Б.Л. ван дер Варден Математическая статистика (1960) (1186203), страница 21
Текст из файла (страница 21)
112 н 142.1 Гл. и. г!нгпегролы Фурье и предельные теоремы 1В4 г. центРАльнья пРедельнАя теоремь Случайная величина м, функция распределения которой! завис!и от параметра п, называется исимптотичеьки норма.тоний, если существуют два числа и и и (может быть, зависящие г! и) такие, что функция распределения случайной величины (15) стремится к нормированной функции нсрмального распределения Ф(и) при и . Согласно разделу Л этого параграфа, несбходимым и достаточным условием асимптотической нормальности ж является сходимость характеристической функции случайной величины (15) к характеристической функции нормального распределения 1„ е (16) при каждом й Во многих случаях а является средним значением, а с — квадратичным отклонением случайной величины !в, однако может случиться, что квадратичное отклонение а не существует или даже среднее значение не существует и, несмотря на это, имеются числа а н с с упомянутыми свсиствами.
В разделе Б мы видели, что при и опытах, в каждом из которых положительный исход наступает с сдной и той же героятнсстью р, общее число положительных исходов в = а! +... + !в„ асимптотически нормально. При этом каждое слагаемое ву принимает лишь значения ! и 0 с вероятнсстями р и д = 1 -- р соответственно. Смысл содержания централыюй предельной теоремы заключается в том, что при определенных условиях каждая сумма независимых случайных величин (17) В = а!1 +...
+ жп распределена асимптотически нормально. Уже Лаплас и Гаусс предполагали справедливость этой леоремы и указали основания для сгоих догадок. Пересе полное доказательство принадлежит Л. М. Ляпунову (!90!)т. Поль Леви привлек для доказательства характеристические функции. Позднее Хинчии, Леви и Феллер доказали эту теорему при значительно более слабых предположениях.
(По этому еопрссу см. 1 ету Р., Т)теог!е с)е 1'аг)б!!1ов с)ев тат!аЪ)ев а1еа4о!гев, Раг!а, 1954; Хинчин А. у!., Предельные теоремы для сумм нсзависимых слу- !!ервос строгое докаэатсльство цсптралькоя предельном теоремы лал с помощьт метода тюмсьтов А. А. Марков !!898). Прп этом оп следовал по путп, укаэанному 11. РП Чсьышепыль — Прим. ред.
з 2е. Предельные теоремы Н.Ы' (18) стремится к ехр( — 1в/2) при и— Первая и вторая производные от р(г) в точке г =- О равны ссответственно ать =: 0 н Рога = — о-'. Следовательно, для у(а) справедлива формула Тэйлора: — 1 оха 1 Е 1 2 ' Ом. монографию В. В. Гпелеико и Л. Н. Колмогорова, указанную выше, и также статью А 11. Колмогорова, Некоторые работы последних лет в области предельных теорем теории вероятностей, Вест. Моск. ун-та, Л"' 1О 11953), 29. — I!рим. перев. чайных величин, ГОНТИ, 1938; Гпеденко Б. В. и Колмогоров Л.
Н., Предельные распределения для сумм независимых случайных величин, ГИТТЛ, М., 1949.) Определенные ограничения, которые в центральной предельной теореме накладываются на распределения слагаемых (17), нужны для того, чтобы, во-первых, исключить тот случай, когда величина отдельного слагаемого составляет слишком большую часть всей суммы (17), и, во-вторых, чтобы обеспечить дсстатош;о быстрое стремление функций распределения х к нулю и к единице при и- — им + ссответстгенно. Если, йапример,всеотдельные слагаемые шу подчиняются распределению Коши (9 20), то сумма ш имеет то же самое распределение и центральная предельная теорема не выполняется. Линдеберг (МаЬЬ.
ее(свсЬг., 15, 1922) указал довольно слабое условие, достаточное для выполнимости центральной предельной теоремы. однако условия Феллера (МаЬЬ. ее1ьвсЬг., 40 цпс( 42) еще слабее, так как Феллер не требует даже конечности дисперсий'. Мы ие будем здесь входить в эти тонкости и рассмотрим лишь случай, когда все шу одинакого распределены и имеют конечное среднее значение и конечнук> дисперсию. Мы докажем, таким образом, теорему; Если шт,..., шп — независимые одинаково распределенные случайные вели иены, имеющие среднее значение )ь и квадратичное отклонение о, то сумма (17) асимптотически нормальна со средним значением п1ь и квадратичным отклонением гг)(п.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Мы можем предположить, что рь = О. Пусть 4ь(1) — характеристическая функция случайной величины аы тогда (4ь(е)]п — хаРактеРистическаЯ фУнкциа слУчайпой ве.чичины ш. Нам нужно доказать, что ]ги Гл, Гг. Интегралы Фарсе и предельньГе тгаг.смы где остаточный член Л при в- 0 стрем!шея к нулю быстрее, чсм з'-'. Из последнего равепстеа получаем, что С Г 1 ГР( — =! =1 — — +Л, ~о )Гп! (19) причем Л при и — стремится к нулю быстрее, чем 1/п, Логарифм характеристической фуикции равен 1п р[ — '.
