3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971) (1186156), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Первое из неравенств (4.8) доказывается следующим'образом, Если '1 Следует напомнить, что 1е~ г < г+1, а случайная величина Х может принимать лишь целочисленные неотрицательные значения. — Прим. перев. х87 Задачи ( й йтс! и если Х(!) не имеет скачка в интервале ( —, ), то при (г+! ' т+с/> й й+! любом (, — (!(~ + > г+! г+1 (4.9) Х (!) — и! > О.
Поскольку Х(!) имеет ровно п скачков (при условии Х(1) = и), то сушествует самое большее и интервалов длиной не более 1/(г+ 1) каждый, для которых из условия 5> > 0 не следует справедливость неравенства Х (!) — п! > О, с/(г + 1) (~ ! ~( с + 1 (г + 1). Но величина Ас„/(г+ 1) Равна числУ положительных 5ь Умноженному на длину 1/(г+ 1). Учитывая сказанное выше, можно заключить, что АС,/(г+ 1) может отличаться от [/„не более чем на и/(г + 1). Таким образом, Л (и. Аналогично можно получить второе соотношение (4.8). Таким образом, при условии Х(!) = и обе абсолютные величины в (4.8) стремятся по вероятности к нулю прн г- оо').
Так как А/„/(г+ 1) и /.„/(г+ 1) распределены асимптотически равномерно на отрезке (О, !) при г- со (г+ 1 стремится к оо, принимая лишь простые значения), это завершает доказательство следуюшей теоремы. Т е о р е м а 4.1. Пусть Р„(х) — эмпирическая функция распределения, построенная по выборке объема п из равномерного распределения на отрезке 10, !), Рассмотрим случайные величиньс (7„ и [т~, определенные формулами (4.4) и (4.5). Тогда Р([/„(х) = Р(У„(х) = х, 0(х(1. ЗАДАЧИ !.
Пусть Хь Хь ..., Մ— независимые одинаково распределенные случайные величины с непрерывной функцией распределения Р(х). Обозначим й-е по величине из чисел ХьХ,,...,Х„ через Х >н таким образом, Х (Х, (...(Хьы Найти функцию распределения Р ь(х), величины Х м Ответ: Раз (х) ~( ) [Р(х))С [! — Р(х))" с. с-а ') Из (4.8) следует, что указанные величины стремятся к О с вероятно.
стью !. — Прим, перев. 288 Гл. 9 Порядковьге статастики и пуассоновские процесса 2. Прн обозначениях задачи 1 показать, что Р„»()=»(") ) !" "(1 — 1)»-!дй !-я !х! Указание: Взять интеграл по частям. 3. При обозначениях задачи 1 найти Р (Х„» > у, Хп+ ь» ( х) для х ( у. Ответ: 4. Пусть Хо 1= 1, 2, ..., п, — порядковые статистики для равномерного на отрезке [О,Ц распределения. Показать, что 1пХ» имеет такое же распреде. ление, как и — ~чР~ Оу)), где От — независимые случайные величины е зкспонен. / ь циальным распределением с параметром !. Указание: Использовать соответствие между пуассоновскими процессами и порядковыми статистиками для равномерного распределения.
ы б. Доказать, что [Хг('Х;+!), 1=1, 2, ..., и, где по определению Х„! — — 1,— независимые равномерно распределенные на [О, Ц случайные величины. Здесь Х!, ..., Մ— порядковые статистики, соответствующие выборке объема п нз равномерного распределения. 6. Пусть Хь Хз, ..., Х„ — независимые выборки из равномерного на от. и резке [О, Ц распределения. Найти распределение случайной величины Р = Ц Хь т ! Указание: Либо вычислить непосредственно, либо ввести новые переменные Х; = ехр ( — Ут), ! = 1, 2, ..., и. Ответ: Р(Р<р)=~ ~ ~ ... ~ "~'"~' "' "~" Ц= ( ',) ~1(1 1)"Л. о т о 7. Пусть Хь Хь .,. Хь — независимые одинаконо распределенные случайные величины с функцией распределения Р(х) н плотностью [(у). Пусть Х! (Х ( ... ((Х» — соответствующие порядковые статистики.
Пусть Уь Уз, ... — независимые одинаково распределенные случайные величины с распределением Р(х). Определим целочисленную улучи»кую величину АГ соотношением Уг~(Хы . т= 1, 2, ..., Аг-1, но Уи>Х». Аналогично определим М как случайную величину, для которой У1~Х» т, 1=1,2...„М вЂ” 1, Зидачи но "м> Ха-! Найти распределения случайных величин /У и М.
Ответ: й (л+ й) (и+й — !) ' 2й (й — !) (л+ й) (л+ й — !) (л+ й — 2) Задачи 8 — !б имеют дело го гледуюи(ими объектами. Пусть Х,, Х т — независимые случайные величины, каждая из которых равномерно распределена на отрезке (О,!). Пусть х,<х «... х„ — упорядоченные значения величин Х,. Этн порядковые статистики разбивают едини шый отрезок на и непересека!ощихся интервалов, име1ощнх длины и,=х"н и,=х," — х"н ..., ил= ! — х„" н (/!~<из<~ ... <ил Пусть — упорядоченные значения аелишн ио В тексте этой главы установлены следующие результаты.
(А) Случайный вектор (У,/5л, !',/5л, ..., Ул/5л) (где Ут — независимые зкспопенциально распределенные д. с. в. с параметром 1) и д. с. в. 5„= У~ + ... + Ул независимы, (Б) Случайные векторы (иь ..., и ) и ( 1/Зл ! з/Зл ° ° ° ) л/Зл) л! т1! ... тл! (л+1, + ... + та)1 х!/хз, хз/хз, ..., х„/'! 9. Доказать, что — независимые случайные величины. Указаттие. См. задачу 5.
