Б.Л. ван дер Варден Математическая статистика (1960) (1186203), страница 12
Текст из файла (страница 12)
е При этом внутреннее интегрирование по х производится по всем тем интервалам, которые образуются пересечением прямой у = = сопзС с областью 6. Что касается пределов интегрирования по у, то нми служат нимсняя и верхняя грани координаты удля точек области 6. Точно так же (т + п)-кратпый интеграл Е =) Е 1(л~., *~, уо ' у,,) Ел< 1лп, Еу. «у. можно вычислить двумя последовательными интегрированиями: сначала по а, ..., х„, а затем по у,,..., у„: 1 = 1... ~,ЕУ,, Еу„~...
У(,,..., х., у„..., „),..., Е (1) При этом область внутреннего интегрирования задастся множеством тех значений переменных х<,..., з„„для которых соответствующие точки с фиксированными у,,..., У„принадлежат области 6. Иными словами, область в«утреннего гппегрирсвання опреде <яется теми жс неравенствами, что и область 6, с той тольк< разницей, что псрсмепнымн в этих неравенствах 4 11.
Кратные интегралы. Перекод к полярным координатам 69 являются лишь величины х,. Областью интегрирования по у,,...,у„является множество систем значений у,,...,у„, для которых существуют точки с координатами х,,..., х, у,,..., у„, принадлежащие области О. Замена переменныт в кратном интеграле производится по формуле: ~... )'1(м„..., „) г1ит . иги„= (2) о где 0' — преобразованная область, а функциональный определитель, абсолютная величина которого вмодит множителем в правую часть (2), имеет своими элементами частные производные от и; по хло Особенно важен для нас переход к полярным координатам, который в случае и переменных определяется формулами х =тсовр, хг — т 81п ан сов ~Рг (3) х„, = г вш аг вш у,...
сов у„т (О ~ Ч~„, ( 2 и), х„ = твш аг вш ~ро...вш аоо л (О сг), о~куда следует, что ха~ + ха +... + х~ = г'. Однозначность этого преобразования в области г в1п р вш р , „, в1п ~„ л ф О легче всего доказывается полной индукцией по и, отправляясь от случая плоскости (и = 2).
А именно если предположить, что для и — 1 переменных х,,..., х„однозначность преобразования х =г совор (Π— рота), х = — г,в1пу совчг (О %з я) (4) хн 1 — — гг в(п чгя вш гРо... сов ~н-т (О ~3н 1 ( 2 и), хн — гг 81п агг В1п гро... вш ~ро л (О ~ гг) уже доказана, то для доказательства однозначности преобразования (3) нужно лишь (4) соединить с двумерным преобразованием х =тсов~р (О ыг), г, = гв!и ~р, (О~~р, т я, так как О~тг). 70 Гл. 111.
Математические всаамагательиеее средства Таким же разложением преобразований и полной ипдукцней доказывается, что функциональный определитель преобразования (3) равен д(хо...,х ) (5) д(«, фо .. ',,р„,) где О зависит лишь от угловых переменных: О = Яш"-2 %~ 31п"-3 сре „.
„зш2 71„3 Зш фа 2, При доказательстве равенства (5) переход от и — ! к и производится так: Э(х„...,х„) д(х,х....,х ) Э(хо«о р,...,ф„) д(т, ф„..., ф„,) д(хо т„фе,..., р„,) д(1, ф„фе,..., ф„,) д(хе, х„... х„) д(хг, т,) д( „р„...,ф„,) ' д(т,фе) =«1 б1па 712...31п 91, 22(п71 2'т = (таш р,)" за(па-21р~...3(п29га вейн 1р -т = т"-1 О. Таким образом, формула перехода к полярным координатам имеет вид ~ ~,~ л ~ ~ ~ т.— О с(срг йр„, сЕ«. (5) Полагая в (6), для краткости, Ог(221... с)ф„1 = гтвл. получим )... ~ Е' й»,... еЕ~„=- ~...
