Б.Л. ван дер Варден Математическая статистика (1960) (1186203), страница 29
Текст из файла (страница 29)
(24) По условию теоремы это выражение тождественно по и должно равняться д,=б,'+в, (25) поэтому 1 со = дзз и с, = —. (26) а ' Далее, имеем 7 — 5 2' = с, (У, — з7,) + сз У, + сз Уз. (27) Для того чтобы вычислить дисперсию 2', нужно (27) возвести в квадрат и найти математическое ожидание: ггт = сазе, — ч)з)' + 2с,сзЯ(у, — ч7з) У, + 2сзсзЫуз — т1з) Уз + + сззЩ + 2сзсзегУзуз + сззбуз~. (28) Каждое из математических ожиданий в правой части (28) можно легко вычислить, например: Я(у, — т1,)з = Сь (,я; ел(х; — С,)1з = Если таким же образом воспользоваться свойствами ортогональпости матрицы (е,н), то найдем, что математические ожидания квадратов и произведений в правой части (28) равны г ' и О соответственно. Таким образом, получаем ггзг = (аз + се + сзз) ~з, (29) где с, уже задано равенством (26).
Следовательно, дисперсия (29) будет минимальной при се=с,=О, Гк. УП. Метод наименьшие квадратов 168 поэтому несмещенная линейная оценка с минимальной дисперсией задаегся формулой У во+% а ' Но в точности такая жс оценка получается и по методу наименьших квадратов. Этим завершается доказательство теоремы.
Геометрический смысл этой теоремы заключается в следующем. Пусть через наблюденную точку проходит плоскость, параллельная некоторой фиксированной плоскости, Несмещенной линейной оценкой 2' является то значение параметра, которое соответствует точке пересечения фиксированной прямой С с плоскостью, проходящей через наблюденную точку. Надлежащим выбором фиксированной плоскости можно получить любую наперед заданную линейную несмещенную оценку. Если эта плоскость перпендикулярна прямой О, то получается оценка д с наименьшей дисперсией. 8 32.
Оценка дисперсии ое Минимум квадратичной формы 9 = Х(а) — ве)' (1) в предыдуших параграфах был обозначен символом ве. Ортогональным преобразованием (17) 3 31 эта форма преобразуется в форму !е = (у — т)е)е+. + (у„— ть)е+ У,'е +... +У„', (2) минимум которой равен Я=У"е + +Ун Этот минимУм достигаетса в точке т), = Ун . ° т! =- Уо Математическое ожидание Я представляет собой сумму математических ожиданий квадратов уе~,,, у~, Эти математические ожидания вычисляютсн так же, как в $ 3! Г.
Таким образом, получаем Я (е = (п — г) о' (4) Ооююда следует, что ве =— (3) леоясно использовать в качестве оценки для <т'. Эта оценка является несяеи!енной. д 82. Оценка дисперсии аг Если дисперсии наблюдений сгг неодинаковы, то вместо (1) нужно рассматривать форму гье = д(х ьг) . (6) Однако подстановками т, -= хг )гд, (7) этот случай можно свести к предыдущему, и поэтому в качестве несмещенной оцснки для дисперсии наблюдения с единичным весом снова получается выражение (5).
Ясно, что оценка (5) при малых и — г очень непгчна и только с увеличением и — т ее точность повьннастся, Для уточнения этого высказывания нам нужно исследовать функцию распределения случайной величины гв. С этой целью мы предположим, что х„...,х„ — независимыс нормально распределенные случайные величины с одинаковым квадра енчным отклонением гг. Совместная плотность вероятности (х„..., х„) задается формулой л 1 ~(хг,..., хл) = о. (2гт) е е (8) Если опять вместо х, посредством ортогонального преобразования ввести новые переменные уг, то плотность вероятное~и (8) почти не изменится: е л д(уг,...,у„) =о.
