3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971) (1186156), страница 54
Текст из файла (страница 54)
В данном параграфе мы исследуем структуру однородногх по времени марковских ветвящихся процессов; в 3 11 предположение о том, что процесс является марковским, будет снято. Определим марковский ветвящийся процесс с непрерывным временем, имеющий в качестве состояния Х(!) число частиц в момент ( при условии, что Х(0) = 1, через инфинитезимальные параметры процесса. Пусть 6,„+пай+о(Ь), й=О, 1, 2, ...
(7.1) (см. $ 4 гл. 7 и 3 3 гл. 8) — вероятность того, что одна частица по- родит й частиц (или объектов) за малый интервал ((,( + Ь) дли- тельности 6. В (7.1) бта обозначает, как обычно, символ Кронеке- ра. Предттоложим, что а, (О, аь)~ 0 для й = 0,2, 3,, и ~ ал = О. я=о (7.2) Далее, постулируем, что отдельные частицы действу!от независимо друг от друга и всегда «управляются» инфинитезимальпыми параметрами (7.1).
Заметим, что при этом предполагается однородность по времени, поскольку ал не зависят от моментов превращения (или расщепления) частиц. Другим способом выражения инфинитезимальных переходов является разбиение времени на участки, где не происходит превращений, и рассмотрение различных вариантов превращений. Так, каждый объект живет случайное экспоненциально распределенное вРемЯ со сРедним значением Х-т, Х = ао + аа + аз +... а 334 Гл. >Л Вэгвяа>чэгз прояеггы По завершении времени жизни он порождает случайное число 0 потомков, представляю>цих из себя такие >ке объекты. Вероятностное распределение 0 имеет вид Время жизни и число потомков для отдельных индивидуумов — независимые случайные величины, и их распределения не меняются от индивидуума к индивидууму.
Принимая во внимание предположения о независимости, в особенности то свойство, что отдельные индивидуумы действу>от независимо друг от друга, можно (7.1) представить как инфипитезималы>ые переходные вероятности: Р(Х (1+ 6) = п+ й — 1 ~ Х (1) = п) = па,й + о (й), (7.3) Р (Х (1+ й) = и ~ Х (1) = и) = ! — па, й + о (6), (7.4) где о(М)7Ь- О при 6- О+. Мы уже имели дело с примером ветвящегося процесса с непрерывным временем, когда рассматривали процесс рождения и гибели. Действительно, если положить аэ = >., ао = и, а> — — — (Х + р), а, = О, >> ~ О, 1, 2, то величину (Х+ р) ' можно интерпретировать как интенсивность наступления событий рождения и гибели; Х>>(>, + р) (р!(>, + р)) — вероятность рождения (гибели) при условии, что какое-то из этих событий произошло.
Так определенный случайный процесс, состоянием которого является размер популяции, есть не что иное, как процесс рождения и гибели с линейным ростом (см. гл. 7, 3 8). Как указано в гл. 8, задача построения марковского процесса, соответствующего заданной инфинитезимальной матрице, не является легкой. Е>це более трудная задача — проверить, что построенный процесс имеет реализации, соответствующие предположениям для ветвяшегося процесса, т. е. отдельные частицы порождают независимые семейства, потомки действуют независимо друг от друга н т. д.
Мы не будем касаться анализа этого построения, так как он выходит за рамки данной книги. Более подготовлеппын читатель может эти вопросы найти в книге Харриса (см. литературу в конце данной главы); мы >ке сошлемся на 3 3 гл. 8, где обсуждаются связи между марковскими процессами и ипфинитезимальными матрицами. Пусть Р;,(1) (предположим, что всюду далее она определена корректно) — вероятность того, что размер популяции в момент 1 равен 1 при условии, что в момент О он был равен й или РО(1) = = Р(Х(1+ э) = 1~Х(з) = >). Как показывает обозначение, эта вероятность зависит лишь от прошедшего времени, т.
