Б.Л. ван дер Варден Математическая статистика (1960) (1186203), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Веселел углов дл = ВА,..., бл — — 57Н, как уже говорилось выше, выражаются через эти веизвестные: дл = ВЛ =. !9е25'59",42+ ш, Гл = В!Р = 34'18'43",6! ! с, д~ — ЛИ' == 14'52'44",19 — ш+ С, н Ь е й 0 0 +0,14 ( +0,79 ( о , — 0,26 0 ( -',-0,51 0 О 0 О О -'-1 — ! 0 -)1 0 0 0 +1 0 — 1 +1 — ! 0 +1 +1 0 0 0 +! 0 0 0 О +1 0 0 11 Б. л. ван а.р Варден ° !Оае дв = агН = 11'44'11",09 — и+ е.
Коэффицллевты этих выражений иь Ьн сь дв веса д, и отклонения сс указаны в следующей таблице: Гл. )суу. Метод наи.ненаших квадратов 162 Соответствующие нормальные уравнения имеют вид 12м — 2а — 4ю = — 0,02, — 2м + бо — 2! = +0,56, — 4м + 20са — 7! =. — 2,02, — 2а — 7са+ 171= +2,56. (23) Заменив правые части уравнений (23) буквами А, В, С, В и затем решая эту систему относительно и, о, ш, С, получил! внеопределеннос> решение вида и = 0,00978 А + 0,00375 В + 0,00247С + 0,00146 В, о = 0,00375 А + 0,01890 В + 0,00!?8 С + 0,00296 Р, са 0,00247 А+ 0,00178 В+ 0,00650С+ 0,00289 В, 1 = 0,00145 А + 0,00296 В + 0,00289 С + 0,00742 В. (24) Коэффициенты правых частей (24) являются элементами Ьтт,..., Ьсв матрицы, обратной матрице системы (23).
Если в (24) вместо А, В, С, х) подставить свободные члены уравнений (23), то получим и = — 0,032, о = — 0,065, св = — 0,067, ! = +0,115, При этом поправки й! равны )с, =- — 0,067, 1в = +О,! !5, )с, = Ч 0,042, !с, = — 0,609, )св =- — 0,065, йв = +О 225 !ст = — 0 032. йв = — 0,543. Теперь можно вычислить м' по формуле (!9) или (20). 1!входим, что. согласно обеим формулам, !3 = 1,71. й 31. Средние значения и дисперсии оценок Ь Оценки О, полученные по методу наименьших квадратов, являются линейными функциями результатов наблюдений х„ и, следовательно, случайными величинами Вычислим их средние значения н дисперсии. А. СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ В этом случае решение (!) равно и' =~~ Ьнг, 7 Пусть система нормальных уравнений (!3) 3 30 имеет единственное решение и, о,..., которое мы обозначим теперь и',..., и', а сами нормальныс уравнения запишем в виде чл и"=и, (1) д ЗД Средние значения и дисперсии оценок й 103 где (Ьц) — матрица, обратная матрице (Ьц): 1, если з= Ь, 2:Ь|уья — — 31 = О, если з ф Ь.
(3) Соотретствующие оценки в запишутся в виде равенств ба=Я+ма (2=1,...,г]. (4) йя — — бз + из, (5) Так как бач выбРаны Равными истинным значениЯм бя, то соответствующие Я равны С1 — математическим ожиданиям х|, Поэтому математическое ожидание разности ьсо (6) равно нулю. Отсюда, согласно (21) Э 30, следует, что из также имеют нулевые математические ожидания. Поэтому, в силу (5), Математические ожидания оценок Ссз равны истинным значениям параметров бю Это жс самос можно выразить и так: Оценки йз лишены систематических ошибок, или Оценки б являются несмещенными.
Б. дисперсии При вычислении дисперсий мы будем исходить из предположения, что все х, являются независимыми случайными величинами с постоянными дисперсиями |г,', не зависящими от б. В Э 30 веса д, были выбраны обратно пропорциональными дисперсиям |гз следовательно, мы можем положить (7) д, оз = о'-'. ' Это утисрждснпс анторп, без>слонно, нерио тогда, нагла функции (!) й ч30 линейны.
В протннном случае будет лишь приближенное рааенстно » (л~(йв + и") гн Ь(йя + и"), причем разность между леной и праной частями. вообще говоря, стремится и нулю прп неограниченном иозрзстаняи числа наблюдений и. — Прим. перев. 11» для упрощения вычислений средних значений ьск.мы в качестве в,' выберем истинные значения параметров Ю . При практических расчетах равенства ь1", —— д„, конечно, может и не быть, так как истинные значения неизвестны, но при теоретическом вычислении средних значений и дисперсий это допущение не окажет никакого влияния на результат'.
Таким образом, вместо (4) мы напишем Гл. 1'П. Метод наине««шик квадратов 164 и'=и=а1,+... +а1„. (8) Так как все 1, — независимые случайные величины с дисперсиями о,', то дисперсия и равна аг = атгсгг -« -1- аго-г Это же выражение, согласно (7), можно записать так: а* аг= ~а«в «л-«е или, согласно (221 3 30, ог = ~ д, (Ь"а, + Ьг«Ь, +, )г о'г = = (Ь" Ь" [даа) гр 2Ь"Ь'г [даЬ) + Ь'«Ьм [дЬЬ) +„,)а-г Величины [даа),... являются коэффициентами нормальных уравнений. Эп« коэффициенты мы обозначили буквами Ь, поэтомуу , г ()')'Ьмй Ьгн) .г (10) 1 и или, в силу (3), о.г = Ь"о.-'.
