3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971) (1186156), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Это в действительности гак н угверждается следующей теоремой. Теорем а 8.1. Вероятность вырождения д является наил<еньи<им неотри<1ательнь<м корнем уравнения и(з) =О. (8.5) Следовательно, <) = ! тогда и только тогда, когда и'(1) ( О. (Вспомнил, что и(з) = ~~~~ авв~= а,в+ (ао+ а,з'+ ...] = а,в+д(з).) ь-о и (вт' Рис. 3 и(в1 Рис. 4. Доказательство. Поскольку <) удовлетворяет уравнению (8.4) при любом 1о, из (7.12) следует, что О=и(д)+о(й)/Ь при любом 6)0.
Устремляя 6 к О+, получаем и(<)) = О. Поскольку ии(з)= ~ аян(н — 1)з" е>0, функция и(в) вы- пукла на отрезке [О, 1]. Так как и(!) = О, а и(0) = ао ) О, то и(з) Гл !Л Вствятчисся процессы может иметь самое большее один нуль в интервале (О, 1). Случаи и'(!) 0 и и'(!) ) 0 представлены на рис. 3 н 4 соответ. ственно. Заметим, что М(Х(|,)) = М(У,) ) 1 тогда и только тогда, когда и'(1) > 0'). Это означает, что для ветвяшегося процесса с дискретным временем Х(тс)е), и = 0,1,...
()ю > 0 и фиксировано), вырождение в этом случае происходит с вероятностью <1 и, следовательно, это же справедливо и для процесса Х(!). Вероятность вырождения с) в этом случае с необходимостью является наименьшим нулел! функции и(в) на (О, Ц. Аналогичныл! образом показывается, что если и'(1) <О, то с) = 1. В любом из этих случаев с) — наименьший неотрицательный корень уравнения (8.5). В В. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ ВЕТВЯ|ЦИХСЯ ПРОЦЕССОВ С НЕПРЕРЫВНЪ|М ВРЕМЕНЕМ где 1цп )с (з) = —, < оо. ив (1) 2! (9.1) Вспоминая, что и(с)) =- и(1) = О, получаем 1 1 1 и (е) и' (1) (е — 1) + Й (е) !е — 1)' и'(1) (в — 1) 1 + 1)! (в) (в — 1))и' (1)! 1 / й (е) (я — 1)ти' (1) и'(Ц(е — !) 1 1+1)!(в)(в — 1)/и'(1)1~' Следовательно )! (в)т(и'(!)р 1 + (Я (е) (в — !))и' (1Ц ' (9.2) и как следствие (9.1) получаем, что В(в) ограничена в окрестности точки з = 1 —, Функция В(з) заведомо ограничена при всех з, не ') См.
формулу (В.З). — Прим иерее. Вернемся к задаче решения обыкновенного дифференциального уравнения (7.13), анализу и интерпретации его свойств прп оо. Поскольку ехр(и'(1)!) — среднее число частиц в момент ), мы будем различать тип поведения в зависимости от того, какое из условий и'(1) < О, и'(1) = 0 или и'(!) ) 0 выполняется. Мы обсудим лишь случай и'(1) < 0 при дополнительном предположении ии(1) < оо, Сначала докажем, что функция В(з) = —— 1 1 и (в) и'(1) (я — 1) ограничена и, следовательно, интегрируема при 0 < з < 1. В самом деле, разлагая и(з) в окрестности точки з = 1, получаем формулу и (з) = и (1) + и' (1) (з — 1) + )с (з) (з — 1)л, з < 1 34! а д Предельные теорелем принадлежащих окрестности точки а = 1, т.
е. 0 < а < 1 — 6; это следует нз определения, поскольку в исследуемом случае (и'(1) <0) а(а)= 0 только при з = 1. Таким образом, В(а) ограничена при 0 <а < 1 при условии, что ии(1) < оо и й(1) < О. В силу этого кожно ввести функцию 5 1 поскольку интеграл существует и конечен. Заметим, что К'(а) = — )0 при 0<а<1 ! и (е) снова в силу предположения и'(1) < О.