е. процесс З 7. Вствяеииеся проис сы с непрерывныя вргленслл ззб имеет стационарные переходные вероятности. Введем производящую функцию р((;.) = Х р,(()". (7.5) Поскольку индивидуумы развиваются независимо, имеем основное соотношение (ср. со стр. 315) Х (омЯ ~= (Ф((' з)) г-о (7.6) Формула (7.6) характеризует ветвящиеся процессы н выделяет их среди других цепей Маркова с непрерывным временем. Она выражает то свойство, что различные индивидуумы (частицы) порождают независимые реализации пропссса, где потомство одних индивидуумов пе влияет па потомство других.
Другими словами, популяция Х(1;(), порожденная с объектами, статистически совпадает в момент ( с суммой ( независимых популяций, каждая из которых порождена одним объектом. В силу однородности по времени уравнения Колмогорова— Чэпмена имеют вид Р ц И + т) = Х 7л со (() Р ю (т). в-о (7.7) С помощью (7.5), (7.6) и (7.7) получим И (~+ т; з)1' = Х Р и ((+ т) л = Х Х Р, Ю Рог (т) зл л-о !-оя-о = Х Рм(()Х Рю(т) '= Х РыЯ(Ф(т; з))'=[У(~; Ф(т; з)))' н, в частности, ~ (г + ', в) = р(г; ~ (', .) ).
(7.8) и (з) = ~2.'~ анз". н-о Соотношение (7.8) является непрерывным аналогом итерационной формулы, введенной в й 2, которая является основной для ветвящихся процессов с дискретным временем. Введем производящую функцию инфинитезимальпых параметров (7.!).
Именно пусть ЗЗБ Гл П. Зогвяциогя ороцеооы Проводимый ниже анализ является формальным. Рассмотрим ф(Ь; я) = Х Р„(Ь) ях= ~ (бы+ а Ь+ о(Ь)) я~= о=о о=о = я+ Ь ~ а;я~+ о(Ь) = я+ Ьа(я) + о(Ь). 1-о (7.9) Из (7.8) при т = Ь имеем ф (1+ Ь; я) = ф (1; ф (Ь; я) ) = ф (1; я + Ьи (я) + о (Ь) ) дФ (Ь о),, а (Ь) Устремив Ь к О, получим дФ (й 5) дф (Ь 5) д~ дя (7.10) Это уравнение в частных производных относительно функции двух переменных ф(1; я), удовлетворяющей начальному условию ф(0; я).= — ~ Р„(0) яу= — я. г=о (7.1 1) Если известна и(я), то уравнение (7.!0) с начальным условием (7.11) можно решить относительно ф(1; я).
Дифференциальное уравнение (7.10) является формой прямых дифференциальных уравнений Колмогорова, которые были свернуты в уравнение относительно производящей функции исходных переходных вероятностей. Можно вывести второе дифференциальное уравнение относительно ф, которое соответствует обратным уравнениям Колмогорова. Для этого положим в (7.8) 1 = Ь. Получим ф(Ь+ т; я) =- ф (Ь; ф(т; я) ), Вновь используем (7.9) и разложение Тейлора. Тогда ф(Ь+т; я)=ф(т; я)+Ьи(ф(т; я))+о(Ь). Это выражение можно переписать в виде Ф (т + а; я) — Ф (т; о) + о о(а) (7.12) н, разлагая правую часть по лора, получаем ф (1 + Ь; я) = ф (1; Тогда Ф 0 -~- Л; я) — Ф (0 я) а второй переменной по формуле Тейя) Р д Ьа(я)+о(Ь) Э д.
