Б.Л. ван дер Варден Математическая статистика (1960) (1186203), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Это вызвано тем, что выборочное среднее М является суммой множества слагаемых, каждое из которых обладает лишь относительно малым квадратичным отклонением. Следовательно, согласно центральной предельной теореме, распределение М близко к нормальному распределению. Это тем более верно, если уже сами отдельные х; имеют приближенно нормальное распределениее. Применение сформулированных выше правил требует знания средней ошибки сгм. Можно ли, применяя эти правила, вместо истинной средней ошибки сслг — — х/1'и воспользоваться се выборочным приближенным значением вм — — вДху Для ответа на этот вопрос мы должны сначала исследовать величину отклонения вз от хе или, иными словами, найти функцию распределения случайной величины в', 9 27.
Распределение ьз А. СВЯЗЬ С РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ Х Пусть х„ „., х, — независимые одинаково нормально распределенные случайные величины со средним значением х = а и квадратичным отклонением' о., и пусть снова ' Если хт,..., хл имеют различные квадратичные отклонении хм..., хч, то вместо х; можно внести новые величины х! — и х,= —, которые раслрелслены окннаково нормально с нулевым орели им значением н единичной дисперсией.
140 Гл. У1. Гадссова теория ошибок и критерий Стаюдвята М = — ~ч„х„ аз = — л~; (хв — М)'-, (2) Какова функция распределения случайной величины лз? Вместо аз удобнее рассматривать величину Уз =, = — в.л, (х, — М)' которая не изменяется при изменении масштаба на оси 0х. За- меной х на (х — а)/сг мы всегда можем добиться, чтобы среднее значение и квадратичное отклонение удовлетворили условиям: х = 0 и сг = 1, В этом случае Хх =.Х (хг — М)' = Х У вЂ” ама = ~ в — 1 (Ъ' х1)х, и плотность вероятносзи для каждого х, равна 1 и) =+ ))(2 Так как х„,, „х„независимы, то их совместная плотность вероятности равна произведению Отсюда, по теореме П ~ 4, следует, что искомая функция распределения б(а) =- Р(уз ( а) равна тг-кратному интегралу' С(м) = ~...
~ ~(хы..., х„) с(х,... Юх„= к*к и ....--(*'-'*.) х,... х„. х' и (4) т Обозначение переменных интегрирования и случайных величин одни. ми и теми жс буквамп ко .., ав логически не корректно, но улобно. Такие функнин от хо как и, д' и появляющиеся в следующем разделе р„, йт носят двоякий смысл: как случайные величины и как функпии от переменных интегрированна. З ЗУ. Распределение ех Б. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА Область интегрирования тх(22 является внутренней частью пространства, ограниченной поверхностью второго порядка тх= и или ~ ха — — (~ хе)2 = 22. В случае п = 3, как легко убедиться, эта поверхность представляет собой некоторый цилиндр, расположенный в пространстве переменных х,,хх, х,. Постараемся ввести такое ортогональное преобразование координат, при котором ось цилиндра переходит в первую координатную ось новой системы координат.
С этой целью в качестве первой строки этого ортогонального преобразования выберем 1 1 1 у, = = х, + = х, +... + — х„= М )сп. Сумма квадратов коэффициензов этой строки равна единнпе, поэтому, согласно Э 13, мы можем найти остальные н — 1 с~рок ортогонального преобразования у,=а„х,+а„х,+... +ае.х„ у„ = а„, х, -1- а„, х, + ... + а„„ хп Если теперь мы выразим тх через новые переменные, то, в силу равенства ~ х,' = Р,'у,', получим 1 Хх = ~ хх (Л х )2 = ~ у2 ух = у2 + + у2 (5) Таким образом, поверхность с уравнением тх = и действительно является цилиндром. Модуль функционального определителя ортогоналыюго преобразования равен единице, поэтому преобразованный интеграл имеет вид пГ Г хг ° ° 6(а) = (2п) 2 ~ ...) е 2 ( ' ') е(ух... Ыуее х'<и Так как уравнение границы области интегрирования не зависит от у„то мы можем произвести интегрирование по у,: 6(и) = (22с) У) е 2 ' с(ух)...
) е 2 ~ ' "ле(ух... Ыу„= х'<и = (222) ~ ...) е 2 "' " йух... слу„ (6) х .и где для краткости положено Л = (и — 1)У2. 1»2 Гя. И'. Гпдееевп теория ошибок и критерии Стьюдентп и 1 Г Л вЂ” 1 — „ь 6(а) =а~ о е - "е(о, о 1 . 1 и — 1 2лг(х) ' " и Ранее этот результат был очень просто получен с помощью »характеристической функции».
Однако иитсграл (6) можно вычислить и независимо от предшествуя»щих результатов, воспользовавшись преобразованием к полярным координатам (2 11). Первая из полярных координат, обозначаемая обычно буквой т, в нашем случае называется т, так как те = уо -1-... + уо. Таким образом, получаем 1 6(и) .= (2:т) )...
