в некоторую лилейную форму (иу) = == гил ул -1 т и„у,. Накопсц, вторым ортогональным преобразованием вместо у„..., у„введем новые переменные г,,..., г,, полагая снова левал+ +имаев гв=' ' ' — "-" и ~='угивт -Ги» Таким образом, мы получим л 1 = (йх) г )... ~ е "- ' * " с)у,е!ге...
в(гт (13) в Формы (их) =- (и'х') и (их) = (и'х') в новых переменных задаются фсрмулами (их) = иу„ (их) =. илул + веге. Соотестствуюпгис скалярные произведения (в силу ипвариап~по- с~и скалярных произведений) равны: (аа) = (а'а') —. а"-, (ие) =- (и'и') = иисо (ии) = (и'и') = иг + аз, а область иптсгрировапия Л задается неравенствами (14) иу,> О, и;у, + иг,> О.
Теперь в (13) мсжьо прсизгести иатегрирсваиие лю а вместо сстальяых двух переменных у, и ге ввести поляргыс координаты: ул = гсозвр, ге = га!п(с. Таким образом, получим Р 1, ае / 1 ал 11рсделы ипгегрироьалия по вр опрсдсляювся ~ак: каждое ил неравенств (14) задав~ в плсскссти у,0г, некоторую полуплоскость (рис. !0).
Векторы с компонентами (и, 0) и (и;, ю) являются впутрениими нормалями к границам этих полуплосксстей, причем б 14. Ввадратаннив форма и ал инвариана~и аз кос1шус уюш у, заключенного между нормалями, дается формулой имев (иа) гон у 1 в'т' ~+ * Г(. )(-) ' Отсюда следует, что область интегрирования сосредоточена внутри угла, образованного пересечением полуплсскостей, но величине равного и — ",. Следовательно, — (иа) 11 — а. = и — у =- агс соз —, 1(ии) (ан) н вовою очередь наш интеграл равен 1= — „вгссов- .— =. (15) 1 — (ин) ан 1'(ии) (гн) Прн этом скалярные произведения можно непосредственно вычислять но формуле (иа) = д"авив, (16) не выполняя в действительности ни одного из трех линейных преобразований координат. Если бы область В определялась ствамн Р н с.
)О. Область ннтегрн- ронаннл з аласкастн явОвв тремя линейными неравен- (их) > О, (их) > О, (их) > О, то сычнслсьне интеграла по указанному методу свелось бы к вычисленшо пленцадн поверхности сферического треугольника. Как известно, эта плон(адь пропсрцногальна сферическому избытку, который определяется как разность суммы углов сферического треугольника и и, следовательно, 1=- [агсгоз — = +вгссоа .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
