3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971) (1186156), страница 42
Текст из файла (страница 42)
8. Процесс восстановления является целочисленным случайным процессом, который равен числу точек (событий) в интервале (О,!), если интервалы между наступлениями событий — независимые одинаково распределенные случайные ве. личины с общей функцией распределения Р(х), х ) 0 (Р(х) = О, х < 0); Р вепрерывна при к = О, Общим процессом восстановления назовем такой процесс, ' которого общая функция распределения Р(х) имеет скачок величины д в нуле. оказать, что общий процесс восстановления эквивалентен обычному, у кото- 261 Литература рого число одновременно наступаемых событий в момент О и в другие «вызываю. жие» моменты — независимые одинаково распределенные случайные величины Й«, )(и лз, ... с распределением Р ()«1 = л) = рч"..
и = О, 1, 2..., для всех ! О, 1, 2, ..., где р 1 — Ф 9. Доказать, что если сумма двух независимых процессов восстановления есть пуассоновский процесс, то оба процесса восстановления — пуассоновские. 16. Показать, что для неприводимой непериодической возвратной цепи Маркова Ои 1(га (рос) и -» ю Указание: Использовать полуаддитивные функции, введенные в процессе доказательства теоремы 1.1. 11. Рассмотрим цепь Маркова с непрерывным временем и конечным (скажем, равным )У) числом состояний. Пусть А — инфинитезимальная матрица.
Показать, что А имеет ранг У вЂ” 1. 12. Рассмотрим консервативную цепь Маркова с непрерывным временем и двумя состояниями. Пусть инфипитезимальная матрица процесса. Показать, что в этом случае обратные уравнения имеют вид Р (1) — (Бр А) Рг)(1)+(бе1А) Рг (1) =О, й 1 1, 2'). 1 — 1 1 Решить эти уравнения для А =~~ ~! ЗАМЕЧАНИЯ Эта глава содержит лишь малую часть материала обстоятельной книги Чжун Кай-лая [)!.
Основные идеи этой главы, развитые для случая общих марковских процессов, можно найти в книгах Дынкина [21 и Дуба [31 ЛИТЕРАТУРА 1. Чжун К а й - л а й, Однородные цепи Маркова, гл. 3 и 4, «Мир», 1964, 2. Дй~к ин Е. Б., Марковские процессы, Физматгиз, 1963. 3, Ду Дж. Л., Вероятностные процессы, ИЛ, 1966.
') Если А = ([а,.) ([, то Зр А = ~Ч'-', а',. — след матрицы А, — Прам. лереэ, Глава 9 ПОРЯДКОВЫЕ СТАТИСТИКИ, ПУАССОНОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ Б этой главе приводятся различные специальные приложения некоторых методов, связанных с пуассоновскими процессами и суммами независимых случайных величин, 5 Ь ПОРЯДКОВЫЕ СТАТИСТИКИ И ИХ СВЯЗЬ С ПУАССОИОВСКИМИ ПРОЦЕССАМИ Пусть Уь Уз, ..., У„суть и независимых одинаково распределенных случайных величин, имеющих непрерывную строго возрастающую функцию распределения Р(у). Определим случайные величины У;, ..., У„' следующим образом: У,".
есть (-я в порядке возрастания величина среди У„Уз, ..., У„'). В частности, У;=ппп(уп У,„..., У„) и У„'=щах(уп У„..., У ). Очевидно, У", называется 1-й порядковой статистикой выборки (У„... ..., У ), а набор (У;, ..., У'„) — множеством порядковых статистик обиема и, соответствующих выборке (Уь ..., У„), В этой главе рассматриваются распределения порядковых статистик выборок, их связь с пуассоновскими процессами и другие приложения.
Сначала, однако, сделаем существенное упрощение без потери общности. Положим Х;=Р(У), г=|, ..., и, н найдем распределение величины Х;; Р (Х, < х) = Р (Р (У ) < х) = Р (У, < Р ' (х)) = =Р(Р '(х))=х, 0<х<1, 1 = 1, ..., и, (1.1) ') В случае равенства делается произвольный выбор среди равных по вели. чине Уь В действительности событие, состоящее в том, что по крайней мере два значения У; будут равны, имеет вероятность О, и его можно не принимать во внимание.