(2п) з е ееег г ' -"'*; „,, (9) Следовательно, у,,..., у„— независимые нормально распределенные случайные величины со средними значениями .. )„о,...,() н квадратичным отклонением ег. Случайные величины у,г.г)гг, , у„/ег имеют нулевые средние значения и единичные дисперсии. Поэтому сумма их квадратов гг ~";, ).... иве (10) подчинлегггсл распределению те с п — г степенями свобода. Математическое ожидание уе равно п — г, что согласуется с формулой (5). При больших и — г случайная величина т' распределена приближенно нормально со средним значением и — г н дисперсией 2(п — т), Следовательно, отношение Хе гг ее л — е (и — е) о-Э аг распределено приближенно нормально с единнчпым средним значением и квадратичным отклонением Г2((п — г). Поэтому при Гл, рП.
Метод наименьших квадратов 110 больших и — г величина вз является хорошей оценкой для а.-'; нри малых и — т эта оценка очень неточна. Доверительные границы для вз)с -' люжно получить с помошью таблиц для Хз (табл. б). При практическсм вычислении 1Е' следует пользоваться формуламн (19) и (20) нз 3 ЗО. Из !В, согласно (5), можно получить в'-*, а из в' по формулам (11) и (12) из 9 31 можно получить приближенные значения для о-„-', аз и т.
дл а= иц', вз =- йзтвз, ы (! 1) Из (! О) следует, что отношение (п — г) а, (и — г) в' Гг аз аз ат и подчиняется распределению Хз с и — г степенями свободы. Так как хз не зависит от у, = т)„у, = т)„..., у, = «)„то Хз не зависит и от и, о,,... Отсюда, как и в 2 28, заключаем, что отношение г,— г, и — сьи и — яи аи и — Ги тггп — г (12) аи аи аи аи ои Х подчиняется 1-распределению (распределению Стьюдента) с и — г степенями свободы. Таким образом, С целью построения доверительного интервала для какого- либо одного из неизвестных паРаметРов Ет, йз,... следУет восполйзоваться соответствукицей оценкой по методу наименьших квадратов и„ь,,...
и для отыскания границ отношения (12) применить таблицы риспределения Стьюдента с п — г степенями свободь! (см, табл. 7). Пример 19. В знзантнйскпх солнечных таблицах' указаны моменты вступления солнца н каждую нз 12 частей пояса зодиака'. Весы: 23 сентября 12ч. 00м, лня Овен: 20 марта бч. 20м. ночн Скорпнон: 23 октября Зч.
ЗОм. дня телец: 2! апреля 11ч. 00 м. ночи Стрелец: 21 ноября !Оч. 30 м. Лня Близнецы: 22 мая !ч. 40м. ночи Козерог: 20 декабри Зч. 20 м. ночи Рак: 23 нюня бч. 31 м. 'дня Водолей: !9 яннаря 2ч. 20 м. дня Лен: 24 як ля 3 ч. 00 м. ночн Рыбы: 13 фенраля 2ч. 20 м. дня Дева; 24 августа Оч. 30 м. ночи '1г а и д е г % а е г д е и В. Б., Е!пе ЪутлпйшзсЬе Воппеп!нте!, ЯцюшкзЬег. Вауег. АЬас1. Ыйпеьеп (тпаьЬ.-пав), (1964), 169. ' Пояс золнака — рял созвездий, расположенных вдоль зклнптнкя— большого круга небесной сферы, по которому совершается видимое годнчное ланженне солнца. Пояс золнака подразделяется на 12 равных частей, получивших названия соответствующих созвездий.
— /)риль лерга. д ЗР, Оценки дисперсии и» 171 Дневное время отсчитывается с 6 час. утра, а ночнос — с 6 час, вечера. Если за начало отсчета времени принять момент вступления солнца в ту ~асть пояса заливка, которая называется «Весы», то моменты вступления солнцз в остальяые 11 частей зодиака будут задаваться чнсламн !!в ; казанными в третьем столбце таблипы, слслующсй ннжс, В четвертом . голбце указано среднее время вступления солнца в ~ ажд)чо из частей зодиака; это среднее время вычислено в предположении, что видимое вращение солнца вокруг земли сопсршается с постоянной угловой скоростью. Среднее »р»яя Если из моментов, указанных в третьем столбце, вычесть соответствующее среднее время, то получим поправки !ь величины которых даны в пятом » толбце.
