Б.Л. ван дер Варден Математическая статистика (1960) (1186203), страница 18
Текст из файла (страница 18)
14), н пусгь через то ~ку А проведена произвольная прямая. Если Х вЂ” точка пересечения этой прямой с прямой д,  — проекция точки А на прям>чо д и Р— угол, образованный отрезками АХ и АВ, то расстояние от точки Х до основания перпендикуляра В будет равно х = Фду. Если угол у распределен равномерно в интервале между — и/2 и:т72 (т. е. ф является случашюй величиной, плотность распре- числом н .= 2пг — 1, то ел равна среднему члену х1 > вариацион- НОГО ряда ХО> < Х1г> « ... Хсн> (ЧЛЕНЫ ЭТОГО ряда яВЛяЮтСя ЭЛЕ- ментами выборки х„х„..., х„расположенными в порядке возрастания их величины).
Если же объем выборки равен четному числу и = 2пг, то е определяется как арифметическое среднее членов х1"'> и х1 4'> вариационного ряда Л = (хон> + х< л'>)72. Вычисление выборочной медианы осуществляется легче, чем вычисление выборочного среднего М. Однако в случае приближенно нормального распределения выборочное среднее М заслуживает большего доверия. А именно если элементы выборки являются независимыми одинаково нормально распределенными случайными величинами, то, согласно $ 17, выборочная медиана Я распределена приближенно нормально с дисперсией й 20. Лрдгив числовые характеристики распределения 107 деления которой в указанном интервале постоянна и равна 1(я), то х =- 13 р имеет функцию распределения (2) н плотность вероятности (3). 1!усть х, и х, — независимые случайные величины с одинаковыми функциями распределения (2). Если по теореме Ш ($ 4) вычислить функцию распределения суммы х, + х,, а затем — функцн ю распределен ия среднего 1 Мз = 2- (хс + хв), то неожиданно окажется, что М, имеет плотность вероятнссти, в точности равную (3).
Среднее из двух таких средних 1 Мв = -- (х, + х, + хв + х,) снова имеет ту же плотность и т. д. Следовательно, с помощью осреднения вообще нельзя добиться повышения точности'. Напротив, если по выборке х„..., хп нечетного объема и определить выборочную медиану Л, то, согласно 2 17, ее распределение будет приближенно нормальным со средним значениям нуль и дисперсией Схх = а 4ц Таким образом, с ростом и выборочная медиана становится все более и более точной оценкой для истинной медианыз (, = О. У распределения с плотностью вероятности (3) дисперсия н среднее значение не существуют, так как соответствующие интегралы расходятся.
Аналогично меДиане ~, обе кваРтили ~с и ~з опРеДеллютсЯ как рсшеция уравнений й'К,) =,' гК.) =,'- . ' Для функции распределения (2) среднее значение х пе существует. Поэтому здесь идет речь об оценке медианы 4 = О. Так как М имеет то же распределение, что и каждый элемент выборки, то нет оснований считать 11 более точной оценкой для С, чем отдельное наблюдение ас. — Прим. перев.
В случае распределения (2) плотность вероятности выборочной медианы Я длв выборки объема и = 2т — 1 задается формулой (2т — 1)1 1 ( 4 Ст л 1 УЛ(С) = — -- — -' — - — ! ! — —,вес !Ил С~ (т — 1)1(т — 1)1 2кп з и ~ пв ~ 1 + Сл 2 так как(асс !и с ! —. (1 — — — ) при с т, то са(с) == 0(',с( т ').
21 п(С(/ Слсловательно, дисперсии Я существует, если тп т 3, т. е, если и ~ 5. диалогично математическое ожидание я существует (и равно нулю), если и а 3. — Прим. перев. 1па Гл. 11'. Оценки функций распределении, средних знаеений и дисперсий Приближенными значениями для ьс и ь, служат выборочные квартала Яс и Я,, которые в общем случае определяются так. Пусть ~ =-И1 р'(с," + в) — Р(~ — т) =— 1 2 Если распределение симметрично, то ь — и и (; + т совпадают с квартнлями: ьс=ь" — ', ье=ь- т. Для нормального распределения се = 0,6?45 о, (4) Вместо о- нлн г в старой литературе часто пользовались величиной ю. Однако к настоящему времени от этого опказалиссн Дополнительный расчет оценки ие для ю по формуле ал = 0,6745 г представляет собой излишнею выссислипельссусо опсрацшо. Наряду с сг и ю третьей традиционной мерой разброса является среднее отклоненссе д, которое определяется как хнысмагическое ожиданно модуля 1х — хр б = с',, — 3 = ~~1 — ы~ (1).