д Ь Порядковые статистики 263 где Р ' — функция, обратная к Р,— определена единственным об- разом в силу сделанных предположений относительно г. Далее, поскольку 0.<Р(у) <1, то ( О, если х<0, Р (Хт < х) = $ 1=1, ..., и. ~ 1, если х)1, Таким образом, в силу (1.1) и (1.2) Х» распределена равномерно на [О, 1) при всех 1 = 1, ..., п независимо от вида непрерывной строго возрастающей функции Р.
Заметим, что отношение порядка среди (Ут) сохраняется при преобразовании Х; - Е(У1). Это означает, что вместо исследования порядковых статистик Я, соответствующих выборке общего вида (Ут, ..., У ), можно изучать порядковые статистики (Х;) для равномерного на отрезке (О, 1] распределения. Поэтому в дальнейшем мы ограничимся изучением порядковых статистик Х",<Х;«... Х„' для выборки независимых равномерно распределенных на отрезке (О, Ц случайных величин ХоХ,...,Х„.
Тот факт, что для случайных величин Х;, Х;, ..., Х„" выполняется (1.3), ясно указывает, то они не являются независимыми. Мы сначала найдем совместное распределение порядковых статистик Х;, ..., Х„' или, вернее, его функцию плотности, которую'обозначим через 1е(хт, ..., х„). Ее существование будет очевидно из доказательства. Выбирая 0 < х1 < хв « ... х„< 1 и достаточно малые приращения Ьь Ьг,, Ь» так, чтобы' интервалы (х1,х1+ Ь1), (хм хв + Ьв), ..., (х„, хп+ Ь„) непеРесекались, полУ- чаем «„+в„ к,+я, г" (х1, ..., х„) с1х, ... с(х„* "в к =Р(х,<Х;<хе+ Ьн 1=1, 2, ..., и) = Р (хт ~ (Хтп < хт + Ь„т = 1, 2, ..., п) = пе веем переетвпевкем и пв Н, К ..., в) в Х П Р(хт~~Хти<хт+Ьт) (в силу независимости величин Х,) и 1-1 и ,2'.1 П Ь1=л1Ь,Ь, ... Ь„; (1.4) и 1-1 264 Гл.
9. Лорпдконвсе статистики и пуассононские проиессм здесь использовались независимость, равномерное распределение величин Х, (1 = 1, ..., и) и тот факт, что число всевозможных перестановок индексов 1, 2, ..., и равно и). Из (1.4) следует, что совместная плотность порядковых ста- тистик Х;, ..., Х„" равна и(, 0(х, <х,<...
(х„<1, 0 в противном случае. Такое же доказательство показывает, что если бы величины Хь ..., Х„ были взяты из равномерного распределения на от- резке [а, б), то соответствующая совместная плотность порядковых статистик равнялась бы [*(хь ..., х„)= (э-а)" п! а<х, <х, <...
<х„()), (1.6) 0 в протвином случае. Мы уже сталкивались с плотностью (!.5) при обсуждении пуассоновских процессов (см. стр. 206), Именно: пусть (У(1),0 <1 < Ц вЂ” пуассоновский процесс, в частности, при каж- дом 1~ [0, Ц пусть У(1) будет дискретной случайной величиной с распределением еы —,, й=0,1,2,..., (хв)а Ра (1) = [ 0 в противном случае, где Л вЂ” фиксированный действительный параметр. Предположим, что У(0) = О. Тогда при условии, что У(1) = п ;(целое число), на отрезке [О, Ц будет ровно и временных точек, в которых У(1) совершает «скачок». Точное положение этих точек зависит от случая и определяется случайными величинами 7„7м ..., Тп (7~<7,< ...
<7п) со значениями из отрезка [О, Ц. Утверждается следующее. При условии У(1) =п случайные величины Ть Тм ..., Т„распределены как множество порядковых статистик объема и, взятых из равномерного распределения на отрезке [О, Ц.
