Б.Л. ван дер Варден Математическая статистика (1960) (1186203), страница 27
Текст из файла (страница 27)
За меру проигрыша Гаусс принял квадрат (Т вЂ” д)«и потребовал, чтобы оценка удовлетворяла двум условиям: во-первых, она не должна иметь систематической ошибки, т. с. 6Т = д, и, во-вторых, дисперсия оценки ЯТ вЂ” б)', являющаяся математическим ожиданием проигрыша, должна быть наименьшей. Затем он доказал, что эти условия минимизации приводят в точности к методу наименьших квадратов, Если результаты наблюдений имеют различные квадратичные отклонения с,,..., тт то вместо формы (2), естественно, появляется форма (хь — дд* (໠— д»)' 1 (* — д )' (4) » 2 » а» о'» о„ или форма Я=д,(х,— б,)»+... + д„(х„— о„)», (5) (если, как и в Э 26 Б, ввести веса д„..., доо обратно пропорциональные дисперсиям ег«,..., х»). В применениях этого метода к биологическим и экономическим задачам разности х, — б«являются не ошибками наблюдений, а отклонениями величин х, от их математических ожидании бь Величины х, предполагаются независимыми и случайными.
Их математические ожидания Ко согласно (1), зависят от неизвестных параметров до..., йа В качестве оценок для д„..., д, принимают такие значения этих параметров, для которых форма (5) достигает своего минимума. При отыскании минимума полагают со+ м (б) д 30. Выравнивание ошибок наблюдений 157 где бо, — предварительные приближенные значения для йо а и, о,... — поправки. Г1редполагается, что при малых и, о,...
функции (1) можно достаточно точно приблизить линейными функциями К, = Ьо + а и + Ьр +.... (7) Величины Ьюе являются приближенными значениями д, соответствующими предварительным приближениям Юо: ©о д, (йо) В качестве коэффициентов ар Ьо... линейных приближений (7) можно выбрать значения частных производных от функций (1) в точке (й'„..., й",): (8) Для упрощения вычислений мы будем предполагать, что начало координат в пространстве переменных х„..., х„перенесено в точку (йто,...,ьсо). Таким образом, вместо х, мы вводим в качестве новых переменных наблюденные отклонения со (9) Их математические ожидания равны: Л, с Ро аи+ Ьо+ (10) Форма (В теперь запише7ся так: О = ~ д,(1, — Л,)о =,р, д (1, — а,и — Ьр —...)'. (1 1) Координаты (и, о,...) точки минимума этой формы удовлетворяют системе уравнений, получающейся приравниванием нулю частных производных (11).
После деления всех производных на 2 получаем ~~'„дав (а,и+ Ьр+... — 1,) = О, ~д,Ь, (аеи+ Ьр+... — 1,) = О, (12) Если, следуя Гауссу, для краткости ввести обозначения ~ д,а', = [даа), ~~'„да,Ь, = [даЬ),..., то система уравнений (12) сведется в конце концов к системе нормальных уравнений [даа)и + [даЬ)о + ... = [да1), [дЬа)и + [дЬЬ)о + ....= [дЬ1), (13) 188 Гл. УП. Метод наи.ненаших квадратов Количество нормальных уравнений равно количеству неизвестных параметров Юы..., Ю,. Если все наблюдения равноточны, то можно считать, что все весовые множители д, равны единице, В этом случае (13) запишется более просто: [аа)и + [аЬ)а +... =- [аЦ, [Ьа)и + [ЬЬ)о +...
= [Ь11, В способе записи нормальных уравнений я возможно ближе придерживался традиции, берущей свое начало от Гаусса. Вве дением матричных обозначений запись системы уравнений можно бы было несколько сократить, однако старомодный способ записи (14) очень удобен для приложений. Обычно да ар Ьа и записывают сголбцами и затем вычисляют коэффициенты [аа) или [даа) и т. д. Системы уравнений (13) или (14) всегда имек1т решение, так как положительный квадратичный многочлен всегда достигает минимума. Однако решение не обязательно является однозначным.
Может случиться, что нормальные уравнения однозначно разрешимы лишь для некоторых определенных линейных комбинаций параметров и, а,..., а относительно самих и, а,... однозначного решения нет'. Следуя индийскому статистику Рао'-, такие линейные комбинации параметров мы будем называть долусканхцалти оценку. Чтобы исследовать точнее, какие функции параметров допускают оценку, рассмотрим линейные формы А„=ам+ Ьр+....
(15) Пусть среди них имеется, например, ровно р линейно независимых форм (р г). Без ограничения общности можно считать, что ЛИНЕЙНО 1ЕЗаВИСИМЫМИ фОРМаМИ ЯВЛЯЮТСЯ Лы...,А И ЧтО ВСЕ остальные Лреы...,Л„через них выражаются линейно, поэтому (11) можно записать в виде квадратичного многочлена, зависящего только от Хы...,Ар. Квадратичная часть этого многочлена представляет собой сумму р и и р л, д ла + л,.„д ) а = .."„д(аи + Ьа -1-...)а -* ~ д7а - (), 1 1 ч=рч1 1 1 3-1 где л, при а'> р являются линейными комбинациями лы...,лр.
Эта сумма обращается в нуль тогда и только тогда, когда все ' Этот случай осуществлнетсв тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы (13) или (14) строго меньше количества уравнений и неиавестных г. — Прим. перев. В во С. В., Адтввсет) Яьаиаи Меа)хода ш Вшшеьт)с Вевевгсв, )Чем Уст)т, 1982. 4 ЗО.
