Б.Л. ван дер Варден Математическая статистика (1960) (1186203), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Унтегрпеы Фурье и предельные теоремы 112 1пп д„(и) = д(и) то 11т ~ д„(и) ас'(и) = ~ д(и) аР(и). (8) Доказательство можно найти в теории интеграла Лебега. Из этой теоремы непосредственно следует, чзо характеристическая функция оь(1) непрерывна по й г. моменты Моненпгом и-го порядка случайной величины х называют математическое ожидание х": о — ь хл — ~ и» ар'(и) (9) Обобщая это понятие, можно построить моменты относительно точки с: ьо(х — с)л = ~ (и — с)».ас'(и) (10) Особенно важное значение имеют моменты относительно математического ожидания рс с (Х х)л ~ (а х)л о(гг(и) Очевидно, что ро = 1 н р, = О. 2хе равен дисперсии: 2ге =. о = б' (х х) .
Интегралы (9) сходятся лишь тогда, когда Р(и) нрн и доста~очно быстро стреми~ся к нулю, а прн и — »ь достаточно быстро стремится к единице. Если для данного и интеграл (9) сходится, то говорят, что момент о„суи(ествуепь В этом случае интеграл ~ 0(и) аР(и) конечен и длл всех действптельнььт и сугг(ествует предел (7) Д 21. Характеристические фднкчии 11З Ч>гп>(!) — яп ~ цп Еин ~2Я'(ц) (12) Докажем справедливость этой формулы для первой произ- годной; для остальных производных доказательство будет точно гаким >ке.
Рассмотрим отношение приращений ,(г -)- ь) — р1 Ь н устремим 6> к нулю. Предел дроби 1 т;»„ясп - Ьи е>ьи 1 В ' и » * - =- в — .- >'ц — Ьи 2 равен яц и абсолютная величина дроби не превосходит !ц(. Из теоремы непрерывности, сформулированной в разделе В этого параграфа, непссредстгенно вытекает, что (!4) Так как а„ существует и подинтегральная функция в (12) непрерывна по 1, то р!и>(!) также непрерывна по й Для ! — — 0 1и'лучном ~р!н>(0) = зи а„, (!5) ' >>четь О < Ь( и, тогда (и — с!»/(и!и О пРи ,'и', °, т.
с. найаетсЯ ~акое У, что (и — с!»!(ин < 1 для всех !и! ~ К В силу очевидных неравенств чх (д' — г(» = ~ (н — г(» йе' . ~ (и — с!» й>г -1- ~ (и — г(" ггс' !и!чу !и)е о =ч ~ ,'и — с!» йе + ~ (и!и йр' ~ !и — с!»с!г'+~ !и1ч с1'. ! и) .д гу 1! и 1!яо 1 як как ова последних интеграла конечны, то 5(и — г)" существует. .!оказательство существования С и» н ( (и — й)» получается заменой с на О илн т. — Прим, перев. Б.
Л. еае дер Варден - ~чад существуют моменты всех более низких порядков а,,..., а„„ н также им соответствующие интегралы (!О) и (!1)х. Если а„существуео>, то интеграл (3) можно п рпз дпфференци- 1>овпть под знпком ннтегрплп, причем рл. р. Инелегралы Фррье и предельные теор«мь« 114 Следовательно, если моменты о„сушествуют, то их можно найти посредством дифференцирования характеристической функции. Если функция р(1) является аналитической в точке 1= (1, то и некотором круге (1( ( т ее можно представить в виде ряда Тэйлора, коэффициенты которого определяются моментами: ц;(1) = У..-" («1)ь (!6) о «и Как показал Крамер (Крамер Г., М;лематические методы соатистики, ИЛ, М., 1948, стр. 199), для справедливости формулы (16) при !1! с г достаточно, ггобы ряд.'Уоьг /и! сходился абсолютно.