) е '"' у п»ХЛУЫ. е'~ и Так как условие )(1 < и пс зависит от у!.ловых координат, то можно произвести иптегрировавие по е(»е: 1и 1 С(и) =- (2 ) ~)айте ' Х 'Х. о В силу результатов 2 12, а также в силу того, что б = (п — 1)/2, е1Я =- —,-:т", 2 1'(х) следовательио, 1 2 1'Р.)6(и) =2~в ' Х (Х о Вели у„..., у„сл!итать случайными геличипами. то результат (6) можно получить еше болсе простым путем.
Плотьость вероятности для у та же самая, что и для х: и 1 и 1 (2:т) - 'е» = (2:т) - "е так как хв =- я у-', Следовательно, у,...., у, — пезависимые одинаково иормалыю распределенные случайпые величины с нулевым средним зпачеиием и едппичиой дисперсией. Случайная величипа Х» = уо -1-, + Д„' пе зависит от у,, поэтому ес функция распределения может быть найдена интегрированием только по у,,..., у„. В этом и заключается результат (6). Как было доказано в 6 23, функция распределения суммы квадратов по +... + у» является фуцкцисй распределения то с Г = в — 1 степенями свободы: д аг.
Распределение сл 143 Если теперь в качсстне новой переменной интегрирования выбрать с = Хе, чо получим в точности ту же формулу, что и (7). Интеграл в праной части (7) является неполной гамма-функцией. Соответствукнпая плотнс,сть вероятностей равна 1 1 — 1 — -и д(и) =ии е е для и> О.
(8) В. НЕЗАВИСИМОСТЬ М И Х Тем же методом можно определить вероятность одновременного осуществления двух событий; Хе < и и Ь вЂ” М < с, где Ь и с — произволы!ые числа, удовлетворяющие условию Ь < с; Р = ~... ~~(х1..... х,) е)х1... Ых„, х (и Ь*иМ < с Действительно, если ввести то же самос ортогональное преобразование координат, которое было указано выше, то получим произведение двух интегралов: в первом интеграле интегрирование производится по переменной у, В пределах от Ь(гги до с)7п, а во втором — по области интегрирования Хе < и, не зависящс!! от у,: е 1'л 1Г 1 !' Г Р=(2я) '~е '-' 'йу!(2:!) А)...) е ' ауе...е(у„= 1' и 11л Таким образом, при любых и и Ь < с вероятность одновремен»ого осуществления двух собьпий Ь:- М < с и О =; Хе < и равна произведению вероятносчей этих событий, Это и означает, ч го случайные величины М и Хе независимы.
Следовательно, совместная плотность вероятности пары случа!!ных Величин (М, Хе) равна произведению пап!настей вероятностей М н Хе, Плотность вероятности М нормальна с квадратичным отклонением егм, а плотность вероятности Хе задается формулой (8). Г. СРР;!НЕЕ ЗНАЧЕНИЕ И ДИСПЕРСИЯ Х Среднее значение и дисперсия случайной величины !Е' = Хе были уже указаны в ~ 23; их можно легко получить непосредственно по формуле (8): 144 Гя. Н1. Гарссова теория ошибок и криелерий Стоюдента Я(!=а)ии е и е!и= в, 2 ' Г(Л+1) =2Л =/= п — 1, о 1 х-а — — и Г' Гт1а= а~ иа и е о а я с(и = —,— „2 .Г(Л + 2) = хат !Л!- = 4Л(Л + ! ) = /а + 2/, Яа — (Я фа = 21 = 2 (и — 1).
(9) его — — Я Ранее было устано влено, что 3 /82 (1О) Поэтому среднее значение ее равно о' (этот результат был получен в й 26 (16)), а квадратичное отклонение в' равно -„, = -,')/2/= -а ӄ— ',. (1 1) т См., например, С л у ц к н й Е. Е., Таблицы Аля вычисления неполной Г-функции и функции вероятностей Х*, нал.
ЛН СССР, М., 1950.— Прим. перев. д. довеРительныг ГРАницы для 8' Значения функции 0(и) можно определять с помощью существующих таблиц неполной гамма-функции'. Эти таблицы позволяют найти такую границу К, для которой событие та < К имеет заданную вероятность. Если положим а(К)=р(, <К)=1 — ~ и выберем, например, б = 0,01, то К будет являться верхней границей для уа, причем уе лншь изредка будет превышать границу К. Если же положим б(К') = Р(ха < К') = Р, то получим нижнюю границу, К', причем лишь в редких случаях уе будет меньше этой границы. Случайные величины та и еа/с и связаны соотношением (!О), следовательно, верхняя граница для ее/аа определяется верхней границей К для леа, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
