Б.Л. ван дер Варден Математическая статистика (1960) (1186203), страница 23
Текст из файла (страница 23)
гдлпл \ч ГАУССОВА ТЕОРИЯ ОШИБОК И КРИТЕРИЙ СТЬЮДЕНТА В этой главе предполагается известным содержание гл. 1 — 1Ъ, а также центральная предельная теорема н понятие о распределении гэ из ~л, 1. 5 26. Гауссова теория ошибок л. РАВноточные нлвлюдвния Повторпыс измерения физической величины, даже если эта величина в процессе измерений остается постоянной. не всегда дают одинаковые результаты: наблюденные значения х вменит некоторый разброс около среднего значения х, Разность х — х, по Гауссу, называется глрчайной ошибкой одного наблюдения.
Среднее значение х пе обязательно равняется истинному значению измеряемой величины, так как наблюдения могут содержать систенапишгскую ошибку, которая возникает как следе~вне принятого метода измерений. Прн известных условиях влияние систематической ошибки можно понизить улучшением измерительной аппаратуры или добавлением к резуль~атам измерений надлежащих поправок, Вопрос устранения систематических ошибок выходит за рамки статистической теории ошибок, которая посвящена лишь случайным ошибкам х — эл В теории ошибок всегда предполагается, что случайная величина л имеет конечные среднее значение х и квадратичное отклонение о.. Иногда делается еще дополнительное предположение о законе распределения ошибок; однако сначала мы постараемся выяснить, как далеко можно продвинуть эту теорию без определенных предположений о распределении ошибок.
Следуя Гауссу, квадратичное отклонение ~г называют средней ошибкой наблюдения. Осредненнем многих наблюдений среднюю ошибку можно понизить. Л именно, согласно й 18, выборочное среднее нз и независимых наблюдений — 1 М=х= '~'л и 3 имеет то же среднее значение м, что и отдельные наблюдения х, и средняя ошибка М в )гп раз меньше средней ошибки л,: О" о'м = )э) )'и б 26. Гауссова теория ошибок 136 Для того чтобы можно было судить о точности М как оценки для х, нужно найти приближенное значение для т'-.
Как показано в 3 18, в качестве приближенного значения принимают вз = —. ~'(х! — М)'-'. 1 сг я (4) а ва ам= „' Если количество наблюдений я велико, то в,и является хорошим приближением для средней ошибки с-л,. Найденное выборочное среднее М и его выборочную среднюю ошибку за!обычно объединяют в выражение М -1- зм. !!рияер 75. Повторные определения широты Капштадта в течение периода с 1892 по 1894 г. (СвцЬег, %аЬ)яоиош!и Ысе!(згсс1шппб, Бсжр!с! 7,(гу) дали 15 результатов, указанных в таблице.
Отбрасывая градусы и минуты, найдем ныборочное среднее 48",92 М = .' .—.3", 261 15 в — а !» — а)' и в качестве округленного начала отсчета выберем а = 3",26. При вычислении вз за новуш елин ицу принята 0", 01 ($18,2). 11оправочный член — я (М вЂ” а)' в данном случае столь мал, что ни можно пренебречь. Такнл) образом, находим 3406 вз =: — = 243, !4 следовательно, в = 16; 243 ем= — = 16, !5 следовательно, вм =- 4. Результат можно записать н виде символического раненства: 48",92 ! + 2 ! 3406 а — — 33'56'3",26 .„'- 0",04. Для дисперсии выборочного среднего М соответствующее приближенное значение равно 1,-33'56'3",48 2 3",50 3 3",50 4 1 3",32 5 1 3",09 6 ! 2",98, 3",о! 8 ) 3",28 9 3",27 !О ~ З",20 з",зо 12 ! 3",25 13 / 3",11 14 / 3",ЗО 15 3",27 +22 '24 ~ -г 24 + б — !7 — 28 — 19 + 2 — 6 — 15 + + ! 484 576 576 36 289 784 361 4 1 36 16 ! 225 16 1 136 Гя.
У1. Годссоои теория ошибок и критерий «".тьюденто в, нерлвноточныв нлвлюдения Если отдельные наблюдения имеют различную точность, то прн образовании среднего их естественно снабдить различными весами и вместо (1) построить взвешснное выборочное среднее, которое мы снова обозначим буквой М: М =- д, х, +... + д„х„. (6) При этом сумма вссов дол'ю«а быть равна единице: д, +... + д„= 1.
Как извсстно, этот квадратичный относительно д,,..., д,, многочлен достигает в некоторой точке минимума, если всс его частные производные по д,,..., д„, в этой точке обращаются в нуль. Дифференцируя по д,, находим 2д, о-,' — 2(1 — д, —... — д„,) о.„' = О или Точно так же, дифференцируя по д,, найдем де "и = д» «г 2 2 и т, д.
Это означает, ч о веса д,,..., д„долхсны быть обратно пропорциональны квадратам средних ошибок отдельных наблюдении. Прн вычислениях дополнительное условие (7) удобно отбро. сить, заменив д величинами, пропорциональными весам. Тогда вместо (б) нужно написать д,и«+ ° ° + д»х» . дх д«+'' +д» д, должны быть обратно пропорциональны дисперсиям о~: (10) д« дз ' ' ' ' д» «г1 «г2 (11) Среднее значение и дисперсия М равны «о М = д, х, +...