~Е т" 1 аг~ с)й. Если облас1ь 6 простирается в бесконечность или вблизи границы области 6 подинтегральная функция не ограничена, то несобственный крарлныи интеграл по 6 определяется как предел интегралов по последовательности ограниченных областей 6о 6,,..., в каждой из которых подинтегральная функция ограничена (предполагается, что объединение 6„6„...
совпадает с 6). Если существование этого предела не зависит от последовательности областей 6„6,,, и сам предел конечен, то соответствующий несобственный интеграл называют сходящимся. У тех интегралов, с которыми мы будем иметь дело в этой книге, подинтегральные функции при стремлении хотя бы одного из аргументов к бесконечности убывают столь быстро, что сходимость становится очевидной. В случае неотрицательных функций (например, в случае плотности вероятности) всегда имеется конечный нлп бесконечный предел, независимо от выбора последовательности областей 6„6,,.... Таким образом, здесь при исследовании сходимостп можно ограничиться простейп1ими последовательностями областей. у 1», Бета- и гамма-функции 71 Формула замены переменных (2) остается справедливой и для несобственных интегралов.
Это же оцносится и к последовательному шмегрированию (1), если только интегралы от обеих частей (1) сходятся. $ !2. Бета- и гамма-функции А, ГАММА-ФУНКЦИЯ Эйлерова гамма-функция Г(з + 1) для а -1- 1 > О (или, в случае комплексного аргумента з, для Ве (з + 1) > 0) задается формулой Г(з + 1) = ~ х» а-" !х. (1) о Несобственный интеграл (1) определяется как предел собственного интеграла х» а-»»!х о (!а) 1 если же положить х =, 1», то получим х' е» ~ 1 1 е ' »!1=2 Г(з-к!).
о или, обозначив 2а+ 1 = п н заменив ! на гг»»г, (В! В частности, л=») " а=1»е(-). при 1-, поэтому интеграл (1а) называют неполной гамма- функцией. С помощью подстановок интегралу (1) можно придать другой вид: если положить х = аг, то получим !» е-ш е(! = а-<»г и Г(з + 1), (2) о 73 З та. Бета- и гамма-финкции О~сюда, пользуясь функциональным уравнением (5), можно определить Г(2/2), Г(2/2) и т.
д.; например, (1! ) в. площлдь повгяхности многомвянои соевы Если вместо (7) рассмотреть и-кратный интеграл по всему пространству 7= ... е '- ' " ((х(...да„, (12) то, с одной стороны, получим х —.-/( ' 21 =[ггг(-)] =(2 (е, ((е( а, с другой стороны, переходом к и-мерным полярным координатам (3 11) найдем 1=( г !ге=2* г( — (!га О(( О и 2 з ~ ~!Я,2 !2) (15) Например, если и = 3, то правая часть (!5) равна известной со времен Архимеда площади поверхности шара единичного радиуса: Точно так же и (15) с геометрической точки зрения можно истолковать как площадь поверхности шара единичного радиуса в и-мерном пространстве. где интеграл ) г(21 распространяется на всю область изменения угловых переменных р„ ..., у„,.
Сравнивая (13) и (14), полу- чаем 74 Гл. П1. Математи 1гскив всиомагатсльныг средства г. ФОРму.1к стирлингк Выведем асимптотнчсскую формулу для гамма-функции Г(Л вЂ”, 1) == ~ .1а е — ' а1.г о при больших Л. Максимальное значение подннтегральной функции 7'(х) = х' етк достигается в точке х = Л. Для х, близких к Л, логарифм подинтегральной функции можно разложить в ряд 1п 7(х) = л 1пЛ + Л 1п-„- — х = =Л1 Л „.Л ( 1*:,~.' '+...) х= =Л1пЛ вЂ” Л вЂ” ( -,, ' +..., 1 7(х) =Л е е (! 6) Если (х — Л~ меньше Л, то главный член ряда будет больше остальных членов, обозначенных от точием..., и поэтому имн можно пренебречь, Если же х — Л является величиной того же порядка, что и Л, а Л велико сравнительно с единицей, то дополнительными членами также момсно пренебречь, так как в этом случае как 1(х), так н правая час~ь (16) исчезающе малы.