« Точно так же прн Ь =- 2 получим ,г Ьгг г (11) (12) и т, д. В. НАГЛЯДНОЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ Для геометрической иллюстрации метода наименьших квадратов мы рассмотрим случай, когда имеется лишь один неизвестный параметр (т = 1) и три равноточных результата наблюдений. В этом случае наблюденные значения х„х,, х, можно истолковать как координаты наблюденной точки Х в пространстве переменных х,, х„х,. В качестве начала координат примем точку ег, которая соответствует начальному приближению, введенному в й 30.
Предположением же, согласно которому сг совпадает с истинной точкой ьо, мы теперь пользоваться не будем. Величина аг равна дисперсии наблюдения, которому соответствует вес, равный единице, поэтому аг называют «дисперсией на единицу веса«. Согласно (5), дисперсия д„равна дисперсии и", для вычисления которой мы снова воспользуемся формулами (21) э 30. При Ь = 1 имеем д З1. Средние значения и диеяереии аценик д Уравнения (7) 3 ЗО являются параметрическими уравнениями некоторой прямой линии. Так как в данном случае имеется лишь один параметр и, по предположению, все Ь," = О, то уравнения прямой упрощак>тся: (13) е,=нем (в=1,2,3). Этой прямой С принадлежит «испщнная точка» Р, координаты козорой равны математическим ожиданиям результатов наблюдений: ~~ — — хн 11аблюдснная зочка Х расположена где-то вблизи от точки Р (рис.
!9). Форма 9 = (ле чае)з + (ле ьз)з + + (хз — Г,)е (14) представляет собой квадрат расстояния между наблюденной точкой Х и прямой С. Отыскание минимума Я равносильно отысканию на прямой С такой точки Р, которая менее всего удалена от Х. Следовательно, Р является основанием перпендикуляра, опущенного из Х па прямую С. Формулы для вычисления координат основания перпендикуляра станут проще, сели мы предварительно произведем ортогональное преобразование координат.
В качестве одной из новых осей выберем прямую С, а две другие оси расположим перпендикулярно С, В новых координатах параметрическими уравнениями С будут являться: з7, = аи, з7е = О, з1з = О (ае = аз + ае, + а~). (15) В общем случае (г параметров и п величин х,) нодпространство С задается параметрическими уравнениями (16) ье, =- а,а + Ьев+ Ортогональное преобразование можно записать в виде равенств и,=~е уя (1 7) Для того чтобы г новых координатных направлений лежали в подпространстве С, нужно, чтобы первые г столбцов матрицы (е,„) являлись линейными комбинациями векторов (ае), (Ь,),.... Выберем в качестве первого столбца вектор (Хан), в качестве второго столбца — линейную комбинацию векторов (ра, + иЬ,) н т.
д., а затем определим коэффициенты Л, ре, и,... из условия ортогональности. Гт ТХН. Метод наименьших квадратов Если вычислить математичсские ожидания правых и левых частей (!7), то получим равенства еыь = ~ е ет1е, е где т1о..., «1, представляют собой линейные комбинации и, о, а т1,+,,...,т! все равны нулю, как это было в (15) для г = 1 ив=3, При ортогональном преобразовании форма () остается инва- риантной, поэтому в случае я = 3 имеем 9 = (У вЂ” ь)е + (Уь — ! )'+ (Ув — 1ь)', или, согласно (15), 9 = (Уь — 1.)' + У~ + Ум (18) Эта форма достигает минимума ф при т1, = у„следовательно, т!ь = Уо в!е = т1ь = 0 (21) (22) И в этом общем случае 9 можно также истолковать как квадрат расстояния ХР, но уже в я-мерном пространстве.
Случай неравноточных наблюдений подстановками к,= а-о, сводится к случаю, который только что был рассмотрен и про- иллюстрирован геометрически. Г. ТЕОРЕМА ГАУССА Гаусс дал второе обоснование метода наименьших квадратов, опирающееся иа следующую теорему: Среди всех несмещенных оценок парометра д„яелякяцихся линейными функциями наблюдений ко наименьшей дисперсией облидает оценка й. Я= у~+ уа. (19) Равенство (18) является выражением «теоремы Пифагорак (РХ)е = (РР)е + (ХР)в.
(20) Левая часть равенства (20) представляет собой форму первое слагаемое справа равно (у, — т1,)в, а второе слагаемое— Я = я'г + е'м В случае г параметров и и наблк>денных величин получаем следующие обобщения формул (18) и (19): 9 = (У, — 1ь)'+ ..
+ (У, — 1,)'+ Фо + .. + Ы, () = Фьт + .. + у.'. 167 У З1. Средние значения и дисогргии оценок С Очень короткое доказательство этой теоремы Гаусса указано в работе Р1ас)ген В. Ь., В(озпе1г1ка, 36 (1949), 458. Здесь будет воспроизведено доказательство, основанное на ортогональном преобразовании (17). Мы ограничимся случаем г = 1, п = 3, а обобщение для произвольных г и и предоставим читателю. Пусть 2' — некозорая оценка параметра д,, являющаяся линейной функцией от х,, х,, х,, а значит, и линейной функцией от ум уз уз: (23) 2' = с, + су, + су, + су,. Когда мы говорим, что оценка 2' является несмещенной, то подразумеваем, что математическое ожидание Т является функцией от бм тождественно равной бн Математические ожидания у, н У, Равны нУлю, а математическое ожиДание У, Равно ч7п следовательно, Я 2' = со+ сзч1, = со+ с,ап.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