При этом предпо.загнется, что год состоит нз 365 дней и 6 час. Такое предположение вполне допустимо, так как моменты, указанные в аиза~ тнисннх таблипах, за очевидным исключением, оируглены до чисел, кратных 10 мин. В первом столбце указаны номера границ межлу частями зодиака, а во втором столбце — угловые координаты )м этих границ. За начало отсчета углов выбрана граница между частямн «Рыбы» и»Овен», нрпчсм направление отсчета совпадает с направленном движения солнца. Определенная симметрия этих чисел !хотя и приближенная), а танже другие родственные тексты наводят на мысль, что византийские таблицы, по-винил»ил~у, вычислены на основе теории эксцентриков. Согласно этой »сории, солнце Б движется с постоянной скоростью по некоторой окружности 1по эксцентрику), эксцентрично расположенной относительно непо:ннжной земли Ж (рис.
20). Предполагая, что ннзантийскне таблицы вычислены по этой теории и что результаты, указанные в таблицах, содержат сл)чайные ошибки, мы постараемся возможно более точно опрелелнть »ксцентриснтет е соответствующего энсцептрнка и угловую координату и (на эклиптике) для апогея». Примем радиус эксцентрика за единицу. Пусть й — угловая координата солнца в момент его вступления в данную часть зодиака. Разность и = = д — и называют исшинной аномалией. угловое расстояние на эксцентрике »~ежду апогеем А и солнцем Я называют средней пиамплисй; мы обозначим л Эксцентрнснтет — отношение расстояния между землей и центром эксцен грина к радиусу эксцентрика, апогей — точка энсцентрика, манснмально удаленная от земли.
— Прим. перев. — 180 — 150 — 120 — 90 — 60 — 30 0 30 60 90 4 120 5 ( 150 — 6 — 5 — 4 — 3 — 2 — ! 0 1 2 3 0 29д.15ч.ЗОм 58д. 22ч. 30 и 88д. Зч.20м 117 д. 14 ч. 20 м 147 д. 14 ч. 20 м 178 д. 5 ч. 20 м 209 д. 11 ч. 00 м 241 д. 1 ч. 40 м 272 д, 18ч.ЗОм 304д, Зч.ООм 335 д. 0 ч. ЗО л» 30д 60д 91 д 12! д 152 д 182 д 213 д ! 243 д ) 273 д , 304д , 334д 0 10 ч. 30 и. 21 ч, ООм. 7 ч. Зо ль 18 ч. 00 м. 4 ч. 30 ль 15 ч. 00 м. 1 ч. ЗОм. 12 ч. 00 м. 22 ч.
30 м. 9 ч. 00 м. 19 ч. 30 м. 0 — !9 ч. 00 м. — 46 ч. 30 ы. — 76 ч. 10 м. — 99 ч. 40 м. — 110 ч. 10 м. — 105 ч. 40 и. — 86 ч. 30 м. — 58 ч. 20 и. — 28 ч. 00 м. — 6 ч. 00. м. + 5ч.ООм. > и. )>11. Метод наимешших квадратов ее х+ >о. Разность межлу не!инной я срелией аномалиямп, равная — х, называется уравниванием центра.
В частности, если Л = О, то х = — х н средняя аномалия ранна хо — а. По теореме синусов плоской тригоно- метрии х, х н эксцентриснтет в связаны соотношениями: вшхо = ва1п( — а) вшх =-. ее>пх, (13) или хо —— — втс вш (в вши). х =- вгс шп (в вш х), (14) Так как е мало, то правые части (14) можно разложить в степенные ряды, в наждом пз которых мы ограничимся первыми двумя членами: 1 х = е а!п х -! — вз в)пз х = е вш х + 5 1 + — в' (3 в>п х — вш Зх) = 24 (1 5) 1 1, 1 =- ~в + -- в> ~ а1п х — — ез вш Зх, 8 ! 24 хо — -- — ~в+ - аз~а>паз+ — вовшЗа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
