3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971) (1186156), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Указание: Рассматриваемый процесс является цепью Маркова с тремя состояниями и непрерывным временем. Ответ: Лэе э!я+и!1 -<л+и> г (Л+р)э + (Л+),) + (Л+1,)э ' — (Л~+Лз) Л1 Лэ ' )л, -)г, О ц, О -ц~ Р (1) = еп' где !:) = 22. Система состоит из )т' идентичных компонент, каждая из которьш работает независимо от других случайное время до отказа.
Предположим, что врона до отказа имеет экспоненциальное распределение с параметром Л. Когда какая- либо компонента отказывает, она ремонтируется. Время ремонта случайно с экспоненциальной функцией распределения, имеющей параметр р. Говорят, ч~о система находится в состоянии и в момент 1, если в этот момент ровно л коч. понент находится в ремонте. Этот процесс является процессом рождения и ~нбели. Найти его инфинитезимальные пзоаметры.
2!. Предположим, что некоторый механизм подвержен отказам двух типов. Пусть вероятность отказа первого типа в интервале (1,1 + й) равна )о)г Ш о(й), а вероятностьотказа второго типа в том же интервале равна Лэйч-о(л). В состоянии отказа производится ремонт, длительность которого экспоненциально распределена с параметром, завися|цим от типа отказа. Пусть М1 и рт — зпзчспня этих параметров. Найти вероятность того, что механизм работает в лимспт 1.
Ответ: 238 Гл. 7. Классические примеры цепей Маркова 23. В задаче 22 предположим, что вначале все У компонент работают, найти распределение Р(г) до первого момента, когда имеются две неработающие компоненты. Ответ; Преобразование Лапласа У(з] функции Р(() равво ф (з) У (У вЂ” 1) Л' з'+ з [(2У вЂ” 1) Л+ р[ + У (У вЂ” 1) Лз ' В случае Л = р 1 — Р(() = (ехр(( — у+)су) Л() — ехр ((-у — )Гу) Л()).
)ГУ (У-и 24. Расслютрим следующий непрерывный аналог модели Эренфестов (см. гл. 2, стр. 43). Имеется 2У шаров, занумерованных от 1 до 2У. В момент 0 каждый шар с равной вероятностью может быть помещен в одну из двух урн, В дальнейшем шары независимым образом перемещаются в случайные моменты времени из одной урны в другую в соответствии со следующими правилами. ! Шар с вероятностью — И+ о(И) попадает из одной урны в другую в течение 2 И внтервала ((,(+ И) и с вероятностью 1 — — + о(И) остается в той же урне в 2 этом интервале. Перемещения на непересекающихся интервалах времени незави.
симы. Пусть Х(Г) — число шаров в урне 1 в момент (. Обозначим Р)а(()=Р(Х(() И[Х(0) (), ), И О. 1,..., 2У. Доказать формулу 2М д(1, з) ~~3~ Р(а(() за=2 зм(1 — е '+(!+в ') з) (1+е '+(1 — в ') з) Указание: Ввести случайные величины ( 1, если (-й шар находится в урне 1 в момент Л Х,(() =!( ( 0 в противном случае. 2М Тогда Х(() = ~ч'~ Хс(().
Показать, что г-! !+в 1'(Х! Р) = Тс(0)) =, ( 1, 2, ..., 2У. 2 25. Рассмотрим процесс Х(() рождения и гибели с линейным ростом с па. раметрами Л, р и а = О. Предположим, что Х(0) 1. Найти распределение числа живущих индивидуумов в момент первой гибели, Ответ: Р (число рождений до первой гибели равно И) = — ~ р+Л (р+Л! ' 28. Для процесса Х(() рождения и гибели с линейным ростом при Л р (см. пример 1 $ б) доказать, что и (() = Р (Х (() = 0 [ Х (0) = !) Задачи 239 удовлетворяет интегральному уравнению с и(с) — з1 2ле з~~ с(т+ — 41 2лз ты (и(г-т))~ с(т. о о Указание: Заметить, что время до наступления первого события (рождения или гибели) распределена экспоненциально с параметром 2Л. 27 (продолжение).
показать, что и(с) удовлетворяет дифференциальному уравнению Рнкатти: и'(1) + 2Ли (1) Л+ Ли' (С), и (0) О, 23 (продолжение). Найти и(С). Ответ; лс и (с) 1+ЛС' 29 (продолжение). Найти Р(Х(С) 0(Х(0) 1, Х(Т) 0) при 0 < С < Т. 30. Рассмотрим процесс рождения и гибели с инфинитезимальными парамет. рами Л„, р,. Показатть что среднее время достижения состояния т+ 1 нз со. стояния 0 равно н ~ "~зЬ4 Лапа и з а о где и определяется в (4.5).
Указание: Пусть ҄— время первого достижения состояния и+1 из состояния и. Вывести рекуррентное соотношение для М (Т„). 31. Начнем наблюдать радиоактивный атом в момент О. Он распадается и перестает быть радиоактивным в момент Л 1> О, определяемый распределе. нием О. т<0, Р(т) л.
Р(!<т). ! 1-е т, т~О Рассмотрим состояние атома в момент 1 как случайную величину ~ 0:, если атом радиоактивен в момент Л 1 1. если атом не радиоактивен в момент Л Переменная (лс) образует случайный процесс. Предположим, что в момент 0 мы начинаем наблюдать ДС независимых радиоактивных атомов, которые описываются, как показано выше, величинами и лсс, 1 1, 2, ..., Лс. Пусть Хс ~ хст. Тогда (Хс) — также случайный про.
