Б.Л. ван дер Варден Математическая статистика (1960) (1186203), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Для доказательства азой теоремы нужно лишь вычислизь вероятность события те ( и. Она равна 1а сй Э ВЗ. Распределение Хг Перейдем теперь к остальным случаям. Характеристическая функция распределения ух имеет внд 1 — — — и —; гга гр(!) = ~ аи е х гги. е (б) Выбирая в качестве новой переменггог) интегрирования а= = (г/, — гу)и, получим гр(!) = 2х (1 — 212) х а~ ах г е-" е!а, где интегрирование производится в комплексной плоскости а вдоль полупрямой, которая расположена в правой полуплоскости н уходит из нуля в бесконечность. Уравнение этой прямой а = ~- — г!)и, либо по формуле (15) предыдугцего параграфа.
Мы получим а, =2гг =т', аг = 4!г (й + 1) = ~' + 2!. Отсюда находим среднее значение н дисперсию случайной гслнчины у, подчиня огцсйся распределению т'-': Яу=а,=), а б аг (г У)а .а г 2( (10) Пусть теперь у и в — независимые случайные величины, под'гнняюьцнеся распределению тх с степенями ) и )' свободы соответственно. Согласно (8), характсристическис функции у и в раины 1 1 (1 - — 2гу) - и (! — 2г'!) где ! фиксировано, а и возрастает от 0 до . Этот путь интегрирогания можно перевести в положительную часть действительной оси; значение интеграла от этого не изменится. Следовательно, интеграл в (7) равен Г(й), нгэтсму 1 зг(!) = (1 Вхг)г (8) Первый и второй моменты распределения Ха можно легко вычислить либо по определениго момента Гл.
гг. Интегралы Фурье и предельные теорема 120 Их произведение снова является характеристической функцией того же самого вида. Отсюда следует, что Если две независимые случайные величины у и л подчиняются распределению ть с С и С' степенями свободы соотвепгственно, то их сумма у + л имеет распределение гСе с С + С" степенями свободы. Справедливость этой теоремы можно также проверить прямым вычислением интеграла Ь(о) = ~ д,(и) д (о — и) йи (11) ь по формуле (7) Э 4 Б. Вычисление сведется к бега-функции.
Таким образом, можно избежать применения характеристических функции; правда, при этг-м будет больше выкладок. Само собой разумеется, что эта теорема остается справедливой и для сумм уг +... + у„, где п > 2. В применении к сумме квадратов нормально распределенных случайных величин с нулевыми средними значениями и единичными дисперсиями эта теорема гласит: Если гса юь,..., ап — независимьге нормально распределенные случайные величины с нулевыми средними значениями и единичными дисперсиями, то сумма квадратов — пег + еглз + ( ш (12) подчиняетсл распределению т' с я степенями свободы. Таким образом, мы пришли к результату Хельмерта, сформулированному в начале этого раздела. Если дисперсия равна не единице, а о-', то для того, чтобы получить распределение х', слсдует вместо (12) положить ыг + ° ° ° + ы„ ыг $24.
Предельные теоремы л. прьднлыгкя теоесмх тгеви — крлмерл Из формул обращения характеристической функции (2 21 Д) следует предельная теорема: Если последовательность характеристических функций оьг(С). гр,(С),... ггргг каждом С стремипгся к пределу гр(С), непрерывному в точке С = О, то гр(С) является характеристической функцией неко- тороп функции распределения Р(и), причем последовательность функций распределения Рг(и), Р,(и),...
с.годится к У(и) во всех пгех точках и, еде функция 7(и) непрерывна, Доказательство этой теоремы имеется в книге Г. Крамера ь)г4атсматические мегоды статистикиг, стр. 112. 4 2е. Предельные теоремы 121 В. ПРИМЕР ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЫ: аиномилльное Распределение Характеристической функцией бинсмиального распределения является (Р(1) — (рел 1 д)ь (1) Среднее значение случайной величины и жс -г... + ш„равно пр, а квадратичное отклонение сг = ~/прд. Если (л) внес!и в качестве новой случайной величины, то соответствующая характеристическая функция будет задаваться формулой !соР О 41„(1) = е ' (ре — д) . (3) Логарифм р„(1) равен и 1п р„(1) = — — '"~' -1 и 1п [1 + р (е' — 1П. (4) Если 1 фиксировано и и —, то 11/сг стремится к нулю; показательную функцию в круглых скобках можно разложить в степенной ряд Произведение р [ехр (11/сг) — 11 для достаточно больших п мало сравнительно с единицей, следователыю, логарифм в правой части (4) можно также разложить в степенной ряд: и с йр 1 (с! 1п [1 + р (е' — 1)1 =- — - —,— рд ~ — ) -! Подставляя этот результат в (4), получим 1и у„(С) = — — 2 ~ — ~ +...
