Б.Л. ван дер Варден Математическая статистика (1960) (1186203), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Интеграла Фурье и аргдельяые теоремы 128 при я спгремится к У(и — с). Если с ~ О, то с соответппвугоигими очевидными изменениями зто утверждение справедливо для произведения х,у„и отношения хь/мгь Важно отметить, что в этой теореме не требуется независимости входящих в нее случайных величин. Мы проведем доказательство для сумм (24). В случае произведений или отношений доказательство остается аналогичным Пусть и — точка непрерывности функции Р(а — с).
Тогда для каждого е > О найдется такое Ь = Ь(е, и), что Р(и — с — б) и Р(и — с + Ь) будут отличаться от Е(п — с) менее чем на е, Так как, согласно сделанному ранее замечанию (см. сноску в $ 21 Д), множество точек разрыва функции Р не более чем счетно, то мы можем так выбрать Ь, чтобы точки и — с + Ь и и — с — б являлись точками непрерывности функции Р. Пусть С,(и) — вероятность события еь < и. Нам нужно доказать, что Сь(и) при и стремится к Р(а — с). Если х„< и — с — б и у„~ с — ' Ь, то аь < и. Отсюда следует, что если х„<и — с — б, то илн а„< и или у„) с+ б. Следователык..
Р(х, < и — с — б) < р(аа < и) + Р(м„ ~ с -1- б] или Р„(и — с — б) ~ С„(и) + р(у„) с + 6). (25) Так как у„стремится по вероятности к с, то вероятность события у„) с+ б для достаточно больших п будет меньше е. Таким образом, из (25) получается, что У'„(и — с — б) < С,(гс) + е. Поскольку Р„стремится к Г, то для всех достаточно больших п справедливо неравенство Р(и — с — б) < С„(и) + 2е и, далее, (26) Е(и — с) < С„[и) + Зе.
Точно так жс, поменяв ролями а.„и я„, можно доказать, что Сь(и) Рь(и.— с -1. 6) -)- е < Е(и = с) н Зе. (27) Из (26) и (27) следует равенстго 1пп С,(и) = Р(и —. с), чем и завершается доказательство предельной теоремы. д 25. Прямоугольное риглределение. Ошибки округления 129 $25. Прямоугольное распределение. Ошибки округления Случа!пгая величина х называется равномерно распределенной между а и Ь, если ее плотность вероятности ранна постоянной в интервале (а, Ь) н равна нулю вне этого интервала: 1 ь-- — 'слн а(х(Ь /(х) = О, если х са или х> Ь.
Так как график функции /(х) изображается в виде прямоугольника (рис. 15), то такое распределение называют прямо- Р и с. 15. График плотности прямоугольного распределения. О, если хна, у(х) —, —, если а (х н Ь, 1, если Ь (х. (2) Среднее значение х равно (а -1- Ь)/2, дисперсия (Ь вЂ” а)е/!2. Лля большей определенности мы предположим, что а = — г/2 и Ь = уз.
В этом случае х, равномерно распределена между — гггя и +12 с нУлевым сРедним значением и диспеРсией т/ан Такое распределение встречается тогда, когда результаты числовых расчетов округляются до целых чисел. Если точные результаты вычислений зависят от случая и изменяются в широких границах с плотностью вероятности, которая в интервале длины единица не сильно отличается от постоянной, то сшибки округления будут распределены приблизительно равномерно между — т,гя и +142. Характеристическая функция прямоугольного распределения равна 1 я ф(1) = ! егысХх= -Вш 2 . е с 2 9 В. Л. вви Льр Ввгяьи -!062 угольным. Вопрос о том,определена ли /(х) в конечных точках интервала а и Ь и если определена, то как именно, не имеет никакого значения.
Функция прямоугольного распределения задается равенствами: Гл. 1г. Интегралы Фурье и предельные теоремы 130 Рассмотрим теперь распределение суммы независимых оди- НаКОВО раВНОМЕриО раСПрЕдЕЛЕННЫХ В ННтЕряаЛС ( — ',лю 12) СЛучайных величин: (л) Х=-Х,+...
+Хп. Среднее значение суммы равно пулю, квадратичное отклонепн равно (/я/12. Если х нормировать таким образом, чтобы квадра тичное отклонение нормированной величины равнялось единице а затем я устремить к бесконечности, то характеристическая функция нормированной случайной величины х ')/12/я (б) 1 1 1, если —; — < х <,-, 2 2 ' 1 1 О, если х < — -.- нли х> /г(х) =- (б) 1 м '— 3 /,(х) = ) /н,(я) е/я. е С помощью этих формул находим )х+1, ес.ти — 1 < х — О, / (х) = ((х -~ 1) — 2х, если О-х <1, , з)е з 1 — 1х+ 4, если — — <х т — —, 2 ' 2 ((х + 2 ~ — 3(х + 2 ) ) .