Выравнивание ошибок наблюдений 159 Ао...,кр равны нулю, поэтому она поЛожительно определена. Как известно, всякую положительно определенную квадратичную форму порядка р невырожденным линейным преобразованием переменных можно привести к сумме р квадратов: 1=ре1 где !л1 (! = 1, 2,... р) — независимые линейные формы от А, ,к„. Форма ('„! получается из этой квадратичной формы добавпением некозорой линейной функции от Хо ...,Ар, поэтому при данном линейном преобразовании (е будет иметь вид й! = (и' — с1)в л-... -';- (ра — са)в — ' (со)з. Эта форма достигает минимума (св)е в точке Гл' = с'... !лр = ср Гледовательно, елл,..., рР, а вместе с ними и к, допускают оценку. Отсюда заключаем, что. Только те линейные формы параметров и, о,...
допускают оценку, которые представимы в виде линейных комбинаций форм (! 5). Если вместо прежних переменных и, о,... ввести новые переменные ко...,кр, то относительно последних система нормальных уравнений будет однозначно разрешимой. В дальнейшем мы будем предполагать, что такая замена уже произведена, и поэтому система нормальных уравнений имеет единствешюе решение. Простейшим способом решения систем (13) и (14) являезся совсем примитивный школьный способ, указанный еще Гауссом.
По этому способу первое уравнение разрешают относительно и н результат подставляют во все остальные уравнения и т, д При вычислениях целесообразно в левых частях (13) и (!4) заменить символические коэффициенты их числовыми значениями, а свободные члены справа оставить неопределенными. В этом случае решение будет представлять собой линейные комбинации свободных членов: и = Ь" [да!) + Ь" (дЬ1) +..., = Ьга (даЦ + Ь" (дЬ!) +..., (1б) где Ьм — элементы матрицы, обратной матрице коэффициентов системы (13). Вычислив и, о,..., находят 9 по формулам (б) и к — по формулач (1О).
Так как результаты этих вычислений представляют собой не истинные значения 9 н Л, а лишь оценки этих параметров, Гл. е11, Метод наименьшие каидратоа 160 то мы обозначим их с и л. Зная л, можно получить оценки для ь по формулам ьа — 66+Л и оценки поправок ссс для наблюдений' )с, =Ьтс — хс — — Л, — 1о (17) Если оценки д сильно отклоняются от началыюго приближения йв и если функции (1) пе являются линейными, то вычисления нужно повторить еще раз, приняв за начальное приближение д вместо и" При практических расчетах контроль вычислений, безусловно, необходим.
В качестве одного нз способов контроля можно использовать то обстоятельство, что величины йо согласно (12), должны удовлетворять условиям: (даЦ = О, (дЬЬ) = О, (18) Другой способ контроля основан на вычислении минимума Я для формы Я, определяемой равенством (11). Значения Ло при которых форма 9 достигает минимума, в точности равны ло поэтому имеет место равенство Чс = ~ дс(1; — Л;)' = ~ де7сз =-.
(д7с7с). (19) С другой стороны, простое выражение для 9 можно, согласно (18), получить так: ч) = с.„' д;(Л, — 1,) (Л, — 1,) = ~ч." дс( — 1, + а,а -(- Ь,.о -1- ...))с. = =- — (дИ) + 1да3с)н -~- (дЬЦо +... = — (д()с). Если теперь 7сс снова заменить на Л, — 1о то найдем." ф = (дИ1 — (даЦи — (дЫ)о —.... (20) Формула (20) служит для вычисления ее, а (! 9) — для контроля. Согласно (16), и, о,...
представляют собой линейные функции от наблюденных отклонений 1; = х, — Д; а = ат(т +... + а„1„, о=Рт1т+ +1~~1. (21) т У Гаусса оценки поправок обозначаются Ль 161 б 30. Выравнивание ошибок наблюдений Коэффициенты ар)бс,... можно легко вычислить по формулам (!6): ас = дс (Амар -~- й"Ьс +...), (22) Для практических вычислений формулы (21) и (22) не имеют никако~о зпачения, но они нам понадобятся в следующих параграфах для вычисления дисперсий. !! ример 78 (из книги Не!лаете Р.
14н Г)!е Апвб(е!с)лпшбэгес)лпппб, Т.е(рх!8, 1872).!!ри построении триаигуляииовиой сети Швердом в районе Шпейера определялись углы между изправлевиямя из основного пункта В' в пункты А„В, И', Н и Х. Шверд произвел многократные измерения, арифметические средние которых указаны пижс: ВА (90 измереиий) !9'25'59",42 Втд !80 измерений) 34'18'43",61 АИ' (70 измерений) 14'52'44",33 Нт)г !20 измерений) 15'34'58",80 ВН (20 измерений) 18'43'45",60 7лГЛ (40 измерений) 12*26'24",65 Вдт (60 измерен ий) 6'59'34",51 7есН (20 измерений) 11'44'! 1",60 Миогократиостью опытов удалось в значительной морс компеисировать ииструмеитальиыс ошибка.
Следовательно, мы можем предполокать, что наблюдения лишены систематических ошибок, и выбрать веса д пропорпиоиальнымн числу измерений. За нензвестные й; прилселс четыре угла: ВЛ', ВН, ВА и Втд, через коеорые можно выразить все оста.тьные. В качестве начальных приближений выберем измеренные значения этих четырех углов; таким образом, мы получим бл =. Вдд = 6'59'34",51 + и, б, = ВН: 18'43'45",60 1- с, й, =. ВА = 19'25'59",42+ и, б, = ВИ' = 34'18'43",61 -)- с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