Вероятности вырождения для ветвящихся ярояессов 337 Устремляя 6-+О+ и заменяя т на с, получаем — ",",:' | м(ф((; з)). (7.13) Это обыкновенное дифференциальное уравнение. Начальное усло- вие для него вновь (7.11). Позже будет показано, как можно эф- фективно решить уравнение (7.13). а а. ВеРОятнОСти ВыРОждения для ВетВящихся пРОцессОВ С НЕПРЕРЫВНЪ|М ВРЕМЕНЕМ Решим сначала более легкую задачу нахождения среднего значения Х((). Для этого продифферепцируем (7.10) по в и изменим порядок дифференцирования в левой части. Получим д дф((; в) дтсс((; в),, дте(т; е) (8.!) Положим з = 1. Тогда, поскольку и(1) = 0 (условие (7.2)), имеем —,) = и' (1) пт ((), (8.2) где (г) й( (Х (г)) М (; ) ~ де Решение уравнения (8.2) имеет вид тп (() = ехр (и' (1) (), (8.3) следовательно, Рм(1) = (Р|о(())'.
Но Ртв(() — вероятность того, что популяция, имеющая в начальный момент размер с, выродится к моменту (. Интуитивно очевидно, что Р|е(с) — неубывающая функция й Докажем это формально, используя (7.8). В самом деле, Рс„(|+ ) =(ф((+; О))'=(ф((; ф(, О) ))') ~ф((, О))'= Р„((), поскольку т(0) = 1, если предположить, что Х(0) = 1.
Займемся теперь задачей о вырождении. Для этого всюду далее в этом параграфе будем предполагать, что ае ) О, так как в противном случае вырождение невозможно. Достаточно рассмотреть случай, когда в момент 0 имеется один индивидуум. Действительно, из (7.6) известно, что Гл. !1. Петвяивцеся процессы 338 где использован тот факт, что ф(1, в) является степенным рядом по в с иеотрицательиыми козффициеитамп и, следовательно, возрастающей функцией з.
Вероятность вырождения можно определить как вероятиость того, что популяция, порождеииая опиям иидивпдуумом, исчезнет, т. е. (пп Рю (1), Используя теорию ветвящихся процессов с дискретным временем Я 3), легко найти вероятность вырождения в случае непрерывного времени. Пусть 1е — любое фиксированное положительное число; рассмотрим процесс с дискретным времеием Х(0), Х(1л), Х(21е), ..., Х(п1в), ..., где Х(1) — размер популяции в момент 1, соответствующий исходному ветвящемуся процессу с непрерывным временем, Х(0) =!. Поскольку по предположеигпо Х(1) — марковский процесс, процесс с дискретным времсяем, то У„ = Х(п1р) образует, очевидно, цепь Маркова.
Более того, ои является ветвящимся процессом с дискретным временем. В самом деле, в силу гипотезы об одиородности процесса Х(1) и в силу (7.6) получим ~ Р (У„,, = й ! У„= 1) з = М ~!е "+ ' ! У„= с'! = в-о = М(зг'ы'и ''!Х(п1п) =- 1) = М(зхгв~ Х(0) = 1] = =-(ф(1;, .))'=(М(ах!ы !Х(О) = !)У =(М(ег !У, — !))'.
Отсюда следует, что (У ) является ветвящимся процессом. Производящая функция числа потомков одпого иидивидуума для этого процесса равна !Ь(1е, з). Следовательно, вероятность вырождеиия процесса (У„) является иаименьщим неотрицательным корнем уравнения (8.4) как зто показано в 3 3. Но Р(У„= 0 при некотором и) = Вщ Р (Уп = О) = = ! пи Р (Х (п1е) =- О) = ! (п~ Р (Х (1) = 0) = с).
и -+ 1 -> Следовательно, вероятность вырождения д ветвящегося процессе Х(1) с непрерывнтялс временем является наименьшилс неотрицательным корнем рравнения (8.4), где 1в — любое положительное число. Поскольку с) — корень уравнения (8.4) при любом 1в, следует ожидать, что вероятность д можно найти из уравнения, ие содер- 3 8 Вероятнвсти вырождения дяя ветвящихся процессов 339 жащего этого параметра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
