3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971) (1186156), страница 51
Текст из файла (страница 51)
!д Ветвящиеся прляессм Введем производящие функции Ф (з) = Х Рпз' п-а срл(з)= ~ Р(Хл=л)з~, и=О, 1, 2, п=о Ясно, что Далее, Фо(з) =з, а фе(з) = ф(з). Ф., (з)= Х Р(Х„„=-й)~'= п-о =Д Х Р(Х.„=й~Х„=1)Р(Х„=1), = = Хз':)",Р(Х„=1)Р(~,+ ... Ч 2,=Ь)= = ~Р(Х.=1') ХРВ,+ ... +й,=й) '.
г-о 2-2 (2.!) ф., (з) = Х Р(Х.=!)[Ф(з)12 г-а Но правая часть этого равенства равна производящей функции ф„( ) с аргументом ф(з). Таким образом, ф.+ (з) =ф.(ф(з)) (2.2) Итерируя это соотношение, получаем Фл+~ (з) = фл(ф(з)) = Фл-1(Ф (Ф(з))) = Фл-1(Ф2 (з)) фл 2 (Ф2 (Ф (з))) фл-2 (ФЗ (з))' По индукции получаем, что для любого я = О, 1, ..., а Фл+! (2) = Фл-и (Фп+1(з))' в частности, при А = и — 1 ф.
(з) = ф(ф (з)) (2.3) Поскольку $„(г = 1, 2, ..., 1) — независимые одинаково распределенные случайные величины с общей производящей функцией Ф(з), сумма Зс+... + $; имеет производящую функцию 1Ф(з)К Таким образом, з 2 Соотношения длл производяи«ей функции 313 Если вместо условия Хз = 1 рассмотреть более общее условие Хе = еь где (е — любое постоянное число, то фо(з)=-3', а ф«(з)= [ф(з)[ь, потому что т« Х,=Х~1. 1-т Равенство ф. (3) = ф. (ф (3)) сохраняется, ио соотношение (2.3) не выполняется'). С помощью (2.2) можно теперь вычислить математическое ожидание и дисперсию величины Х„. Далее всюду будет предполагаться (если не оговорено противное), что Х, = 1.
Предположим, что от =М(Х,) и от=от(Х)лл М(Хз«) — (М(Х))з существуют и конечны. Очевидно, М(Х„) = р„' (Ц. Дифференцируя (2.2) и полагая з = 1, получаем (поскольку «р(Ц= Ц, что ф„',(Ц=«р„'(Ц«р'(Ц, или по индукции ,т(ц, (ц [, т(1))з, т (ц [ т(ц[зфт По индукции получаем ф„'„(Ц = [ф' (ЦГ ф,' (Ц = [ф' (Ц)л ы Но «р'(Ц=-«р',(Ц =М(Х) = от. Таким образом, М(Хл.„) = пал+«. (2.4) Чтобы найти оз(Хлч.«), заметим сначала, что ри(Ц= Х й(й — ЦР[Хллл й) =М(Х„)-М(Хл) =М(Х„) — ф„(Ц и отсюда о (Хл) = фи (Ц + ф„' (Ц вЂ” [ф' (Ц|-'. ') Вместо (2,3) выполняется равенство фл+«(3) = ф«(ч«л (3)) (ф (фл (з)Н В общем случае если Хе — случайная величина с производящей функцией ф (з) = ~Ч", Р (Хе = Ц за, то эквивалентом соотношениЯ (2.3) бУдет з-о фи+ «(з) = ф (ч«(фл (з)Н.
Соотношение (2.2) сохраняется и в этом общем случае. — Прим перев. Гя 11. Весеящпеся процессы 3 ! Г> Дифференцируя (2.3) дважды и полагая з = 1, получаем >р„>, (1) = >!> (1) [ср„(1)] + >р (1) с!г„' (1) Поскольку >р'(!) = т, а >рп(1)=М(Х!) — М(Х>) =о + т — т, имеем фп (1) — ! 1п2и !. щсрп (1 где !.
= ог+ тг — т. По индукции (!) ! (тги ! щги-!)я щ2,>> (!) — ! (т2и+щг ->+ +тп) Таким образом, 2(Х ) (, г ! 2 щ)( ги .~ ги-! ! + ) ! ->! щъ>ег ->! =-о'(тг" + те"-'+ ... +т")=огт" > если т Ф!. щ — ! Если т =- 1, то ог(Х„+!) =(и+ !)о'-. Мы получили формулы М(ХП) = т" н П> ! о'т"-', если т~1, 2(Х) ( сп — ! > ног, если т = 1. Таким образом, дисперсия увеличивается (уменьшается) со скоростью прогрессии, если т > 1 (т < 1), и изменяется линейно, если т = 1.