с-с ! I 11 цесс. Показать, что при 1 С вЂ” 11 мало по сравнению с -) и достаточно боль. шом ЛС процесс (Х,) хорошо аппроксимируется пуассоиовским процессом У(1) с параметром ЛЛСЛ Гл. 7. К,!по!ические примеры пепел Марково 210 32. Предположнлп что в задаче 31 нельзя считать ! < Л '. (1) Является ли процесс процессол! с независичыми приращениями? (2) Является лп он стационарным? (3) Имеет ли оп стационарные переходные вероятности? (4) Является ли он марковским? Отпсг: (1) да, (2) нет, (3) да, (4) да.
33. Пусгь 33 — процесс рождения н гибели с непрерывным временем, где Л„=Л>0, ахв0, уз=0, р,>0, и>!. Пусть и=~па(оо, где и„ и = г,"(рь р ... 0„) ', так гжо — — стационарное распределение процесса. Пред- и положим, что начальное состояние — д.с. в, распределение которой совпадает со стаппонарпым распределением процесса. Доказать, что число случаев гибели на отрезке [О,!) имеет распределение Пуассона с параметром Лй Указание: Пусть аь(!) — вероятность того, что число случаев гибели за врез!я ! равно !с. Получим дифференциальное уравнение ,;, Д) = — Лпь(!)+?,, (!), Д>1. 34.
Г:лгдюоп,се пес!Роение является одним из способов задания многомерпого пуассшювского процесса для случая двух измерений. Пусть (Х(!), У(!))— папа, где Х(!) = а(!) + у(!), у(!) ()(!) + у(!), сь(!), ()(!), у(!) — три незаяпсппых пупсгоповскнх процесса с параметрами Л!, Ле и Лз соответственно. Найти производя!цу!о функцию распределения (Х(!), У(!)). У 1'(Х (!) =- 1, У 0) = !) х у!= ехр (! (Л х+ Лзу+ Лаху — Л! — Лз — Лз)) ! 33. рассмотрим процесс Юла ()уп ! > О) с интенсивностью рождения Л и па юлы!ьы! размерои популяции 1.
Найти функцию распределения величивы ~~(л!. равной числу !ленов популяции возраста не большего х в момент 1, г?и г: ' е Ле(1 — е "х) Р (У! (х) = й) = -хх + е-х!)'+' 36, Пусть (Л,(!), ! > О), ! = 1, 2,— два независимых процесса Юла с одним и теп, «парапетроз! Л. Пусть Х;(О) = пь 1 = 1, 2. Найти распределение величины Х)(!) прп условии, что Х!(!) + Хз(!) = У ()(г ~ )и! + пз) ° О!пег; (3-1 ~( Лà — й — 1~ Р(Х, (!) =-! (Х, (!)+Х,(!) =Л')= ( и, +и,— 1) 3? (проныл'кс ~пс).
Доказать предельное соотношение к Х! Н) ) (и~+из 1)1 ! в ! а„! — ' — — — (х ?- ! угп (! — у) " г(у. ) П 0)+Х,(П ) (и,— 1)1(п,— 1)! 3 о 241 Некогорьле элементарные задачи й Указание; Пусть !У-«ео и й- со, так что — -«у (0<у< ц. Тогда с йг помощью формулы Стирлинга установить предельное соотношение ( й-! ) (Аг — 3-1) (ил+не ц! н~-! (! )ил-! (л~ ц! (из ц! у' 1 — у Использовать его для доказательства равенства х Н) ) (н + — ц! ~1У~ Х (Ц+Х (!) У+ [ ( — Ц!( — Ц! АУ НЕКОТОРЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЗАДАЧИ 1. Пусть (Х(!), ! ~ )0) и (У(Ц, ! ~ )0) — независимые пуассоновские процессы с параметрами Л~ и Лз соответственно. Пусть Х~(!) Х(г) + У(ц, Хз(г) Х(Ц вЂ” У(!), Хл(Ц = Х(Ц + й, где й — положительное целое число. Определить, который из перечисленных выше процессов является пуассоновским, н найти его параметр.
2. Телеграммы поступают на телеграф в соответствии с пуассоновским процессом, в среднем 3 телеграмлгы за час. (а) Какова вероятность того, что за утро (от 8 до 12) пе поступит ни одной телеграммы? (б) Каково распределение момента поступления первой дневной теле?рамлгы? 3. Пусть Х(!) — однородный пуассоновский процесс с параметром Л. Найти ковариацию между Х(Ц и Х(! + т), г, т ) О, т.
е. определить М[(Х(!) ™(Х(!))) (Х(! + т) ™(Х(1+ т))Ц. 4. В молекулярной биологии возникает следующая задача. Предполагается, что поверхность бактерии содержит несколько тачек, где люгут закрепляться молекулы, пришедшие извне, если они имеют правильное строение. Молекулы, имеющие такое строение, будем называть допустимыми. Рассмотрим фиксированную точку и примем, что молекулы прибывают в эту точку в соответствии с пуассоновским процессом, имеющим параметр р. Долю Р этих молекул со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