д, фоепклы авели!ения Как известно, сбрагцение интеграла Фурье (4) задается формулой т 1'(и) = 11т — ~ е-а" ф !) й. 1 г — т Если лссую и нрагую части последнего равенства нро««нтс~- 1«кровать от и до Ь, то получим т ь' !" е нь — ь '"' Р(Ь) — е(а) -= 11гп -,, ! — — — — «р(!) «(1, -т Эту формулу «южно записать н так: 7Р(и Ь) — Те(и — Ь) == 1цп - ( — е-л'«р(11 дт (18) т --'' > — т Как показал 1(оль Леви, формулы (17) и (!8) ь стакпся снрассдливыми и в том случае, когда Р(и) не диффсренцируема, а лишь непрерывна в точках а и Ь (ссответстгешю в и — Ь н а -(, Ь).
Доказательство можно найти, например, в книге Г. Крамера о«Математические методы статистикиь, стр. 109, Там жс указана еьцс н другая формула обращеппя, а именно ( (Р(«ь -ь и) — У'(и — и)! ди = — ~: — ', — е-е" ~р(1) дй (19) !!з формулы обраьцсния следует, что Функция раепределенпя е'(и) однозначно оп!«едеяяется своей хирикгпераепнлчееко«! функцпей у(1). ,~' 22. Примири 11п Однозначное определение Г(м) в ее точках непрерывности непосредственно вытекает из формулы (17). Если Ь вЂ” точка разрыва функпии Р(м), то Ь можно представить в виде предела возрастающей последовательности точек непрерывности' Ь„, и так как с"(и) непрерывна слева в каждой точке, то справедливо равенство Р(Ь) = 1нп Р (Ь„), (20) Если, далее, а„— стремящаяся к — последовательность точек непРеРывности, то Вш Ь'(а„) = О, (21) Вычитая (2!) из (2О), получим, что Р'(Ь) = 1нп (Г(Ь„) — с'(а„Ц.
(22) Из (22) следует однозначная определенность е'(Ь) для произвольного Ь. с. хлилкгеРистнческля спункция суммы Пусть х и !! — независимые случайные величины. Тогда, согласно (2), г; ен( + и) = Я ес" Ь ессх, нли, словами; характеристическая функция суммы независимых с.(убойных величин равна произведению характеристических функцссй слагаемых. Это же самое справедливо, коне ню, и для суммы юс-) ... +м„ произвольного числа слагаемых. Указанная теорема вместе с теоремой однозначности во многих случаях является очень удобным средством для отыскания функнип распределения суммы независимых случайных величин.
Это иллюстрируется ниже следуксщими примерами. 2 22. Примеры Л, ВИНОЛ1НАЛЬНОЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Пусть щ„..., жп — независимые случайные величины, каждая Рз которых может принимать значения 1 и О с вероятностями р и д =.- 1 — р соответственно. В этом случае сумма шс -1-... -(-м„ ' Функции, монотонно возраставшая от О до 1, илсепт ие более чем и спгяоп количество точек разрыва.
Это можно доказать, например, испольи) я со обстоясессьссво, что паша фуп кния имеет лишь иоипчиое число сиачьйн == 1, коне шоп число скачков а= '(м иопечиоп число скачков ц, и т. д. с.лплопптелыип всп сипч: и (а зпачис, и точки скачков) можно зап)воровать в порядке пх воврпсчппни. Зк 116 Гл. У. ИНтеграла Фурье и иредельные теоремы имеет биномиальное распределение: она принимает целочисленные значения <о (О ~ <о ~ и) с вероятностями )и) >, Согласно (5) й 2!, характеристическая функция отделы<ого слагаемого х< равна т(1) = р " + ~. ()) Следователы<о, характеристическая функция суммы задается формулой Щ<))о — (рьл< ( д)и (2) Применяя к правой части (2) формулу бинома Ньютона, получим сумму, совпадаю>цук> с определением характеристической функции биномиального распределения е 4 й) ~ <<")),еею, А У))г е< '\<<) « В.
НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕ'!ЕНИЕ Если случайная величинах подчиняется нормальному распределению с единичной дисперсией и нулевым средним значением, т. е, если для х плотность вероятности задается формулой 1 /(и)= —,= е )>2, то соотве<ствующая харак>еристнческая функция равна 1 ., 1, < — — <и — и>' — — <' =-) е й а 4н. (4) ) 'зи~ Выбрав в качестве новой переменной интегрирования и = и — 11, получим à — -<' à —.— у(<) == —,== е е ) е л <Кн., (5> )> 2л где в тсгрирование производится в комплексной плоскости вдоль прямой. параллельной действигельной оси. Если путь интегрирования перенести на действительную ось, то найдем, что 1 у1(О = е У 22.
Примеры 117 Случайная величина ож также нормальна с дисперсией оо и нулевым средним значением. Ее характеристн*мекая функция равна 1 Я е = !р((ег) = е (7) Таким образом, хирактеристическая функция нормально распределенной случайной величины с нулевым средним значением лишь постоянным множителем отличается от гауссовой функцш! ои>ибок с дисперсией, равнои обратной величине дисперсии исходного нормального распределения. Если к случайной величине ж прибавить пос>оянную а, то характеристическая функция ж -( а будет равна произведении> р(1) и ехр (йа). Следовательно, для характеристической функции нормально распределенной случайной величины со средним значением а и квадратичным отклонением о спраеедтива формула 1 у>(1) = е е (8) Произведение двух функций этого вила опять будет функцией того же вида. Этим самым мы снова получили найденный ранее дсзультат, но со значительно меныпим количеством выкладок: Сумма двух независимыт нормально распределенных сгучайных величин снова распределена нормально.
в. Ряс!Рл >т ление пулссонх Если ж принимает значения 7г = О, 1, 2,... с вероятностями (~ 1О) (9) то соответствуюьцая характеристическая функция. согласно (5), равна >„еп)в >р(1) .= ~ рх !"е = е-" ~ 1 †,1 == е †хе"'м =- ох<!!' -», (10) о о Произведение двух таких функций с параметрами е'> и е, снова является функцией вида (!О) с параметром к = Л! -1-7еь Отсюда следует, что Сумма двух незавпспмыс случапных величин а> и;во, подчиняю- и(пхся распределенпю Пуассона со средними зниченп.чмп е'! и Ле, снова имеет распределение Пуассона со средин.н значением А> -! 7еь Гл.
тг. Интегралы Фргрье и предельные ггсегремьг 118 я 23. Распределение у' В связи с гауссовой теорией ошибок астроном Ф. Р. Хель- мерт исследовал суммы квадратов нормально распределенных случайных величин и при этом пришел к функции распределения 6(и), которую позднее К. Пирсон назвал функцией распределения т'. Для отрицательных и функция 6(и) = О, а для неотрицательных и а 1 6(и) =- а у е е йу, о где Л =//2 и / — натуральное число, которое, по Р, А.
Фишеру, назьвается числом степеней свободы. Мсюжитель а определяется так, чтобы выполнялось равенство 6( ) =- 1, т. е. 1 алГ(Х) ' Соответствующая плотность вероятности задаезся формулой Л вЂ” ! — — а 1 д(и) =аи е У (и> О). (3) В простейшем случае сс = 1 (две с!евсин свободы) и плотность вероятностей является показательной функцией ! д(и) = .
— е е (и > О). (4) 1, 1, à —;* 6(и)= ь=~е '- де= — )е - йг, )ва ) ас! Если теперь в качестве новой переменной интегрирования выбрать у = е'-, то немедленно получим искомый результат а 1 1 6(и) = —. —. ~ у - "е '" с1у, Уй (о) Случай л = 1/2 (одна степень свободы) получаешься прямо нз нормального распределения, согласно следующей теореме: Если случайная величина т распределена нормально с нулевым средним значением и единичной дисперсией, то те подчинлетсл распределению тг с одной степенью свободы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
