3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971) (1186156), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Харриса, упоминаемую в списке литературы в конце главы). — Прим. перев, Гл. //. Ветвящ!!еея проиееем Введем две производящие функции и!'!(з„з2) =. ~~ а'„1! з/'зоб 1= 1, 2 (!а/~ ~(1, 1г (~(1). ПУсть Ро„ян /, /„(/) — веРоЯтность того, что в момент 1 попУлЯциЯ состоит из /', объектов типа 1 и /2 объектов типа 2 при условии, что в момент 0 было й! объектов типа 1 и й2 объектов типа 2. Поскольку инфипнтезнмальпые параметры а/" „не зависят от времени, переходные вероятности с необходимостью стационарны. Определим производящие функции ф/2! (/; з , ,) = ~чз, Р.
ь . , (1) /, /. /„Ь-О Тогда аналогично одномерному случаю получим 2' Рщ ./е/,(1)з/1'зол= !„ /,=о =(ф!!! (1; зь з,)) ' (фнв (/; зь зе)) ', й„ /02 = 1, 2, ..., (10.1) Фактически соотношение (!О.1) можно считать определяющим для ветвящихся процессов с двумя типами частиц н непрерывным временем, Другими словами, можно сказать, что любая переходная функция, удовлетворяющая (10.1), порождает марковский ветвящийся процесс с двумя типами частиц и непрерывным временем.
Марковский характер процесса выражается уравнениями Колмогорова — Чэпмена Рщ, 0; /, / (/+ т) = 2~ Ря„м1/„ь(1) Р/, ы/» 1.,(т). (10.2) 1,. /,-О Из (10.1) и (10.2) следует ( ' 1' 2) В~~~ 10/ /( + ) 1 2 Р1 01 /.(1)Р/ 1, /, (т)з/1!з2/'= /в 1,-О Ы'Ь=О 1011()~/ 11,/ /()12 1„/,-о ' ' '. /в/,=о — Х Р1,0;ы/,(/ИФ"'(т; 21, 22))" [Ф12/(т' з/, 22))ь= /я !,-О ф (1 ф (е зь з2) ф (! з1 з2))' д /Р, Процесс с неарерывным временем и двумя тняал<а настнц 347 Аналогичное соотношение выполняется и для функции ф>'>(1; з>, зе). Таким образом, ф!" (1+ т; з>, з,) = ф!'>(1; Ф!'>(т; вь зе) ФЫ> (т; з>, з,)), !' 1,2.
(10.3) Кроме того, ( ' !' е) " ~ 1 0 > ! ( ) ! 2 (б! бс> + а! !' Ь + о (Ь)~ з> з> = з, + Ьи!и (з„з ) + о (Ь); л аналогичное равенство имеет место для ф!'>(Ь; з>, зе). Таким обра- зом, ф!'>(Ь; з„з,)=-з>+Ьи!'>(з„з,)+о(Ь), >=-1, 2.
(10.4) Получим теперь уравнения в частных производных, которым удовлетворяют функции Ф>о(1; з>, зз) (!' = 1, 2), аналогичные уравнениям (7.!0) и (7.13). Для этого положим сначала т = Ь и подставим (!0.4) в (10.3). Используя формулу Тейлора, получаем ф!'> (!+ Ь; з>, зе) = = фгб (с; з, + Ьи'и (зь з,) + о (Ь), з, + Ьи"> (з з.) + о (Ь) ) = = Фей (1; зь з,) = ' ' "> йи>и (зь з,)+ ! в дв Разделив обе части на Ь и положив Ь- О, формально получим дифференциальные уравнения дФс>> (О в,, е!) дв>>> !Ь вь ве! + ' ' е и<г>(з з) >=1 2 (103) де, Обратимся вновь к равенству (10.3) и положим на этот раз ! = Ь.
Используя (10.4), получаем формулу. ф (Ь+ т з>1 з2) Ф (Ь! Ф (с! з! з2)л Ф (т з! зе)) = ф>0(т; з„з,)+ Ьи">(ф"> (с; зь з,), Фон(т; зь зв))+ о(й). Разделив на Ь, положив Ь - 0 и заменив т на 1, получим вторую систему дифференциальных уравнений =и>'(Ф>п(!' з! зв) Фон(!' з» зв)) 1=1, 2. (1О.б) Начальные условия для уравнений (!О.б) и (!0.6) таковы: Ф! > (О> 8>, зх) вс, ! = 1, 2.