Такое поведение лежит в основе многих результатов для ветвящихся процессов. й з. ввроятностн вырождвння ~Чы хотим найти вероятность того, что популяция выродится, т. е. Р(Х„= 0 для некоторого и). Очевидно, если Х„= О, то Хя = 0 при всех )2 > и. Заметим сначала, что вырождения никогда не произойдет, если вероятность того, что индивидуум не порождает ни одного потомка, равна нулю, т.
е, если р, = О. Таким образом, при исследовании вероятности вырождения предположим, что 0 < р, < 1. Пусть с!и = Р (Х„= 0) = ср„(0). В силу формулы (2.3) ., (О)= (.( В= (3.1) Так как ср(з) — строго возрастающая функция (степенной ряд с неотрицательными коэффициентами и ро < 1) и с!! = со>(0) = = р„> О, тО С!2 = СО(ч>) > СГ(0) = С)!. ПрсдПОЛОжИМ, ЧтО С!и > С)„!. 3гг 4 3. Вероятности еятрождения Тогда д,ы — — тр(дя) > тг(т)„н) = д„.
Этим доказано, что е)ь дь ... ..., д„, ... — монотонно возрастающая последовательность, ограниченная единицей. Следовательно, существует н= Иш д„ я.+ и О < н < 1. Поскольку тр(з) непрерывна прп О < з < 1 (непрерывность в точке з = 1 следует из леммы Абеля, см. гл. 2, лемма 5.1), полагая и -н оо в (3.!), получаем н = ~р (и). (3.
2) Поскольку е)я — вероятность вырождения популяции пе позже, чем за п поколений, то и — вероятность вырождения популяции, и из (3.2) следует, что и — корень уравнения (3.3] Покажем теперь, что и — - наименьший положительный корень уравнения (3.3) . Пусть зе — положительный корень уравнения (3.3). Тогда т)~ = тр(О) < тр(зо) = зо. Предположим, что дя < зо. Тогда в силу (3.1) т1я~т = тр(дт,) < тр(зе) = зе.
Таким образом, по индукции показано, что т)„< зе для всех и. Отсюда следует, что я= )пп тт„<з„т. е. и — наименьший положительный корень уравя-+ пения (3.3) Теперь предположим, что ре + р~ < 1. Тогда те(з) — выпуклая функция при О < з -< 1, поскольку атн !з) = ~ я (й — 1) рек" - '> О.
Следовательно, график функции тр(з) может пересекать прямую с ааклоном 45', идущую из начала координат, самое большее в двух точках. Мы знаем, что тр(1) = 1, и поэтому пересечение определенно имеет место в точке (1,1). Очевидно, может иметь место один из двух случаев, представленных на рис, 1 и 2. Если щ = тг'(1) > 1, то тангенс угла наклона касательной к графику тя(з) в точке з =! больше 1 и имеет место случай, представленный на рис. 1.
В этом случае О < н < 1. Если т = тр'(1) <1, то тангенс угла наклона касательной в точке з =! меньше или равен ! и имеет место ситуация, представленная на рис. 2. Тогда с необходимостью н = 1. Таким образом, мы доказали, что вероятность вырождения равна 1, если лг <1, и меньше 1, если т > 1. Другими словами, вырождение определенно имеет место тогда и только тогда, когда среднее число потомков от одного индивидуума не превышает !. Далее, заметим, что тр(з) < те(н) при О < з < н (ри 2) По индукции имеем тр„(з) < и (О < з < и) для всех и. () ~)~ )л и~(5) Р(5) и Чг Рис.
1. !) ж(и) Рс(и) ~ Ь(и) Рис. 2, р в. Вероятности ввсрвждения Но срл(з) > срл(0) = ст„, и, таким образом, д„(ф„(я) (л. Пусть п — оо, Тогда. !ппсрл(з)=л при 0<в<я. В случае т > 1, когда л <з < 1, имеем л < ф(з)< з < 1 (рнс. 1). По индукции ' <фл(з) <ф — (з)< ° ° (л<з<1) !нп срл(з)>л. л.+» 01 сюда (3.