Это означает, что К(з)— строго возрастающая непрерывная функция, Следовательно, отображение (9.4) имеет обратное, которое является непрерывной строго возрастающей функцией а = К 1(н1) = 1, (ьо), Е (К (а) ) = а, (9.5) обладающей тем свойством, что при изменении а на интервале [О, 1) функция н1 изменяется на интервале [К(0), оо), К(0) < О. Теперь у нас есть все необходимое, чтобы найти искомое решение (7.13) при начальном условии (7.11). Разделяя в (7.13) переменные и интегрируя, получаем точную формулу относительно ф((; ): е Совершая очевидные преобразования и используя определение К( ), находим фсчь! ьн;н Ф(1; 51 — Ь- „,(,)(„ц1 (х+ — „,'„, 1п[1-ф(1; а))- 1 1 Отсюда К (ф (1'* а) ) = ! + К (а) 342 Гя.
тт'. Ветвящиеся процессы откуда 1 — э = ехр [и' (1) К (з)] ехр [ — Си' (1) (1 — з)] ехр [о (1 — з)]. Но ехр [о(1 — з)] = 1+ о(1 — э), е хр [ — Си' (1) (1 — з)] = ! — Си' (! ) (1 — з) + о (1 — э). Отсюда 1 — з = ехр [и'(!) К (з)] [1 — Си' (1) (1 — з) + о (1 — з)]. Следовательно, (9.8) 1 — и Иш =1 , п~ ехр [и'(1) К(в)! С помощью этого предельного соотношения можно записать (9,8) в виде 1 — э= = (ехр [и'(1) К (з)])(! — Си'(1) ехр [и'(1) К (з)]+ о (ехр [и'(1) К(з)] )). Заменяя з на К-'(и) (см. (9.5)), получаем 1 — К ' (ш) = ехр [и'(1) пт] (1 — Си'(!) ехр [и'(!) пт] + о (ехр [и'(1) ш] )); (9.9) при этом соотношение з — ! — эквивалентно и -+ оо, Теперь с помощью равенств (9.6) и (9.9) можно найти вероятность того, что вырождение пе произойдет к моменту (: 1 — Р,о(!) 1 — ф(!1 0)=! — К (!+К(0))= = (ех р [и' (1) (К (0) + !)] ) (1 — Си' (1) ехр [и' (1) (К (0) + !)] + + о (ехр [и' (1) (К (0) + !)] ) ) = = ехр [и' (1) К (0) ) ех р [и' (1) !) + 0 (ехр (2и' (1) г) ) + о (ехр [и' (1) (] ), Поскольку существует обратная функция, то ф(г; э)=К (!+К(з)), 0~(э<1, !~)0, (9.6) В предположениях и'(1) < 0 и ио(!) < оо можно также получить некоторые аснмптотические результаты относительно вероятности вырождения к моменту ! (1- оо), Так как В(з) ограничена при 0 <з < 1 и 1)пт В(з) существует, можно записать (см.
(9.3)) т +!- К (з) = ",, ' + С (1 — з) + о (1 — з). (9.7) Здесь С вЂ” отрицательная постоянная. В самом деле, > ~ и (я) (я — 1 ) и' ( 1 ) ) 2 [и' ( 1 )!т ' Перепишем равенство (9.7) в виде !п (1 — з) = и'(!) К (з) — Сп'(!) (1 — з) + о(1 — з), а 3 Предельные теорелсы зоз или 1 — Р)о (Г) = ехр [и' (1) К (0)] т (!) + о (ехр [и'(1) 1 ] ). (9.10) Другой асимптотический результат (при (- оо) можно полу.
чить следующим образом. Условная производящая функция величины Х(() при условии, что Х(() Ф О, определена равенством гс(г, с) = 2" Р(Х(1) = й ]Х(Г) М О)г „О(г(1. ь-о Но Р(Х(Г)н]Х(!)~0)Р(х(с))сх(с)то о) Р(Х (С) ~ О) О, если й= О, Р(Х (с) = Ц Р(Х Р) 0) 1 сс )н Таким образом, ЪП Р(Х(С)=Ц О Ф(С) е) — Ф(С) О) ) =х [ [ — Р(х(с)=0) = [ — о(с;0) о-) К (с+К(е)) — К '(се К(0)) [-К-) (с+К(0)) [[ - К ) (с + К (0) )] - [[ - К -) (с ч- К ( ) )] ) — К 'И+К(0)) рде использована формула (9.6) для ф(1; з). Подставляя выражение дтя К вЂ” '(ш) (формула (9.9)), получаем д(г; 1) ен'н) <с+к <о)) [[ + <) (есс'0><с+к <а)>)] н' <и <)+кон> [[+ <) ( н' н) <с+к <е>))] и'<пи+к<о))[[+ ( н'<о<с+к<о)))] [ Ь() Ср~'И><<+К<~>>1 Ен'0)[К<е) К<а>) + [+ ( н'<0<с+К<о)>)' Пусть теперь ( - оо, Тогда отношение, стоящее в правой части, стремится к 1, если и'(1) ( О.