(5) Выборочным приближенным значением для б являе~ся выборочное среднее отклонение с(, которое определяется как арифметическое среднее абсоссюысьсх величин отклонений х,. — М: с!= .~)х,— М,'. 1 (6) тогда ее н ебе равны членам вариационного ряда с померанц о чи 1 и и — (с соотвстственсю; е'с = х«ьв и Яе = х<"-с>. Таким образом, найдутся д элементов выборки хо но величине меньших, чем Яс, и д элементов, по величине больших, чем Я,.
Для п = 4т — ! это определение совпадает с определением, указанным в э 17. Квартилям родственна старомодная мера разброса, называемая вероятным отклонением со. В случае непрерывной функции распределения Р(1) вероятное отклонение в определяется условием, согласно которому случайная величина х с вероятностью ~се должна принадлежать инзсрвалу (с.
— и, Г -1- и): д 20. Другие киславвге характеристики распределения 109 В случае нормального распределения отношение б к о равно некоторой постоянной. А именно если, путем изменения начала отсчета и изменения масштаба, случайную величину з нормировать так, чтобы после преобразования выполнялись условия х=О в а-=1, то т х г 2 ! — — г' 112 д= ~~1~в а ей= —,.= — ~1е " ей= ~/— 'Г'2п 12 —.~ а Поэтому для любого нормального распределения справедливо соотношение Выборочное среднее отклонение И вычисляется несколько проще, чем выборочное квадратичное отклонение а, однако е является принципиально более важной и, как правило, более точной оценкой для а, чем «2, Позднее мы увидим, что в случае нормально~о распределения ее является, в некотором определенном смысле, наилучшей оценкой для а'.
ГЗ!АВА У ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ $ 2!. Характеристические функции А. СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН До сих пор математическое ожидание было определено лишь для действительных случайных величин. Однако из двух действительных случайных величин ж и и можно построить комплексную случайную величину и определить ее математическое ожидание формулой Яв = бш+г'6у. Точно так же, в общем случае, определяется среднее значение вектора гг = (а„..., а„): Г(жг,, а.) = (б ~г,, 6 и„) Для двух произвольных случайных векторов из одного и того жс векторного пространства или для двух комплексных случайных величин гг и мг справедливо равенство я(гг+ Мг) = гьгг+ 6Мг.
Две комплексные случайные величины в = а -~- г'у и и. = = и + г'гг называются независимыми, если и и в независимы от ;в н у, т. е. если для любых а, Ь, с и г! спрапедливо равенство Р(аг < а, и < (г, гг < с, гг < г!) = Р(ж < а, у < Ь) Р(м < с, в < г1), Если а н го независнмье ти (2) 6(а ') = Ж )(Сг ).
Г(сследнее равенство доказывается выделением действптслы.ой и мнимой частей вггг с последующим использованием формулы (1). У Е1. Характсристикеские функции В. ХЛРЛКТЕРИСТИЧЕСКЛЯ ФУНКЦИЯ Пусть х — случайная величина с функцией распределения с"(и) = р(х ( и). Харикп1еристической функцией случайной величины х называют математическое ожидание ехр (йм)! !р(1) = с", е =~ е дл'(и). !р(1) = ~ е у(и) сЪ. (4) С другой стороны, если х — дискретная случайная величина, прииимающая значения х6, х„... в конечном или счетном числе с вероятпостями р„р„..., то 41(1) = л, Р„е (5) Легко видеть, что р(о) = ) и ~р(1)! - ) ДЛЯ ВСЕХ ДЕ11СТВИЗЕЛЫ1ЫХ й Если характеристическая функция случайной величины х равна р(1), то характеристическая функция ах -г- 5 (а и 5 — постояииые) ранив 1 Я(а:е -1- 6! иь, 1а!» 1Ы 1,Е =-е с е =е !р(а1.
В, НЕ1!РЕРЫВНОСТЬ ХЛРЛКТЕРИСТИЧЕСКОП ФУНКЦИИ Одним из общих свойств интеграла Лебега является его непрерывная зависимость от подиитегральиой фупкции, если оиа мажорируется функцией, интеграл Лебега от которой конечен. Соответствующая теорема гласит: )!усть д„(и) — последовательность !интегрируемых функций (индекс и можно заменить непрерывно меняющимся параметром 1).
Хали для всех 1 ~ у„(иЯ * 0(я), Этот интеграл сходится для всех действительных 1, так как абсолютные величины действительной и мнимой час~ей схр (йуе) ие преп!!сходят единицы и ) вГ(м) сходится, Если для л(и) существует плотность вероятиости у(и), то характеристическая функция 41(1) является обычным интегралом Фурье: Гт тг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