Доказательство этого положения непосредственно вытекает из уже полученных результатов. Действительно, вывод условной плотности распределения величин Ть Тм ..., Т„ при условии, что У(1) = и, был дан в теореме 2.3 гл. 7. Сравнение с (1.5) показывает, что эти формулы совпадают, и утверждение, таким образом, доказано. Б д Порядковые статистики 2ББ Соответствие между порядковыми статистиками и условными моментами наступления событий пуассоновских процессов упрощает вывод других свойств порядковых статистик.
Например, пусть, как и ранее, Х;, Х;, ..., Х„' — порядковые статистики выборки объема п из равномерного распределения. Мы утверждаем, что совместное распределение величин Х,", Х;, ... ..., Х', при условии, что Х' = с,..., Х„' = с„, совпадает с распре. делением порядковых статистик для выборки Х» ..., Ха ь где каждая д, с, в. равномерно распределена на (О, ся1 Чтобы проверить этот факт, переформулируем задачу в терминах событий пуассоновского процесса. Пусть 0 е, Т, ( Тя (...
( Т„< 1 — моменты наступления событий пуассоновского процесса У(Г) при условии, что У(1) = п. Предположим, что налагаются дополнительные условия Т, = сю Тке~ — — скан ..., Т„= с„и требуется определить совместное распределение величин Ть Тм ..., Тк ь Так как У(!) — процесс с независимыми приращениями, то очевидно, что если сделано предположение Тя = см или, что эквивалентно, У(са — е) = А — 1 (где а) 0 и достаточно мало), то вся информация, относящаяся к величинам Т„Т„..., Тя ь содержится в этом предположении.
Но при этом условии Т,, ..., Тк ! распределены как порядковые статистики выборки объема й — 1 из равномерного распределения на отрезке (О, ся). Таким образом, условное совместное распределение величин Х;, Х,", ..., Хя ! при условии Х" = с, ..., Х„" = с„совпадает с совместным распределением порядковых статистик объема й — 1, взятых из равномерного распределения на отрезке !О, си). Соответствующая условная плотность равна (я — ))! 0(х, '... (хя ! (сы Т'(х!, ..., х„, ) сы ..., с„) = са 0 в противном случае.
(1.7) В точности таким же образом можно доказать, что условная плотность величин Х'+о ..., Х„' при условии, что значения пер. вых Й порядковых статистик равны Х," = с„..., Х„' = с, совпадает с совместной плотностью п — й порядковых статистик выборки из п — Й независимых случайных величин, распределенных на отрезке [ск, 1): (и — я)! „„, ся ( хя„! (... (х„(1, )" (хя,.„..., х„~с„..., ся) = (! — с )" О в противном случае. (1.8) 266 Гл. 9. Поркдкоеые статистики и пуассоиоеские процессы Формулы (1.7) и (1.8) показывают, что эти совместные условные плотности зависят лишь от ск и не зависят от сь 1 = = й + 1, ..., и и 1 = 1, 2, ..., )е — 1 соответственно.
Это означает, что совместные плотности величин Х;, ..., Х", и Х' ..., Х„" при одном и том же единственном условии Х" = с имеют соответственно вид (к — 1)1 0(х,(~... (хе, <с„, се 0 в противном случае ~' (хь ..., хе, ) се) = (1.9) и ~'(хе+и ..., х„)се)= (1-си)" ' ь (и — к)1 сее хе+1(... <х„(1, (1.10) 0 в противном случае. ~'(х„..., хь х„+„..., х„)х,е„..., хк) = „' "" . (!.11) р(хь..., х„) 1" (хт 1, ..., х ) ' С другой стороны, в силу вышеприведенного утверждения о независимости левая часть равна ~'(хь ..., хт)хте1, ..., хе))'(хеео ..., х„)х1+о ..., хе) =- Л (и — гт)1 = ~'(хо ..., хе)хе ы)1 (хе,.„..., х„)хе) = —, х те+ ~ (! — хе)п Отсюда, а также из (1.11) и (1.5) получаем для 0<1< й <и 1 (х,ео ..., хе) = с ц( )1 х1+,(! — х ), 0(х,„1(~...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