= — —, (е + .. (б) Если теперь и устремим к бесконечности, то в пределе. 1 — — ! 1!!п 4!,(1) =-. е (б) Если Г(и) — функция распределения, и для всех тех точек и, где с(и) непрерывна, имеет место соотношение 1пп сн(и) = с'(и), и то в дальнейшем мы будем кратко говорит!я последовательность Р', стремил!сл к е'. Гл. гь. Интеграли Фурье и предельиие агеаггеии Правая часть (6) является характеристической функцией нормального распределеиия. Отсюда следует, что фуикцпя распределения нормированной случайной величины (2) с нулевым средпим значением и единичной дисперсией при и — сходится к функции нормального распределения. Этот результат можно сформулировать и так; случайная величина а: асимптотическгг нормальна со средним значением пр и квадратичным отклонением гг.
Мы уже знакомы с этим результатом, однако только гто изложенный вывод требует меньше вычислений. Точно таким же способом с помощью характеристической фупкции можно без труда получить допол~итель~ый член порядка 1~)(п (см. (!) э б). В. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ Закон больших чисел в э 5 был сформулирован так: если вероятггость некоторого события равна р, то частота й наступлеиия этого события в п независимых испытаниях для дсстаточгк больших и с вероятностью, сколь угодно близкой к сдипице, будет произвольно мало отличаться от р, Это жс самое можно сформулировать и так: частота й сходится по верояпгности к р при и — .
Или зще: при и- частота уг .чвляется сошпоятельной оценкой для р. Все эти высказывая ия озиачают одно и то же, а именно — что для всякого с > О вероятность события !ет — р!( < е сколь угодно близка к единице, если и достаточио геликс. Случайная величина Ь была определеаа как отношение ж/и, где (7) Ш=Шг+ ..+Ш, является суммой независимых случайных величин, каждая из которых принимает значения ! или 0 с вероятисстями р и д = =- ! — р соответственно. Закон больших чисел можно обобщигь, выбрав в качестве ж„,..., Ш„какие-либо иезависимыс случайные величины с одной и тои же функцией распределеиия Р(и). При этом, согласно Хиичииу, па Р(и) Накладывается лишь требоваппе сугцсствова~ия коне шаго среднего значения а=(;ш, = ~иаир(и).
По Дюге, достаточно даже более слабое предположение о существоваиии конечной производной от характеристической функпии шг в точке г =0: р'(0) = га. (9) Согласно Хиичииу и Дкггс, обобщенный закон больших чисел гласит: й Ее. Предел«ные паап«мы ! зз Ес.ш ж>,..., >в„— независимые случайные величина«с одной и п>ои же функцпеа распределения и если выполняется условие (9), >по арифметическое среднее т = — (х, -ь...
-'ь ш„) (1О) с.годится по вероятности к а пра и- », Доказательство чрезвычайно просзо. В неко>арой окрестности точки 1 = О характеристическая функция 4>(1) близка к единице, следовательно, мы можем в этой окрестности положить 9>(1) = вчв. (11) Характеристическая функция арифметического среднего»г«равна [12) Так как в точке ! = О функция 9>(1) дифферепцнруема, то дифференцнрусма также и у>(1), причем ес производная равна (13) По определению производной (п>1)у>(1/п) стремится к у>'(О) нрн я, следовательно, (12) при и — имеет прелсл ! »т«) >м (14) Но правая часть (14) является харакгеристнческь(1 функцией величины а, которая с достоверностью принимает лишь «дно значение а, Таким образом, характеристическая функция и» при каждом 1 стремится к характеристической функции постоянной величины и.
Функцией распределения а является такая функция Е(и), которая в точке а совер>пает скачок г>т О к 1 и в лальнейшем с ростом и остается равной единице, Согласно прслсльной теореме, функция распределения т стремится к э>ой функции Е(и) во всех тех «очках и, глс Е(и) непрерывна. Следовательно, функция распределенИя т стремится к нулю при и < а н стремится к единице при и > а, Этот результат в точности соапалает с утверждением чеоремьь Только что доказанную теорему называют «слабым законом оольшпх чисел». Наряду с этим законом существует еще «усиленный закон больших чисел», но в математической с>атнстикс он едва ли играет заме>нук> роль.
(См. Хинчин А. 51., Япг 1а 1о1 >1ез 8гап«1в пош)>геа, Согпр1сз Вепдцз «1е !'Асад. «1са Яс1епсея, Раг1а, 188 (1929), 477, а также Гнеленко Б. В. и Колмогоров А. 11., Прелсльные распределения для сумм независимых случайных величин, П!ТТЛ, М., 1949, сто.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