-!- д„х», (8) а'~я« = де««е«о +... -1. д,";о~, (9) Если все х; имеют одно и то же среднее зпаченне х, что мы и будем впредь всегда предполагать, то (8) превращается в равенство и) М =. х. Спрашивается, каким образом нужно выбрать реса др чтсбы средняя ошибка ом была наименьшей? Из (7) и (9) следует, что «гм =: д«а«+ ° ° ° + д — «" -«+ (1 д« вЂ” ° ° д»-«) '" ° д об. Гоассово творил ошибок 137 Положим теперь д. о~ = сге ! с (12) н назовем о. «средней ошибкой наблюдения на единицу веса». В данном случае вместо (9) получим Д дс а, (~ )' илн, если воспользоваться (!2), а* а~м =' 2л По результатам наблюдений можно вычислить приближенное значение для а', а именно (13) в- == — — ~ д,(х, — М)'-. 1 (14) следовательно, согласно (14), с во=а' (16) В силу (13), для дисперсии сгм взвешенного выборочного среднего М получаем приближенное значение вв в! (17) Формулу (17) можно применять лишь тогда, когда известно, что веса правильны, т.
е. обратно пропорциональны дисперсиям о . Если веса заменены нх приближенными оценками, то при выводах надо соблюдать осторожность. При вычислении вв можно М опять заменить каким-либо близким числом а и затем из результата вычесть (~, д) (М вЂ” - сз)': вв = 1 (~ д(х — п)з — (~ д) (М вЂ” х)в1. (18) Оправданием формулы (!4) служит то, что среднее значение в~ равно а.в, Доказательство вполне аналогично приведенному ранее доказательству формулы (10) в $ 18. Для упрощения вычислений мы предварительно выберем начало отсчета на оси Ох так, чтобы выполнялось условие х = О. В этом случае имеем со и~ д,(х, — М)о = ст( ~" д, х,' — 2 ~ д, х, М + г д,.
Мо) = д Я х', — ЯМ') ~ д; =. = ~ д, о ~ — о з„~ дс = и сгв — сге = (и — 1) ав, (15) 138 Ге. РД Га!тесова «пеория ошибок и яри«лерид Спшюдеиша Г)ример та. Лля определения периода колебаиий физического маятника фиксировались 20 последовательных момситои прохождеи ия этого маята яка в идиом и том жс иаправлсипи черезположсписраииовссия. Пусты„..., е,— зафикспроваииые момситы времсии. С помощью этих двадцати иаблюдеипй можно построить десять иезавясимых оцсиок для периода т, а пчеиио: 1 т«(!««! ) 19 1 т, =. — (е„— г,), 17 2"«« = Рм — '««) Если все разиости (е! — )а) имеют о типа ковтю средиюю ошибку «г, то Т,,..., Т,«имеют средние ошибки о «т о 19 соответственно.
Поэтому в качестве весов можно выбрать числа д, = 19', д, = 17',..., д,« -— - 1"-. Таким образом, взвешенное выборочное среди«с раиио 19'Т« -!. 17« Тл -1- .. -!- 1' Т«« Л« =— 19' -1- 17'+ ... -!- !' Средняя ошибка «гм взвешенного срсдиего Л задается формулой (13)! «гл «гМ = 19« + 17' ж ° ° + 1* «лля оценки «гл можно воспользоваться формулой (14): ал = (19' (Т, — М)э+ 17' (Тл †.!1)~ +... + 1«(҄— М)'). 9 Однако эта оценка ис очсиь точна, так как в иес входят лишь 10 разиостей е,л — 1,, йл — !» ..., ем — е,«. Если использовать исс 20 паблюдеиий и вычислить квадраты их отклоксиий от «ликии регрессии«, которая, в иекотором смысле, иаилучшил! образом сглаживает наблюденные точки, то с помощью суммы квадратов таких откюисиий можио вывести лучшую оценку для средней ошибки отдельиого иаблюдсиия е«, а эиачит, и лучшую опенку для средней ошибки раэиостсй ее — )*.
К этол«у мы верисмся в 5 32 в 33. В. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДл«ЛЬНИ!! ВЫЬОРОЧНО! О СРЕ)!НЕГО М До сих пор теория не зависела ни от каких специальных предположений о функции распределения случайной величины х, Гаусс обычно предполагал, что рассматриваемые случайные величины распределены нормально.
Для обоснования этого предположения Гаусс выдвинул «гипотезу элементарных ошибок», которая гласит, что обшая ошибка наблюдения является суммой большого числа независимых малых ошибок, порождаемых раз- 139 В Зд Распределение Ф личными причннамн н обладающих малыми дисперсиями, Таким образом, справедлива центральная предельная теорема (9 24 Г): Сумма очень большого количества независимых случайных величин, дисперсия каждои из котпорых составляет лишь малую часгпь от дисперсии всей суммы, имеет приближенно нормальное распределение. Если, следуя Гауссу„предположить, что все х; подчиняются нормальному распределению, то их сумма, а значит, и выборочное среднее М, будут тоже иметь нормальное распределение. Поэтому имеет место правило: .4бсолютная величина разности М вЂ” х с вероятностью 0.95 меньше чем 1,96сгщ и с вероятностью 0,99 меньите чем 2,58хм, где ам — средняя ошибка М. При больших и указанные правила справедливы даже тогда, когда величины х,,..., х, имеют распределение, отличнос от нормалыюго.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