если — 2 х*ы 2 -,,Цх+~~ — -3(х+~~ -~-3(х — й)], если ~--- х< 2. /з(х) = будет очень быстро приближаться к гауссовой функции екр( — 1ь/2), Таким образом, нужно ожидать, что функция распределения х очень быстро приближается к функции нормального распределения. Это подтверждается расчетами. Если /„(х) — плотность вероятности суммы х, то справедливы рекуррентные формулы: ьт Яо Прл.иоугольиое раслределглиг. Ошибки округлении !31 и т.
д,, вообще /„(х) = — —,~(х+: ) — ~ )(х+ ч — 1) + + ~. ) (х+,.- — 2) + .), (1О) -7 гт д Рис. 16. р Рис. 17. р 1 Рис. 18. постыл /»(х) называют «треугольным распределением»: соответствующий график представляет собой равнобедренный треугольник, вершина кгморого имеет абсциссу х = О, а основанием является отрезок 1 — 1, + 11. График плотности /,(х) составлен нз трех отрезков квадратичных парабол и очень похож на кривую Гаусса. Кривая, соответствующая /«(х), почти не отличима от кривой Гаусса.
Пример «4. «Осиовпой аргумеит» з в Сатурновых таблицах Хиллах представляет собой сумму 24 членов, каждый из которых получают посредством иитерполяции из некоторой четырехзиачпой таблицы. Есле отдельиые члены были бы вычислены более точно, т. е, с 5 или 6 десятичиыми зиаками, и лишь сумма округлена до четырех эиаков, то насколько этот результат отличался бы от а, вычислеииого с помощью четырехзначных та бл иц? Умиожепиеы всех слагаемых иа 1О«можно добиться того, чтобы табличные значения были пслыми числами. Если между двумя табличными значениями ул и уле, производится линейная иитерполяция по формуле У =- Ул -1.
х(Ул+г — Ул) = Ул(1 — з) + Ул+«х (О - *( 1) (11) ' Аз«топ. Рврегз Ашсг. ЕРЬе»пег(в, '«гП1 (1898), 145 — 285. э* причем в сумму (10) входя. все те слагаемые х + и/2, х + п/2 — 1, ..., коэорьге при данном х неотрицательны. Графики функций /,, /, и /«изображены на рис. 16, 17 и !8. Распределение с плот- г л. р. Интегралы Фурье и предельные теоремы 132 и сслн у„и у„хх имеют ошибки онруглення и и о соответственно, то ошнбна у равна ш = и (1 — х) + ех.
(12) Предположим теперь, что и, о и х — независимые случайные величины, причем и и и равномерно распределены между — '1, н +г)„а х равномерно распределена между 0 и 1. В этом слу ~ае щ имеет нулевое среднее значение н дисперсию 1 1 1 з 3 хе = 6 ил = ~ дх ~ ди ~ ди (и(! — х) -1- хх)е (13) о Если в (!3) сначала произвести интегрирование по и и и, а затем — по х, то получим 1 хе = ) ~ — (1 — х)е+ — хе~ Нх = 12 12 1 !8 о (14) ! а* 12 (15) В большинстве таблиц линейная интерполяция недопустима, н нужно пользоваться квадратичной интерполяцией, например по формуле Уп+х — 2Уп + Уп-т У = У + (У + — У ) х + — — х( ' — 1) 2 1 1 ( 2 2) Тогда с помощью вычислений, аналогичных уназанным выше, получим несколько большую дисперсию, а именно 47 хэ = — = 0,12.
384 (! 6) Если квадратичная интерполяция применялась в 15 случаях, то, вычисляя дисперсию !5 слагаемых по формуле (16), а остальных девяти — по формуле (15), мы найдем для дисперсии суммы х оценну сверху. Это лишь увеличит надежность наших выводов. По центральной предельной теореме сумма 24 случайных величин распределена почти нормально с дисперсией 2,58. К этой дисперсии нужно еще добавить дисперсию ошибки округления точной суммы, равную т/ы.
Таким образом, разность между точным Дисперсия ошибки линейной интерполяции в таблицах с двойным входом будет еще меньше. Однако так как у Хилла по таблицам с двойным входом получаютсн лишь три слагаемых нз двадцати четырех, то точное вычисление соответствующих дисперсий нс имеет никакого значения. В некоторых таблицах у„на больших промежутках сохраняют постоянные значения.
В этом случае и и в уже не явлнются независимыми, и результат (14) не имеет места. Ошибка интерполяции оказывается приближенно равной ошибке округления табличных значений, поэтому здесь д 25. Прямоугольное распределение. Ошибки округления 133 значением з, округленным до целых единиц, и тем значением в, которое получается с помощью четырехзначных таблиц слагаемых, представляет собой практически нормально распределенную случайную аелвчину с дисперсией о.э = 2,67. Возвращаясь снова к четырехзначным числам, получаем, что нвадратичнос отнланение о" этой разности округленно равно 1,6 10 '.
Следовательно, общая ошибка суммы, превышающая 4 единицы четвертого десятичного анана, будет встречаться лишь чрезвычайно редно. Если бы мы сложили теоретически возможные максимальные ошибни всех отдельных слагаемых, то получили бы 14 единиц четвертого десятичного знака. Теоретически возможная ошибка суммы пропорциональна числу слагаемых т, а практическая ошибка пропорциональна 'г'т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