) = — —,"-+Л, (20) где Л' снова стремится к нулю быстрее, чем 1/и. Если (20) умно- жить иа и, то найдем логарифм (18). Устремляя затем п к беско- нечности, получим в пределе — (г/2, следовательно, 11тп ~9Г~ )~ = е г (21) что и требовалось доказать. Д. !ГРИМЕР: РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Х" Для суммы квадратов независимых одииаково нормально распределенных случайных величин с нулевым средним значением и единичной дисперсией )(г жх г1 аг + цг (22) ' По поводу пспмпчо ~ ичсскои нормальности функиий о1 исимитотичссни иормальиыл случвиных иванчин см, К р а м е р 1'., МатсьГптическГш мстопы статистики, ИЛ, М., 194а, стр. 40!.
Можно указать таксе функиип от х', распределение которых существенно лучше приближается Г ормалш ным распределением, чсы распредечсния (Хе — ГГ)112н нли) 2т' — 1 2п — 1. 11римером такой функции является фуикпия (Хе(п)ГГх, распределенная асииптотичсски нормально со средним значением 1 — 21(9ГГ) и дисперсией 2,'(ви) (см. ту(!в оп В.
В. впд 11Г1тегьу Х!. 3!., Ьчвм Асад. Вс1. ВВА, 17 (1931), 6941. — !(ри.ч. асреа. выполнены все предположения только что доказанной теоремы. Среднее значение ж, 'равно единице, а квадратичное отклонение равио )(2. Следователыкт, сумма (22) асимптотически нормальна со средним значениемпи квадратичным отклопепием )/2п (ср. 9 23). Так как квадратичное отклонение мало по сравиеииГо со средним значением, то случайная величина )(2у' распределена так!Ее асимптотически исрмалыГо.
Нормальное приближение для распредслепия (/2)(х лучше, чем для самого распределсиия )(г (см. Г(в)хег хь. А„ 8!аыв4(са1 Мо!Ьос1н, 9 20). Среднее значение (/22г приближенно равГю )Г2п — 1, а дисперсия близка к единице', У<' Ее, !!уедельнь<с теоремы е. втоРАя предельнАя теорем» 12< Очень полезна также <вторая предельная тсоремаь Фрсше н 111охатаг, которая гласит: Если все Е,(1) из последовительности функций распределения (Е„(!)) облидиют конечными моментами а„(п) любого порядка сс сс.т а»(п)- р» (и- ) при каждом 7г, ого(2» — моменты некотории функции распределения Е(!). Если, кроме гпого, Е(1) своими молгснтоми определяется однозначно, !по ггрн и — последовательность е'„(1) сходится к с'(!) в каждой точке непрерывности функцсссс Е(!).
г»оказатсльстео этой зсорсмы можно найти в цитированном исследовании Фреше и П!ахата нли в книге ~И.6. Кеп<)а11, АС1чап! ес1 Т)геогу оГ 8(аС(зС(сз, чо1. (, 6 г(ГГ!гз апд 6', )лгпдоп, 1948, 3 4.24. !!аибслсс гагкен зот случай, когда б» ягляются мсментами функции нормального распределения Ф(1): (23) Функцпя нормалыгсго распределения всюду непрерывна и однозначно определяется своими момензами. Следогателы о, Если о„(п) при и- стремятся к моменпгам нормального распределения (23), то в каждой точке ! последовательность Е„(!) сход!стел к Ф(1). ж. Од!!» элеменз АР<<Ая !грел! Лыг»я теОРгмА (24) ап = гсп + уп ' впервые зтп теореме аыля покпзпи:< Л. Л, .Марковым (гааа) Зля случяя сколимости к иормяльиому рпспре.<сл.пик< (ел<. М п р к о и Л.
Л., Исиислеп по всрояпи<с«и, 4-е изл., ГИЗ, 1924, стр. 5!41. доквззтел< ство формулируемой плесь ос!пей теорсг<ы,зпг о в ряоотс Н т е < Н с С М. оп<1 81< о- 1< а С 3., А РтооГ оГ С(ге Сепета!же<1 8<сои<! !.ппи Тисо«т, Тгапв.
Апит. 3!а(!г. нос., За (1931), е33. —. Прим. пе! ев Локазатсльсзеа всех предыдущих пределы:ых теорем оылн основаны на интегральном преобразовании Фчрье. Однако следующая теорема будет совсем элементарной. Формулировка этой теоремы заимстгогана мною из книги Г, Крамера, (< Математические методы.статистики >), ИЛ, М., 1948, стр. 281, 20. б. Пусть жг, аз,... — последовательность случайных величин с функциями распределения Е„Ез,.... Предполгжим, что Еп(и) стремится к функции расггределения Е(и) при и- Пусть. далее, у„у, другом! последовательность слгучайны.с величин. Предположим, что у„сходив!с!! по вероятности к некоторой поппоянной с. Tогда функция паспредслснпя симл(ы Гм Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