Гя. !1. Ветвящиеся ярояессы 848 С помощью (10.5) и (!О.б) можно получить системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют моменты искомых случайных величин. Здесь мы не будем входить в детали этих вычислений. Дадим теперь несколько применений и примеров ветвящихся процессов с двумя типами частиц и непрерывным временем. П р и м е р 1. В первом примере рассматривается ветвящийся процесс с иммиграцией. Рассмотрим одномерный ветвящийся процесс с непрерывным временем и обобщим его, допустив, кроме ветвления, миграцию частиц в систему. Напомним, что бы+пой+о(Ь), Й= О, 1, 2, ..., — вероятность того, что какая-либо частица превратится в й ча- стиц за малый интервал (с, г + Ь) независимо от предыстории про- цесса. Включим процесс иммиграции в популяцию следующим об- разом.
Пусть боя+ Ьой+о(й), Ь= О, 1, 2, . а <О, Ь,<0, а„- 0 для й=0,2,3, Ьо)0 для (г=1, 2, 3, '„Р а,= ХЬ,=О. о-о я-о Пусть Р, (1) = Р (размер популяции в момент 1 равен й ! в момент 1 = 0 размер популяции = 0) = =Р(Х(1)=)г1Х(0)=0), /г=О, 1, 2, ..., (10.7) и пусть Ф (Г; а) = Д Р (1) з". (10.8) Наша цель — найти вероятности Р,(() или — если это невозможно — получить некоторые их свойства. Введем производящие функции и(з) ~ поз~, о(з) = ~г Ьоз~. о о я-о — вероятность того, что (независимо от предыстории процесса) Ь частиц того же типа добавятся к популяции за временной интервал (г, 1+ Ь). Заметим, что параметры ая так же, как н параметры Ьм по предположению не зависят от времени; иначе говоря, соответствующие переходные вероятности стационарны.
Величины ая и Ьо подчиняются условиям Э )д Процесс с ненрерывнв~м временем и двумя тинами нистнц 349 Можно представить одномерный ветвящийся процесс с непрерывным временем н иммиграцией в виде ветвящегося процесса с двумя типами частиц. Идея, лежащая в основе упомянутого представления, заключается в следующем. Имеются два типа частиц: частицы типа !в реальные, в то время как частицы типа 2 — фиктивные, Реальная частица по окончании своего времени жизни (которое является зкспоненциально распределенной случайной величиной с параметром Х = по+ а, + аз+ ...) порождает й новых реальных частиц с вероятностью Х аи (Й=О, 2, 3, ...).
Фиктивная частица также живет случайный отрезок времени (экспоненциально распределенный с параметром Л= Ь| + Ье +...) и в конце его порождает 1 реальных частиц и одну фиктивную с вероятностью Х-'Ь, (1- = 1, 2, 3, ...), Заметим, что ~ Х Ь, = 1. Потомство фиктивных С-1 частиц соответствует иммиграции. Таким образом, ~ аи„если й, = О, ащ О, если А,~О, ~ Ь„„если /г, = 1, 1 О, если Й,Ф!.
Тогда в соответствии с обозначениями, введенными в начале этого параграфа, имеем и'"(я я)=-. Х а"'' ямяи = ~ а я", и -о и") /я, я)= ~ аи) вазед=я, ~ Ь яич Таким образом, и'"(яь я,)=и(я,), исо(яь я)=яео(я,), В рассматриваемом частном случае дифференциальное уравнение 110,5) принимает вид дФ' (й вь ве) дФ 10 вь ве) ( ) дф' (й вь ве) 1 1, 2, 350 Гя. ад Вегвящпеея ярояееем а дифференциальное уравнение (10.6)— (Ов!,в2) (фп)(,, )) ";," "' =(фпи ((; зн з,)). (ф~п(1; зь з,)). (Ч 0.10) (10.! 1) Установим теперь соответствие между вероятностями Рьь~,,ь(!), введенными для процесса с двумя типами частиц, н вероятностями, определяемыми соотношением (10.7).