4) Предел в (3.4) должен равняться л, так как если бы Вгп фл(з) = л.+ =а>л, то ф(а)<а, и указанная в (3.4) сходимость была бы невозможна в силу соотношения !нп флы(з) = 1!тп ф(фл(з)), Таким и-+ л.+ образом, !нп срл(з) = л при О < з < 1. и.+ Из того факта, что ф„(з) сходится к постоянной л прн 0 (з < 1, следует, что в разложении л М(Хлы! Хл)=М~ ~~~ $т! Хл = ХлМф!) = тХл. фл (з) = ~ Р (Хл = й) з~ первый коэффициент Р(Х = 0) сходится к л при л- оо, а все остальные коэффициенты Р(Х„= й) сходятся к 0 при п -+ оо, й = 1, 2, .... Следовательно, при любом значении т = М(Х,) > 1 вероятность того, что и-е поколение будет состоять из любого положительного конечного числа индивидуумов, стремится к 0 при п - оо, в то время как вероятность вырождения стремится к л.
В этом случае мы скажем, что Х„- оо при и- оо с вероятностью 1 — л. Этот результат является также следствием общей теории цепей Маркова, поскольку марковская цепь, определяемая последовательностью Хв, Хь Хм ..., имеет единственное поглощающее состояние (0), и поэтому !нп Рт!=О, 1<1,)<оо, так как т' и 1 являются автоматически переходными (невозвратными) состояниями. В заключение параграфа отметим интересное свойство, состоящее в том, что условное математическое ожидание величины Х„+, (г — положительное целое число) при условии, что известно Х„, равно т Х„, т. е. М(Х„+,!Х„) = т"Х„. Чтобы доказать это, рассмотрим сначала случай г = 1: рз !Л нетраипыгя пжж чем Зяп Предположим теперь, что соотношение установлено для числа г, и докажем его для г + 1, Имеем М(Х„„,„,!Х„) =М(М(Х„..„.„,!Х„„, Х„„„..., Х„)!Х„) =М(М(Х„,„„1Х„„) ~ Х„), где использована марковская природа последовательности (Х„).
Но М(Х ы.ы)Х„е„) = Х,+„, и в силу индукции М[тХ„г„~Х„] = = т"''Х„. Таким образом, М(Х„ч,~Х„)=Х„т' для г=О, 1, 2, ..., п=.О, 1, 2,,... (35) Рассмотрим теперь случайные величины Тогда в силу (3.5) имеем М(Ю'„.г,1)Р„)= „, М(Х„„(Х„)= — „— Х„т'== 1)'„. Можно записать, что для г, и = О, 1, 2, М()Р'„.г,~ ))7„, )Р'„ь ..., )Р'ь )Ч= )Р„, (3.6) откуда следует, что последовательность ()р„)„ е является мартин- галом. й 4. ПРИМЕРЫ (1) Пусть гр(з) = ро+ р1з, 0 < ре < 1. Соответствующии ветвящийся процесс является процессом чистой гибели.
В любой период времени каждый отдельный индивидуум погибает с вероятностью р, и остается жить с вероятностью р~ = 1 — рм (2) Пусть гр(з) = ро+ рззз (О < ро < 1 ро+ рз = 1). Такая производящая функция соответствует ветвящемуся процессу, в кочором в каждом поколении отдельный индивидуум либо погибает, либо порождает двух потомков. (3) Рассмотрим пример, где каждый индивидуум порождает М илн 0 прямых потомков с вероятностями р и д соответственно.
Таким образом, ра = д, рм = р и рх = О для й Ф- О, М. Тогда % (з) = Ч + Рз ° (4) Каждый индивидуум может иметь А потомков, где А — случайная величина с биномиальным распределением вероятностей с параметрами'й1 и р, Тогда р(з) = (г)+ рз) (4.2) Е 4. промеры 321 (5) В связи с примером (г), описанным в начале этой главы, часто предполагается, что случайное число й (А = О, 1, 2, ...) прямых «потомков» мутантного гена имеет пуассоповское распределение со средним ), = !.
Тогда ~(е) = е' — ' и н = 1. Основания для выбора именно этого распределения следующие. Во многих популяциях производится большое число зигот (оплодотворенных яиц), н лишь малая доля их доживает до зрелости. События, состоящие в оплодотворении и выживании до зрелости, подчиняются закону независимых биномиальных испытаний. Число испытаний (т. е. число зигот) настолько велико, что действительное число зрелых потомков следует пуассоновскому распределению.
Именно следствие закона редких событий оправдывает применение пуассоновского приблинсения. Оно кажется вполне приемлемым в модели роста популяции редких мутантных генов. Если мутантный ген обладает некоторым благоприятствующим (или неблагоприятствующим) биологическим признаком, то берется пуассоновское распределение со средним Х ) 1 (или ). < 1). В этом случае ф(е) = ехм-и и О < н < 1 тогда и только тогда, когда Х > 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