Следовательно, !!гп д(г) 1) = д(г) = 1 — ехр(и'(1) [К (г) — К(0)]), с-ь~ В силу (9.3), однако, ] [ () (П( -[)1"'+ ([ о Гл тд Ветяяигиегя ирис!яссы 344 Следовательно, при (- оо предельная производясцая функция равна х хС С=~ — -р~ Ся[ '" С=.~,сс егхСкС=х~хрСлхг.'. Подведем итоги предыдущему обсуждению в виде следующей теоремы. Т е о р е м а 9 1 Рассмотрим ветвящийся сгроцесс Х(!) с непрерьсвньсм врелсенем, определяемьсй инфинитезилсальной сгроизводящей функцией и (з) = ~ вяз~, (9.1 1) я-о где интерпретация сгоследовательности (ас,) дана в (7.1) и вьтол- няется условие (7.2). Предло,гожим, что и"(1)( оо. Предположим, долее, что и'(1) ( О, так сто вероятность вырождения д равна еди- нице (см.
теорему 8.1). Тогда ф ((; з) = ~~'.с Р (Х (() = )с [ Х (0) =- 1) з" = = К (с+К(з)), ())О, [з1(1, (9. 12) где функция К(з) определена соотношением (9.3), Вероятность того, что до момента с не произойдет вырождения, стремится к 0 как экспонента в соответствии с соотношением г Рсо (О [нп ехр [и' (!) К (0)1 ехр [и'(!) С) Кроме того, случайная величина Х(() (при условии, что Х(()> > 0) имеет предельное распределение с производящей функцией Р(Х(С) =я! Х(0) = Цяь я-с г — Р (х (с) = 01 х -+1 — ехр и'(1) ( — при (-+оо. и(х) ~ о (9.1 3) Мы приведем без доказательства следующую предельную теорему для случаев и'(1) = 0 и и'(1) > О, Ее доказательство более сложно, хотя и аналогично предыдущему по существу.
З ту. Процесс с непрерывным временем и двумя типами частиц 34о Теорема 9.2. (1) Предположим, что и'(1) = 0 и и"'(1) < оо, Тогда Р(Х(!) > 0 [Х(0) = 1) Вгп Р~ „>)ь[Х(1)>О~=в х, Х>0. (2) Если и'(1) > 0 и ин(!) < со, то случайная величина х (О ехр [и'(1) 1] имеет предельное распределение при ! -ь сю '), а 10. ВЕТВЯШННся пРОцесс с непРеРыВНым ВРемЕНем и дВумЯ типдми члстиц Рассмотрим два различных типа частиц, которые мы будем называть частицами типов 1 и 2 соответственно. Ветвящийся марковский процесс с непрерывным временем будет определяться соответсгвуюшими инфинитезимальными параметрами. Именно мы постулируем, что каждая частица типа 1 (1 = 1, 2) может в течение интервала (1, 1+ Й) независимо от прошлого и независимо от истории или текушего состояния любой другой частицы любого типа превратиться в Й, частиц типа 1 и Йя частиц типа 2 с вероятностями быб,е + а'„~' „Й+ о(Й) для 1= 1, гоаб, +аьп1 Й+о(Й) для 1'=2, где Йь Йа = О, 1, 2, ..., а Ьп — символ Кронекера.
Заметим, что мы снова постулируем однородность по времени для процесса, поскольку постоянные а" „не зависят от времени. Введенные параметры подчиняются следующим ограничениям; а~'~ )О для всех Й„ /та=О, 1, 2, ..., кроме Й,=1, Й,=О; а1'1 )О для всех Йп Й,=О, 1, 2... кроме Й,=О, Й =1; 2~ а,"1,,=0, 1'=1,2. ео а,-о ') Более конкретно, случайная величина Х(1) сходится при 1-~. оо к случай. ной величине йт с вероятностью 1. Для величины (Р можно найти вид произво. дяпгей функции (см. книгу Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