Следовательно, если отбросить дополнительные члены и проинтегрировать правую и левую части (16) от 0 до, то получим 1 1 1 1 — — 1» — а' Г(Л+1)-Л'е ~е -' ' агх=Л ае ')е '- с(б о — 1'» Асимптотическое равенство означает, что отношение обеих сторон стремится к единице при Л . Справедливость аснмптотического равенства не нарушится, если нижний предел интегрирования — )гЛ заменить на — оо Воспользовавшись (4) и (10), получим формулу Стирлпнгаг 1 Г(Л+ 1) -Л '-' е ' )12:т.
(17) Если возьмем более точное разложение для 1(х), то найдем для гамма-функции более точное приближение'. 1 Точный вывод равенств (181 и 119) с оценкой остаточного члена и дальиейшее их уточнение можно найти в книге Крамера Г., Матеыапческие методы статистики, р!Л, М., 1948, й 12,5 — 1грам. рсд. у И. Бета- и гамма-функции — 1 1 Г(Х + 1) =й '- е )121111 -',- —.— — Л~ 127 (18) где остаточный член — Л отрицателен и является величиной порядка й -". Последний множитель в (18) можно записать как 1 -1- д/12, где 0 < е с 1.
В частности, для целочисленных А = п нз (! 7) следует асимптотическое равенство и! и" е-" )I2:тп. (19) д. ветх-Функция Эйлерова бета-функция задается формулой В(р + 1, у + 1) = ! ха(! — х)а Их. а (20) Если оба параметра р и у по величине больше, чем — 1, то этот интеграл сходится. Подстановкой п = ах получаем а ~иа(а — а)гага = па+а+1 В(р+ 1, д + 1). а (21) Подстановкой х = з1па р получаем В(р -1- 1, д -1- 1) = 2 ( з1пзача р соим+1 р Ыр.
о (22) Для того чтобы вычислить интеграл (20), рассмотрим двойной интеграл 1 —. <к' еич за+1 за+1 Х= ~е з х у г(хну, 1 Г 1 --к га'1 Г --и' зае1 1=)е 1 т г1х ~е з у г(у= о о (23) С одной стороны, интегрируя последовательно по х и по у, согласно (3), получаем 76 Гл. 1П. Мател~атическае всаамагательн!ле средства С другой стороны, переходя к полярным координатам, на- ходим =2р Г(р+ у+2)' В(р+1,7 ( 1) = = 2р+в Г (р + д + 2) В(р + 1, !7 + 1).
(24) Сравнение (23) и (24) показывает, что Г(р+1)Г(д+1) =Г(р+ д+2) В(р+1, а+1), таким образом, В( +1, +1)= — (~ Г(р+ д+ 21 (25) Следующий интеграл можно свести к бета-функции: К = ) (г' + а)-ггт(г (г > — 1, 21 — 7с > 1, а > 0). (26) а А именно если положить а (г' -1- а)-' = у и, следовательно. гз = ау-'(1 — у), то этот интеграл преобразуется так: 1 ье! Г вез г †! ьв! — — гГ !-— в — ( 2+1 2+1) К= -а )у ' (1 — у) Ыу= — аз В(1 — —,„ 2 ) 2 ( 2 ' 2 о илн, согласно (25), ь-!-1 — — ! а' (27) В частности, для (с = 0 имеем у 11 Г(1 — — 1 У (г' + а)-' е(г = ' аг а 2Г (11 (28) ! à — — е зр 1=')е - 'е о е зв е з Г зв е ! . зр + ! Й' ~ соз !р 61п !р ач! = о Е 13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