В соответствии с введенными обозначениями начальное состояние (О, 1) для процесса с двумя типами частиц означает, что в момент 0 реальные частицы отсут- ствуют, а имеется лишь фиктивная частица — «потенциальные им- мигранты». В силу определения очевидно, что ы Рл(!), если /з = 1, О, если / чь1, и, следовательно, ф (~ з1 зз) ззф (г! з~) (10.121 Тогда из (10.9) получаем д! дв (10.!3) где вместо з~ мы написали з. Начальное условие имеет вид ф(0; з) =. 1, (10.14) с начальным условием (!О.!4). Решение уравнения (!О.!5) равно П р и м е р 2.
В заключение параграфа опишем простой немарковский одномерный ветвящийся процесс (бинарного деления) с непрерывным временем, который можно свести к марковскому Вместо того чтобы решать это дифференциальное уравнение, решим систему уравнений (!О.!0) и (!0.1!), что легче. Уравнение (10,10) можно рассмотреть методами, примененными для анализа уравнения (7.13).
Решение уравнения (!О.!0) можно представить в виде, аналогичном (9.6). Обозначим его через !'(1; з); здесь вместо з~ и зз записано сокращенно з. В сигу (10.12) уравнение (10.!!) принимает вид д! Э !О. Процесс с непрерывным временем и двумя типами настиц Зо! ветвящемуся првцессу с двумя типами частиц. Предположим, что частица имеет распределение времени жизни с плотностью Хт — 1е-ы 2 (10.16) — 1, если lг,=1, ан> = +1, если м, =О, ин ие 0 в противном (22=0, ~2 случае, +1, если /г, =2, а<2> = — 1 если й, = 0 пни, ! 0 в противном й2 = О, (22= 1, случае, где для простоты предполагается, что й = !. Тогда ип> (ан з2) = — з~ + з2 и!2> Гз, з Х = з2 — з .
(гамма-распределение порядка 2). По истечении времени жизни частица заменяется па две частицы такого же типа, каждая из которых независима от другой и исходной частицы и имеет плотность (!0.16) времени жизни. Марковские процессы в общем случае характеризуются тем свойством, что время пребывания в любом состоянии распределено зкспоненциально.
В данной главе время пребывания в данном состоянии определяется временем жизни частицы. Если оно распределено экспоненциально, то процесс роста популяции этих частип является марковским, В рассматриваемом случае время жизни распределено не по экспоненте, а по свертке двух экспонент. Пусть Х(!) — число частиц в момент 1; предположим, что Х(0) =- 1. Поскольку (!О.!6) — плотность суммы двух независимых зкспоненциально (с параметром й) распределенных д. с. в., можно считать, что каждая частица как бы проходит две фазы развития, каждая из которых имеет экспоненциально распределенную с параметром Л длительность, Такой процесс нетрудно свести к маровскому ветвящемуся процессу с двумя типами частиц. Вместо того чтобы говорить о двух фазах жизни одной и той же частицы, будем говорить о двух типах частиц.
Частица типа ! имеет экспоненциально распределенное с параметром >. время жизни н по окончании его превращается в частицу типа 2. Частица типа 2 имеет экспоненциально распределенное с параметром й время жизни и по окончании его превращается в две частицы типа !. Таким образом, в обозначениях данного параграфа имеем 352 Гл. Тл Вегялщаеея лрояеееы Соотношения (10.5) и (!0.6) примуг соответствующий частный вид. Производящая функция величины Х(1) при условии Х(0) = 1 может быть получена из фщ(1; зь зя) при з1 = з, = з. $ 1!. ВЕТВЯШИЕСЯ ПРОЦЕССЫ, ЗАВИСЯШИЕ ОТ ВОЗРАСТА В атом параграфе мы рассмотрим модель ветвящегося процесса, где каждый объект (илн частица, или индивидуум) имеет случайное время жизни с произвольным распределением, а по окончании его порождает своих потомков.
Этот процесс следует сравнить с ветвящимися процессами, у которых время жизни одного объекта фиксировано или зкспоненциально распределено. Предположим, что отдельный объект имеет время жизни случайной длительности Т с плотностью Г(1), т. е. вероятность того, что время жизни объекта лежит в интервале (1, ! + г(!), равна Г(1)г(Е Предположим далее, что по окончании времени жизни объект порождает два новых объекта такого же типа, времена жизни которых будут независимыми случайными величинами с той же плотностью Г(!). По окончании своего времени жизни каждый объект снова породит два новых объекта того же типа, и зтот процесс продолжается бесконечно долго.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