19. Пусть 5к = У~ + ... + Ук. Показать, что 51/5ь 5е/5з „Зл-Лл — независимые случайные величины. 10 Зач. взв одинаково распределены. (В) Если 5 — случайная величина, распределенная, как 5„, н независимая от вектора (иь ив.,,, ил), то случайные векторы (5ип Зит,..., 5и„) и (Уь ..., У ) распределены одинаково. 8. Найти /г! т и, из ... ил /, где 1ь !з, ...', 1„ — неотрицательные целые ( /1 !з тл) числа. Ответ: РОО Гл, 9 Порядковые статистики и пуассановские пронесем 11.
Если Е /, й и ! — различные индексы, то показать, что Ут/У/, Ун/У! — независимые случайные величины. 1й. Найти распределение величины У, + ... + У, У„, + ... + У,+, ' Ответ: Отношение двух независимых д, с, в., каждая из которых имеет гамма-распределение. 13. Показать, что Р(!и ..., Г„) = Р(У~ > Гь Ут>/м ..., Ул> т~) !, есян !<0, ~ (1 — т)", если 0(~Г(~1, О, если 1> !, где Г !ь +... + !л.
14. Пусть У, ~ Уз ~( ... ( ӄ— упорядоченные значения величин Уь ., У„. Найти совместное распределение величин г,- ун г,-(п-!)(у,'-у",), ..., г„-(у„"-у„' 1). Указание: См. задачу 5. Ответ; Независимые зкспоненниально (с параметром !) распределенные случааные величины. 1б. Показать, что векторы (Уь Уь ..., У ) и (пУ!, (а — !) (Уз — У!), ... ..., ӄ— У„,) име|от одно и то же совместное распределение. 16, Пусть и точек выбрааы на отрезхе прямой длины Е «случайным абра. зом» (т. е. в соответствии с равномерным распределением).
Показать, что если 0 < д < Е/(и — !), то вероятность того, что никакие две точки не будут расположены ближе друг к другу, чем на расстояние д, равна ([Š— (л — 1)д]/Е)", Указание: Установить и интерпретировать соотношение х -а л х -а х -а х -а 4 3 3 (Š— (а — !) д)л 6 )" "" )" "- — )"" )" " )" "=" '". ""' !л-Оа !л-2)а 2а в а «17.
Предположим, что л точек выбраны независимо друг от друга в соот. ветствии с равномерным распределением на окружности. Показать, что вероят- аость того, что длины фиксированных / дуг (из образованных с, помощью ука- занных точек и дуг) будут больше а,7~авиа 1 (1- !а/Г)л ', если 0(/а<1, и/= т 0 в противном случае, где à — длина окружности, Указание; В силу круговой симметрии выбрать любую из л точен за начало отсчета и предположить, что остальные и — 1 точек были выбрааы случайным образом на отрезне (0,1] независимо друг от друга. Пусть О<Х <И ~... Х„!~1 Задачи 291 — порядковые статистики, отмечающие расстояния от начала отсчета до первой, второй, ..., (л — !)-й точки соответственно.
Испольэовать результаты задачи 16. *18. В задаче 17 показать, что вероятность того, что в точности й из л дуг между соседними точками будут иметь длины, превышающие а, равна !Оа] ,-(л)Х вЂ” -"(" .")( — Ф) ! а Указание: Пусть Уь — вероятность того, что из фиксированных й дуг каждая длиннее а, а оставшиеся л — А дуг короче л, Заметить, что Рь ( )1'а. 9=0, 1, ..., л. Затем установить формулу где вероятность л, определена в задаче 17. Показать, что, решив эти уравне- ния, получим Уь-У,(-1)]-э(„" '.) Р ] а Напомним, что 0 при г> л.) ( (г) 19. Пусть л импульсов поступают на счетчик в моменты Гь ..., Г„, где !ь 1», ..., Г„распределены как порядковые статистики для равномерного распределения на отрезке [0,1].
Всякий раз после того, как счетчик зарегистрирует импульс, у него имеется «ыертвый период» длительности т, в который он ие регистрирует иипульсы, даже если они на него и поступают. Интервал (О,т) также считается «мертвым периодомж Найти вероятность того, что счетчик зарегистрирует первые й импульсов, которые на него поступают (т. е. 1; — П , > т, о=],2,,К]о 0).
Указание: Использовать метод решения задачи 16. Огаег. (1 — йт)", если йт ( 1, О, если йт > 1. 20 (продолжение). В задаче 19 найти плотность [(у] д. с. в. У, которая равна моменту поступления л-го импульса, при условии, что счетчик регистрирует первые й поступивших импульсов (л > й). Ответ; л ( — йт)л — 1 или-эи=--' — *' —, г* «ю. (! й)а 2!. Используя обозначения задачи 1, скажем, что ранг величины Хэ в множестве Хь Хо, ..., Х равен г, если Х! = Х„(см. задачу 1). Далее, пусть ]т] — ранг величины Х, в множестве Хь Хо, ..., Хи Показать, что случайные величины Яь ]7», ..., ](„независимы н Р(]7л=г)=1(л г 1 2 10* 292 Гя 9 Порядковые статистики и пуаггоиовекпе прпцеггы Указание; Доказать, что Р (Р~ = г1 )Сз = гз ° ° ° (Сл = гл1 = 11п!, г,=1; гг 1.2; г,=1,2,3;...; гл=1,2,...,п, 22.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
